一元多项式环的概念及其通用性质

一些性质
• 1、数域K上的两个多项式经过加、减、乘运 算后,所得的结果仍然是数域K上的多项式
• 2、deg(f(x)g(x))max(deg f(x),deg g(x))
deg(f(x)g(x))=deg f(x)+deg g(x) • 3、若f(x)0,g(x)0,则f(x)g(x)0,而且f(x)g(x)的
又 f ( x), g( x) 均为实系数多项式 ， 从而必有 g( x) h( x) 0. f ( x) g( x) h( x) 0. (2) 在 C上不成立．如取 f ( x) 0, g( x) ix, h( x) x
§7ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 一元多项式环的概念及其通用性质
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• 一、多项式 • 定义. 设x是一个变量(文字),n是非负整数.表
示式
anxn+an-1xn-1++a1x+a0 ,
其中an, an-1,,a1, a0全属于数域K,称为系数在
数域K中的一元多项式,简称数域K上的一元多 项式.
注:
(1)
(2) (3) 等.
• (3) 零次项a0也称为f(x)的常数项.
•(4) 若an0,称anxn为f(x)的首项,
an称为f(x)的首项系数, n 称为f(x)的次数,
常记作degf(x),或 f ( x).
• (5) 非零常数是零次多项式. • (6) 零多项式是唯一无法确定次数的多项式. • (7) 只有f(x)0, degf(x)才有意义.
二 多项式的运算
• 设 f(x) = anxn+an-1xn-1++a1x+a0 ,
•
g(x) = bmxm+bm-1xm-1++b1x+b0 ,
• 1、相等: f(x)=g(x)
• 若f(x)与g(x)的所有同次项系数全相等.
• 2、加(减)法: f(x)g(x)
• 将f(x)与g(x)的所有同次项系数相加(减);
体,称为数域K上的一元多项式环,记作 K[x], P称为K[x]的系数域.
练习：
设 f ( x), g( x),h( x) R[x] (1) 证明: 若 f 2( x) xg2( x) xh2( x), 则
f ( x)=g( x) h( x) 0 (2) 在复数域上(1)是否成立？
• f(x)g(x)=(anxn+an-1xn-1++a1x+a0)(bmxm
•
+bm-1xm-1++b1x+b0)
nm
( aibj )xk k0 i jk
• 注(1)乘积f(x)g(x)中xk(0kn+m)的系数是
•
a0bk+a1bk-1++ak-1b1+akb0
• 其中,若i>n,则ai=0;若j>m,则bj=0.
一元多项式指只含一个变量. n是非负整数. 多项式常用f(x), g(x)等表示,或简记作f, g
• 设数域K上的多项式
•
f(x) = anxn+an-1xn-1++a1x+a0 ,
• (1) an,an-1,,a1,a0称为f(x)的系数,系数全为0 的多项式称为零多项式,记作0.
• (2) akxk (k=n,n-1,…,1,0)称为f(x)的k次项,ak称 为f(x)的k次项系数.
• (2)乘法运算式可按竖式进行.
乘法运算式
• 例1.设f(x)=2x2+3x-1, g(x)=x3+2x2-3x+2,则
•
f(x)=2x2+3x-1,
• ) g(x)=x3+2x2-3x+2
.
•
2x5+3x4- x3
•
4x4+6x3-2x2
•
-6x3-9x2+3x
•
4x2+6x-2 .
• f(x)g(x)=2x5+7x4- x3- 7x2+9x-2
(1) 证：若 f ( x) 0, 则 x(g2( x) h2( x)) f 2( x) 0,
从而 g2( x) h2( x) 0. 于是 ( xg2( x) xh2( x)) ( x(g2( x) h2( x)))为奇数. 但 ( f 2( x))为偶数. x(g2( x) h2( x)) f 2( x), 这与已知矛盾. 故 f ( x) 0, 从而 g2( x) h2( x) 0.
首项就等于f(x)的首项与g(x)的首项之积; f(x)g(x)的首项系数等于f(x)的首项系数与g(x) 的首项系数之积.
运算规律
• 1、加法交换律 • 2、加法结合律 • 3、乘法交换律 • 4、乘法结合律 • 5、乘法对加法的分配律 • 6、乘法消去律
• 定义 所有系数在数域K中的一元多项式全
• 若m<n时,为方便,可设
•
bm+1=bm+2== b n-1=b n =0.
• •
f(x+)(ag1(xb)=1)x(a+n(ab0n)bx0n)+=(ani-n10(bani -1)xbni-1)+x…i
• 3、乘法: f(x)g(x)
• 将f(x),g(x)的各个项分别相乘后合并同类项.