小学六年级奥数 第八章 不定方程

第八章不定方程

知识要点

如果方程(组)中未知数的个数多于方程的个数，此方程(组)称为不定方程(组)。如x＋

y＝10，

15

12

x a

y a

-=

⎧

⎨

+=

⎩

，

。

不定方程(组)的解是不确定的。一般地，如果没有给不定方程的制约

条件，那么它就有无限多个解。小学阶段主要涉及整系数不定方程的整数解。

关于参数方程，就是有时题中给的条件过少，就设一个未知数参与运算，这个参数不影响结果。

例1 (第五届“希望杯”邀请赛试题)一个两位数的中间加上一个0，得到的三位数比原两位数的8倍小1，原来的两位数是。

点拨根据题意，可由原来的两位数和变化后的三位数之间的数量关系列出方程。

解设原来的两位数是ab＝10a＋b，则新数是0

a b＝100a＋b。

依题意得 100a＋b＋1＝8(10a＋b)

即 20a＋1＝7b

所以 a＝71 20 b-

因为a，b是整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，

所以 a＝1，b＝3

即原来的两位数是13。

说明如果方程存在的解不止一个，则要逐一解出，并检验，千万不要漏掉或出现与题意相矛盾的解。

例2 (“迎春杯”邀请赛试题)某工厂为优秀职工发奖金，一等奖每人1800元，二等奖每人1200元，三等奖每人800元。每种奖都有人领，共有15名优秀职工领取奖金的总数为16000元，获一、二、三等奖的职工各有多少人？

点拨根据题意，一、二、三等奖人数之和等于15这一等量关系显而易见，而15名职工领取奖金的总和为16000元这一等量关系也给出，可列出方程。

解设一、二、三等奖依次有x人、y人、z人，则有

1800x＋1200y＋800z＝16000

即 9x＋6y＋4z＝80

又x＋y＋z＝15，将z＝15－x－y代入上式，得

9x＋6y＋60－4x－4y＝80

整理得 5x＋2y＝20

又x，y，z是正整数，

解得 x＝2，y＝5，z＝15－x－y＝8。

答：获一等奖的有2人，二等奖的有5人，三等奖的有8人。

例3 100头驴驮100袋物品，一头大驴驮3袋，一头中驴驮2袋，两头小驴驮1袋。问：大、中、小驴各有多少头？

点拨这里要求三个未知量，我们可设出其中大、中驴的数，用含有它们的未知数的代数式表示小驴。

解设大驴x头，中驴y头，则小驴为(100－x－y)头。根据题意，有

3x＋2y＋100

2

x y

--

＝100

6x＋4y＋100－x－y＝200 5x＋3y＝100

x＝1003

5

y

-

大驴x：20，17，14，11，8， 5， 2；

中驴y：0， 5，10，15，20，25，30；

小驴： 80，78，76，74，72，70，68。

例4 一位学生问老师：今年是2008年，你的年龄是多少岁？老师回答学生：我今年的年龄正好等于我出生那一年的年份的各位数字之和。请问老师今年多少岁？

点拨题目的等量关系，显而易见，又根据常理，2008年的学生问其老师的年龄，想必老师出生于19××年，所以只要设十位、个位上的数字，即可列不定方程，分析推理了。

解设老师出生年份的十位上数字为x，个位上数字为y，老师出生这一年为19xy年，则

2008－19xy＝1＋9＋x＋y

即108－(10x＋y)＝10＋x＋y

化简得98＝11x＋2y ①

由①得 x＝982 11

y

-

根据题意，x，y均为大于等于O且小于等于9的整数；又因为98除以11的余数10，所以2y除以11也必须是余10，才能使x所取的值符合题意。所以y只能取5。

当y＝5时，x＝9825

11

-⨯

＝8。

所以，今年老师的年龄为：1＋9＋8＋5＝23(岁)

或2008－1985＝23(岁)

答：老师今年23岁。

例5 甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方小1995，满足此条件的自然数有多少组？

点拨根据题中给出的条件和要求，必须知道甲数与乙数，所以我们把这两个数设出来，列方程求解。

解设甲、乙两数为x，y。

x2－xy＝1995

x×(x－y)＝1995

因为x－y＞0，则x＞y。

将1995分解，求约数有1，3，5，7，15，19，21，35，57，95，105，133，285，

399，665，1995。所以满足上式的x ，y 共有以下八组：

19951994x y =⎧⎨=⎩，； 665662x y =⎧⎨=⎩，； 399394x y =⎧⎨=⎩，； 285278x y =⎧⎨=⎩，；

133118x y =⎧⎨=⎩，； 10586x y =⎧⎨=⎩，； 9574x y =⎧⎨=⎩

，； 5722x y =⎧⎨=⎩，。 例6 abc 是一个三位数，由a ，b ，c 三个数码组成的另外五个三位数之和等于1764。那么，三位数abc 是多少？

点拨 由a ，b ，c 组成的三位数有六个，它们的和可表示为(a ＋b ＋c )×222。

解 六个三位数之和为： abc ＋acb ＋bac ＋bca ＋cab ＋cba ＝(a ＋b ＋c)×200＋(a ＋b ＋c)×20＋(a ＋b ＋c )×2＝(a ＋b ＋c )×222

1764＜(a ＋b ＋c)×222＜2764

8＜a ＋b ＋c ＜12

故a ＋b ＋c 可为9，10，11。

(1)a ＋b ＋c ＝9时，222×9－1764＝234，而2＋3＋4＝9，符合题意。

(2)a ＋b ＋c ＝10时，222×10－1764＝456，而4＋5＋6≠10，不符合题意。

(3)a ＋b ＋c ＝11时，222×11－1764＝678，而6＋7＋8≠11，不符合题意。 故abc ＝234。

例7 某次英语竞赛原定一等奖10人、二等奖20人。现在将一等奖最后4人调整为二等奖，这样得二等奖的学生的平均分提高了1分，得一等奖的学生的平均分提高了3分。原来一等奖平均分比二等奖平均分多几分？

点拨 通常情况我们要想知道两个数的差，必须知道这两个数。故我们把这两个数设为x ，y ，只要求出(x －y)即可。

解 设原来一等奖的平均分是x 分，二等奖是y 分。

10x ＋20y ＝(10－4)×(x＋3)＋(20＋4)×(y ＋1)

10x ＋20y ＝6x ＋18＋24y ＋24

4x －4y ＝42

x －y ＝10.5

答：原来一等奖的平均分比二等奖平均分高10.5分。

例8 (河北省竞赛试题)甲、乙两个车间各有一批工人，如果甲车间给乙车间一部分人，甲车间人数是乙车间人数的1.5倍；如果乙车间给甲车间同样多的人后，甲车间人数就是乙车间人数的4倍。那么甲、乙车间的人数比是 。

点拨 本题可通过引入参数，列出方程求解。

解 设乙车间给甲车间x 人后，乙车间有a 人，甲车间有4a 人。如果甲车间给乙车间x 人，则甲车间有(4a －2x)人，乙车间有(a ＋2x)人。由题意可列方程：