高考复习中抛物线(几个常见结论及其应用)

2

x

证明：因为焦点坐标为 F(E,O),当AB 不垂直于x 轴时，可设直线 AB 的方程为:

2

由 y =k (x —#)得:

2

y = 2 px

ky 2 _2py _kp 2 = 0 /. y^ y 2

2

mx 2 生 2p 2 y 2

y = k(x _ —)

2

4

2

p p 2

2p 4p“

4

当AB 丄x 轴时，直线AB 方程为x =卫，则y

2

2

y 2 - - p ，二y 』2 - - p ,同上也有:

x 1x 2

2

p -- 。

4

例：已知直线 AB 是过抛物线y 2=2px(p 0)焦点F ,

求证：1

. 1为定值。 ■BFI

AF 结论二：(1)若AB 是抛物线y 2 =2px ：p 0)的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为a. 则AB

2 P

(a^ 0) o ~ 2

sin

(2)焦点弦中通径(过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦)最短。

证明：(1 )设人任，yj , B(x 2, y 2)，设直线AB: y = k(x 卫)

2

2p(1 k 2) (2 )由(1 )： AB 为通径时，a =90 ：

, sin %的值最大,

AB 最小。

2

-P ，

2p(1 tarh)

2P 7~2~

tan :

sin :二

2

例：已知过抛物线 y =9x 的焦点的弦 AB 长为12,则直线AB 倾斜角为 ___________ 。 结论三：两个相切：(1)以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。

(2)过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。

已知AB 是抛物线y 2 =2px(p 0)的过焦点F 的弦，求证：(1)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。

⑵分别过A 、B 做准线的垂线，垂足为 M 、N ，求证：以 证明：(1)设AB 的中点为Q,过A 、Q 、B 向准线I 作垂线, 垂足分别为M 、 P 、N ，连结 AP 、BP 。

由抛物线定义:

AM = AF , BN

BF ,

BN ) =2的

•••以AB 为直径为圆与准线I 相切

•- QP|= ^(AM + BF)

弓AB ,

抛物线的几个常见结论

抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解 答题时也可迅速打开思路。

结论一：若AB 是抛物线y 2 =2pxp 0)的焦点弦(过焦点的弦)，且Ax,yJ ，B(x 2,y 2)，则：x^二

，y 』2 二 易验证，结论对斜率不存在时也成

立。

•••/ AFM= / MFO 。同理，/ BFN= / NFO ,

1

MFN= (/ AFM+ / MFO+ / BFN+ / NFO ) =90 °,

2

1

• MP = NP = FP =— MN ,

2

PFM= / FMP

AFP= / AFM+ / PFM= / FMA+ / FMP= / PMA=9 0°,： FP 丄AB •••以MN 为直径为圆与焦点弦 AB 相切。

结论四：若抛物线方程为 y 2=2pXp 0),过(2p ，0)的直线与之交于 A 、B 两点，贝U OA!OB 反之也成立。

证明：设直线 AB 方程为：y=k(x-2p)，由

y

2二k (x 「2p )得，△ >0,

x 1・x 2 = k , x ,x^

-b

l y 2

=2px

••• AC 丄BO, •

AO

丄 BO • x 1x 2 河2

= x 1x 2 (kx 1 b)(kx 2 b) =

(1

k 2)x-i x 2

kb(x 1 x 2) b^ 0

将为

*2

=k , X 1X 2 -七代入得，b =1。•直线AB 恒过定点(0,

1 )。

1

1 1 -

=—一x 2 疋1 =_ J (x _j +x 2)2 —4x^2 =_ J k 2 +4 畠1 2 2 2

•••当且仅当k=0时，S AOB 取最小值1。

2

x=2pt ,

2

结论五：对于抛物 线x =2py(p 0)，其参数方 程为

2设抛物线

x =2py 上动点P 坐标为

ly=2pt ,

(2 pt , pt 2) , O 为抛物线的顶点，显然k °P 二2

以

t ，即t 的几何意义为过抛物线顶点 O 的动弦OP 的斜率.

2 pt

例 直线y=2x 与抛物线y 2 =2px(p ■ 0)相交于原点和 A 点，B 为抛物线上一点，

OB 和OA 垂直，且线段

AB 长为5 .13，求P 的值.

1 1

解析：设点 A B 分别为

(2pt A

2

g) ,

(2pt B

2,2ptB)

,则 r N, tB

• AB =]”_舅 +(p+4p)2 今届p = 5届.

练习：

1.过抛物线y=ax 2(a 0)的焦点F 作一直线交抛物线于 P, Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p , q ,

则1 - L= _________

p q

一 2 1

1

【解析：化为标准方程,得 x 2

y(a 0),从而2p

•取特殊情况,过焦点 F 的弦PQ 垂直于对称轴，则 PQ 为

S.AOB

1

1 k oA = -2

^B

A B 的坐标分别为 , P ,8p, -4p).