高宏第一章 索洛增长

高级宏观经济学第一章索洛增长第一节经济增长的事实与研究的主要问题一、典型事实（Stylized facts）经济学的研究是“实事求是”的。

卡尔多（Kaldor，1963）列出了经济增长的程式化事实：1、人均产出持续增长，且增长率未出现下降趋势；2、人均物质资本持续增长；3、资本回报率近乎稳定；4、物质资本一产出比近乎稳定；5、劳动和物质资本在产出中所占的份额近乎稳定；6、人均产出增长率在各国间差距很大。

相对于人类历史而言，持续的、快速增长（现代增长）只是最近一两百年才有的事。

事实6与跨国数据基本吻合。

事实1、2、4、5与发达国家的数据基本一致，但并不适合于更广大的发展中国家，事实3描述的似乎主要是英国的经历。

其它大部分国家真实收益率是下降的。

值得注意的是，在不同的时代，人们关注的主要事实是不同的。

卡尔多事实主要是为稳态增长（或平衡增长）提供事实依据。

当前，跨国与跨地区收入差异这一事实受到经济学家们的重视。

二、经济增长研究的主要问题增长理论要’解释世界各国的贫富差距；各国差距是否有缩小的趋势；经济增长速度的差异；决定一个国家经济增长速度的主要因素；穷国如何才能追上富国。

Romer(2006,p1)指出，现代经济增长理论主要解决如下两个问题：1、什么解释了经济的增长，或经济长期增长的驱动因素是什么？2、为什么一些国家如此之富裕，而另一些则如此之贫穷？经济增长理论研究的是长期中的经济问题。

长期与短期的主要差别在于：价格是否可以灵活变动；资源是否充分利用。

研究长期问题，很多在短期中有重要影响的因素可以忽略：需求波动、货币。

第二节 Solow 模型的基本假定Solow 模型与Ramsey 模型主要探讨储蓄在经济增长中的作用，即：仅仅s 的提高能不能推动长期的增长？s 的跨国差异能不能解释人均产出的差异？然而，我们的基本结论是：s 只能解释部分事实，而不能解释全部（甚至是大部分）事实。

理论的不成功促进了其它模型，特别是内生增长模型的发展（实际上，新古典增长理论的不成功使得经济增长研究几乎停滞了20年，而后才有了新的或内生增长理论的发展）。

不同增长理论的主要区别在于生产函数．．．．．．．．．．．．．．．．．。

一个经济增长（或更广泛来说，宏观经济）模型，我们通常将它置于不同的环境之中：分权或分散经济（decentailized economy ）、代表性主体问题以及计划者问题或经济(social planner)。

一、索洛模型。

本章的Solow 模型中，我们进行步简化，抽象掉市场，将家庭与企业合二为一，形成鲁宾逊式的家庭/生产者单位（代表性主体问题）。

当然，我们也可以将问题设置于分散经济中。

我们能得到的结论是，有没有市场对Solow 模型的主要结论没有影响。

如果各个鲁宾逊完全相同，则个体行为与总量行为并无二致（这里实际上用到了代表性主体．．．．．的思想，即总量行为等于一个拥有所有资源的假想的个体行为，以该个体代表总量[有时是平均量]。

对于同质性主体，代表性消费者与生产者肯定是成立的）。

有这样一个总量的生产函数:[]()(),()()Y t F K t A t L t =产出可被用于C 或一对一．．．的投资I 。

这样的单一的、同质的产品可被想象成小农经济。

(),()L t K t 被竞争性地使用，()A t 代表知识、技术，它可随时间演进，其增长率为g ，且各国不同。

()A t 是非竞争性的。

在封闭经济中，储蓄和投资相等。

,Y C I S Y C =+=-。

储蓄率s 等于投资率。

资本以常率0δ>折旧。

所以资本存量的净增加等于总投资I 减去折旧：K I K sF K δδ=-=- （1）人口以常率0n >增加，所以0()nt L t L e =。

我们常常将0L 标准化为1，这样()nt L t e =（这样做是因为它几乎不影响我们任何结论）。

二、Solow 模型的基本假设Solow 模型是新古典的，因为它的生产函数是新古典的。

新古典生产函数的假定包括：A 、规模报酬不变（对竞争性投入是一次齐次的），(,)(,)F K L F K L λλλ=B 、私人投入正的、递减的边际报酬（边际产品）22220,00,0F F K K F F LK ⎧∂∂><⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪><⎪∂∂⎩ C 、稻田条件（Inada Conditions ）000lim lim ,lim lim 0K L K L F F F F K L K L→→→→∞∂∂∂∂==∞==∂∂∂∂ 条件A 意味着，生产函数可写成集约（intensive ）形式，即人均或劳均的形式。

(,)(,1)(),KK Y F K AL ALF AL f k k AL AL ===⋅= (), K y f k y AL ⇒==练习1：将资本与劳动的边际产品用集约型生产函数表示。

这表明，生产无规模效应，即人口规模不影响人均产出。

条件C 意味着0lim (),lim ()0k x f k f k →→∞''=∞=。

D 、必要性(0,)(,0)0F L F K ==，这一条件可由1-3推出，并不是独立的。

通常使用C —D 生产函数：()Y AL K αβ=练习2：C-D 生产函数满足新古典假设吗？请验证。

三、关键的动态方程由资本存量的动态方程（1）K K sF K sf k Lδδ=-⇒=- （2） ()d K AL K K k nk gk k nk gk L L dt ==--⇒=++ （3） 上式也可从下面的推导中得到： ln (ln )k d k d K AL K L A K n g k dt dt K L A K•===--=-- 由（2）和（3）式得到：()()k sf k n g k δ=-++ （4）（4）式就是solow 模型的关键动态方程。

索洛方程描述了单位有效劳动的资本的变化，仅仅依赖于k 。

图如下：解释：单位有效劳动的资本存量的变化等于两项之差，()sf k -单位有效劳动的平均投资；()()n g k t δ++-持平投资，使k 保持现有水平所必须的投资。

第三节 稳态一、稳态0,01,01A αβ><<<<稳态1（steady state, stationary state ）是指各种数量都以不变速率增长（可能为0）[various quantities grow at constant rates]。

二、索洛模型的稳态（steady state ）根据索洛模型的假定和资本动态积累方程，可以从上图看出在二线的交点（k •＝0），储蓄产生的投资量恰好等于能使经济保持在均衡路径上（即资本和有效劳动同速度增长），此时稳态出现。

如果经济开始处于稳态，那么它就会继续保持在那里。

实际投资可以高于或低于持平投资如果初始状态经济中k 低于稳态水平（左边），实际投资超过了保持k 不变的均衡增长所需要的量，人均资本量就会上升，从而趋向于稳态。

如果k 高于稳态水平，那么人均资本量将会逐年减少，从而经济最终趋向于稳态。

以k 的相图（三维空间在平面的投影）表示，索洛模型表明，无论初始状态如何，经济将随时间的变化趋向于同一个稳态，那时资本和劳动以相同速度增长。

即稳态（资本存量一不变速率增长）意味着0k =（即不变速率肯定为0）。

这样，稳态条件为：()()sf k n k δ**=+ （5）（1）单位有效劳动资本k k 、单位有效劳动产出y y 水平取决于储蓄率、人口增长率、知识增长率以及折旧率，增长率为01有时人们用到另一概念：平衡增长路径(balanced growth path)，意指所有（总量）变量以一．个．不变速度增长(all variables grow at a constant rate)，而将这一速率为0时称为稳态(steady state)。

（2）人均资本（K/L ）和人均产出（Y/L ）的增长率为g (an unpleasant result)（3）资本K 、有效劳动AL 、总产出Y 的增长率为n ＋g练习3：CD 函数：1()Y K AL αα-=：*?k =，*?y =，*?c =作业1：索洛增长考虑CES 生产函数，111[()]Y K AL εεεεεε---=+，其中0ε<<∞，且1ε≠，ε为资本和有效劳动之间的替代弹性，在1ε→的特殊情况下，CES 函数就成为CD 函数。

（a ）证明该生产函数是规模报酬不变的（b ）求出该生产函数的密集形式（c ）验证该密集形式满足()0f '•>，()0f ''•<（d ）将*k ，*y ，*c 表示为模型的参数,,,,s n g δε的函数（e ） k 的黄金律值是多少？为了得到黄金律资本存量，所需储蓄率是多少？ （f ）求出人均资本、人均产出的增长率 。

三、政策试验（参数变化）s 变化对产出的影响处于平衡增长路径上的索洛经济，储蓄率永久性的增加。

水平效应:单位有效劳动资本k 和单位有效劳动产出水平y 暂时性地提高 增长效应：单位有效劳动产出增长率暂时性的增加，长期增长率不变折旧率的降低也有类似的影响提高储蓄率s 会使实际的投资线向上移动，并引起k 上升。

但到达新的*k 以后，在此点它又将保持不变。

因此，储蓄率的变化只有水平效应而没有长期增长效应，它改变了平衡增长路径，并改变人均产出水平，但它不会改变平衡增长路径上人均产出的增长率。

总产出的增长率总会稳定下来，与人口增长率相一致(不考虑技术进步时)。

这就是所谓的“趋同”假说，即无论什么国家，无论储蓄率差异有多大，在长期总产出的增长率都会与人口增长率一致。

在长期，总产出以n g增长，但人均产出以g增长，因此在长期只有技术变化有增长效应，其它变化都只会产生水平效应。

定量分析s 对k *的影响由（5）式可知k *是s 的函数，不同的s 有不同的k *。

（5）式两边对s 求导： (())(())()dk dk f k s sf k s n ds ds δ****'+⋅=+ ()dk f k f kf ds n sf n k skf sf skf δδ***==='''+-+-- 因为在均衡时有： ()sf n k δ=+()00Y sf skf s f kf sL k s *∂''-=-=>∂∂∴>∂由此得到：储蓄率提高了稳态人均资本存量。

．．．．．．．．．．．．．．．第四节 黄金律和动态非效率一、黄金律（golden rule ）储蓄率越高，人均收入水平会越高。

收入的目的毕竟是消费，收入本身不是最终目的。

从消费最大化角度来确定一个最优储蓄率，相对应的人均资本，就是资本的黄金规则水平。