第二十六章二次函数

第二十六章 二次函数

26.1 二次函数及其图象

专题一 开放题

1．请写出一个开口向上，与y 轴交点纵坐标为﹣1，且经过点（1，3）的抛物线的解析 式

．（答案不唯一） 2．

（1）若 是二次函数，求m 的值；

（2）当k 为何值时，函数2

21

(1)(3)k k y k x k x k --=++-+是二次函数？

专题二 探究题

3．如图，把抛物线y =x 2沿直线y =x 平移2个单位后，其顶点在直线上的A 处，则平移后抛物线的解析式是（ ） A ．1)1(2-+=x y B ．1)1(2++=x y C ．1)1(2

+-=x y D ．1)1(2

--=x y

4．如图，若一抛物线y ＝ax 2与四条直线x =1、 x =2、 y =1、 y =2围成的正方形有公共点，求a 的取值范围.

2

2()m m y m m x -=+

专题三 存在

性问题

5．如图，抛物线 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OA =2，OC =3.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D (2,2)是抛物线上一点,那么在抛物线的对称轴上,是否存在一点P ,使得△BDP

的周长最小？若存在,请求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由. 注：二次函数c bx ax y ++=2

（a ≠0）的对称轴是直线x =a

b

2-

. =

6．如图,二次函数c x x y +-=22

1

的图象与x 轴分别交于A 、B 两点,顶点M 关于x 轴的对

称点是M′.

（1）若A (－4,0),求二次函数的关系式; （2）在(1)的条件下,求四边形AMBM′的面积; （3）是否存在抛物线2

12

y x x c =

-+,使得四边形AMBM′为正方形？若存在,请求出此抛物线的函数关系式;若不存在,请说明理由.

c bx x y ++-=2

21

【知识要点】

1．二次函数的一般形式c bx ax y ++=2（其中a ≠0，a ，b ，c 为常数）.

2．二次函数2

y ax =的对称轴是y 轴，顶点是原点，当a ＞0时，抛物线的开口向上， 顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当a ＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大． 3．抛物线2()y a x h k =-+的图象与性质：

（1）二次函数2

()y a x h k =-+的图象与抛物线2

y ax =形状相同，位置不同，由抛物线

2y ax =平移可以得到抛物线2()y a x h k =-+.平移的方向、距离要根据h ，k 的值确定. （2）①当0a >时，开口向上；当a ＜0时，开口向下； ②对称轴是直线x h =；

③顶点坐标是（h ，k ）.

4．二次函数y=ax 2

+bx+c 的对称轴是直线x =a

b

2-，顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --.

【温馨提示】

1．二次函数的一般形式y=ax 2+bx+c 中必须强调a ≠0. 2．当a ＜0时，a 越小，开口越小，a 越大，开口越大. 3．二次函数的增减性是以对称轴为分界线的.

4．当a ＞0时，二次函数有最小值，若自变量取值范围不包括顶点的横坐标，则距离对称轴最近处，取得函数的最小值；当a ＜0时，二次函数有最大值，若自变量取值范围不包括顶点的横坐标，则距离对称轴最近处，取得函数的最大值.

【方法技巧】

1．一般地，抛物线的平移规律是 “上加下减常数项，左加右减自变量”. 2．如已知三个点求抛物线解析式，则设一般式y=ax 2+bx+c .

3．若已知顶点和其他一点，则设顶点式2

()y a x h k =-+.

参考答案

1． 答案不唯一，如y=x 2+3x ﹣1等.

【解析】设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c ，

∵ 开口向上，∴a ＞0. ∵其与y 轴交点纵坐标为﹣1，∴c =﹣1.

∵经过点（1，3），∴a+b －1=3.令a =1，则b =3，所以y=x 2+3x ﹣1．

2．解:（1）由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=-,

0,

222m m m m 解得m =2．

（2）由题意，得⎩⎨⎧≠+=--,

01,

2122k k k 解得k =3．

3．C 【解析】把抛物线y=x 2沿直线y=x

长度后再向右移1个单位长度，再根据“上加下减常数项，左加右减自变量”即可得到平移后的抛物线的解析式为2

(1)1=-+y x ，答案为C.

4．解:因为四条直线x =1、 x =2、 y =1、 y =2围成正方形ABCD ，所以A (1，2)，C (2，1). 设过A 点的抛物线解析式为y ＝a 1x 2，过C 点的抛物线解析式为y ＝a 2x 2，则a 2≤a ≤a 1. 把A (1，2)，C (2，1)分别代入，可求得a 1=2，a 2=14

.所以a 的取值范围是1

4≤a ≤2.

5．解:（1）将A （-2,0）， C （0,3）代入y =c bx x ++-2

21得⎩

⎨⎧=+--=,022,3c b c

解得b = 1

2 ，c = 3.∴此抛物线的解析式为 y = 2

1-x 2+21x +3.

(2) 连接AD 交对称轴于点P ，则P 为所求的点.设直线AD 的解析式为y =kx +b.

由已知得⎩⎨⎧=+=+-,

22,02b k b k 解得k= 21，b =1.∴直线AD 的解析式为y =21

x +1.

对称轴为直线x =－a b 2= 21.当x = 21时，y = 45，∴ P 点的坐标为（21，4

5

）. 6．解:(1) 把A (－4，0)代入c x x y +-=2

21，解出c ＝-12.

∴二次函数的关系式为122

12

--=x x y .

(2)如图,