第十二章动量矩定理授课时间
动量矩定理
( ) 2）若 ∑ m (F ) = 0 ，则 w = cos 2t 3）若 ∑ m (F ) = cos 2t ，则 ε = cos 2t 4）在一定的时间内，当 ∑ m (F ) 一定时， I
z z z
1）若 ∑ m z F ≠ 0 ，则刚体的转动状态一定发生变化。
z
越大 , 运动状态越大。
可见，转动惯量表现刚体转动状态改变的难易程度。因此说：转动惯量是刚 体转动时惯性的度量。 转微分方程可以解决两类动力学问题：
( )
( ) ( ) ( )
由于约束力通过 Z 轴，于是有：
n d (I z w ) = ∑ m z F i dt i =1
即：
Iz
N n d 2ϕ = m F 或 I ε = mz F i i ∑ ∑ z z dt 2 i =1 I =1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( )
这就是刚体定轴转动的微分方程，即刚体对定轴的转动惯量与角速度的乘 积，等于作用于刚体的主动力 对该轴之矩的代数和。 ．．． 由以上可知：
对于该点（或该轴）的动量矩保持不变，这种情形称为动量矩守恒。
4
理论力学讲义
例 2：已知：圆轮半径 r,量 m ，物块重 p 。求：物块加速度。 解：取整体研究，对 O 点的动量矩为
L0 = Iw +
p vr g
外力对 O 总的矩为 ∑ m0 F 由
( ) = pr
e
d (L0 ) = ∑ m0 F 得： dt p ar = pr g
I 2 a / R = Nr2 − RT p a =T − p g I 1ia / R = M − Nr2 / i
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
未知量 a, T , Nr2 可求解：解之可得：
理论力学哈工大第七版第十二章
§12–1 质点和质点系的动量矩 §12–2 动量矩定理 §12–3 刚体绕定轴的转动微分方程 §12–4 刚体对轴的转动惯量 §12-5 质点系相对于质心的动量矩定理 §12-6 刚体的平面运动微分方程 课后习题
一、空间力对点的矩以矢量表示 —力矩矢—定位矢量
投影式:
dLx dt
r M x (Fi(e) )
dLy dt
r M y (Fi(e) )
dLz dt
r M z (Fi(e) )
适用范围：对固定点或固定轴。
内力不能改变质点系的动量矩。 思考：内力的影响？
解:1.取小车与鼓轮组成质点系，视小车为质点。 以顺时针为正。
2.运动分析 LO J m v R
MO F r F
i
jk
x y z
Fx Fy Fz
矢量的模—— MO F F h 2AOAB
；
矢量的方位—与力矩作用面的法线方向相同；
矢量的指向—按右手螺旋法则确定。
二、力对轴的矩—代数量—转化为平面力对点之矩
力对轴的矩是力使刚体绕 该轴转动效果的度量，是 一个代数量，其绝对值等 于该力在垂直于该轴平面 上的投影对轴与该平面交 点之矩。
二、质点系的动量矩定理
第i个质点
d dt
r MO
(mivri
)
r MO
r ( Fi (i )
)
r MO
r ( Fi ( e )
)
n个质点
由于
rr MO (Fi(i) ) 0
r
d dt
r MO
r (mivi
第12章动量矩定理
又, a (h C 2R h A ) 0.5 7783km
c VC hC 2R hA
c a ( R h A ) 973km b a 2 c 2 7722km vB R hA v A 7.14km / s b
例二. 质量为m 的小球 悬挂在一绳索下端且以匀速率在水平面内作圆周运动. 试分析小球对O, A 两点的动量矩及其守恒问题. A
解 : 卫星在轨道运行中只受 地球的
VB b C a O′ O
B
V F VA A
引力作用, 故卫星对地心 点的 O 动量矩守恒. (R h A ) v A (R hC ) vC vC 6371 439 8.1 6.3km / s 6371 2384 ( R h A ) v A v B b
r
T
m
R O
v
mg
结论: 动量矩是否守恒, 与矩心的选择有关.
§12 – 3 刚体绕定轴转动的微分方 程
对绕定轴(不妨设为z轴)转动的刚体而言 对转轴的动量矩定理可 , 写为
n d ( J z ) M z ( F i ) dt i 1
去掉微分符号即是 J z M z ( Fi )
LO r i m i V i (r C r'i ) m i V i
Vi
r
n
n
Vi
mi
i 1 n
i 1
VC VC
C
r 'i
r C m i V i LC r C m i V i LC
i 1 i 1
n
r C MV C L C
rc
M O (m v )
12动量矩定理
图12.7 钟摆
第12章 动量矩定理
12.1 转 动 惯 量
【例12.5】 匀质圆盘与匀质杆组成的钟摆如图12.7所示。已知圆盘质量m1， 直径d，杆的质量m2，长l，试求钟摆对悬挂轴O的转动惯量J0。
解：钟摆由匀质杆和匀质盘组成，所以有 = JO JO杆 + JO
其中
JO
=J c
+
m1
l
+
d 2
平方的乘积，即
12.7
J=z J zc + md 2
(12.7)
第12章 动量矩定理
12.1 转 动 惯 量
证明：如图12.5所示，设刚体总的质量为m，轴zc通过质心C，z与zc平行且 相距为d。不失一般性，可令y与yc重合，在刚体内任取一质量为mi的质点Mi,它 至zc轴和z轴的距离分别为ric和ri。刚体对于z、zc轴的转动惯量分别为
12.9
第12章 动量矩定理
12.1 转 动 惯 量
【例12.4】 质量为m，长为l的匀质杆如图12.6所示，求杆对yc的转动惯量。
解：由例12.1知
Jy
=
1 ml2 3
,根据平行轴定理式(12.7)有
J yc
=J y
−
md 2
=1 ml2 3
−
m
l
2
2
=1 12
ml 2
12.10
图12.6 匀质杆
在工程问题上，计算刚体的转动惯量时，常应用下面公式
12.3
第12章 动量矩定理
12.1 转 动 惯 量
Jz
=
mρ
2 z
(12.2)
ρ 其中m为整个刚体的质量， z 为刚体对z轴的回转半径，它具有长
第十二章 动量矩定理
Lz=Jzω
§2 动量矩定理
一、质点的动量矩定理
设质点质量为m， 受力F， MO(mv) 动量mv，定坐标系Oxyz ， 根据质点的动量定理 z
F
B
mv
r
o A y
MO(F)
d (mv ) F dt
等式两边同时与矢径r作矢量积， 即 x
d (mv ) r F r dt
MO(F)
?
d (mv ) r F 为求等式 r 左边项，先来看 dt d (r mv ) dr mv r d (mv ) dt dt dt v ( r d ( v mv∵O为定点！)mv ) dt MO(mv) =0
第十二章
动量矩定理
z
§1 动量矩的概念
一、质点的动量矩
F r
o
B A m
y
回顾： 力对点的矩 Mo(F)= r×F 若 r=xi+yj+zk F=Fxi+Fyj+Fzk
则 i M o (F ) x Fx
j y Fy k z Fz
MO(F)
x
大小：│Mo(F) │ =2S△OAB
方向：按右手螺旋规则定。
[Mo(mv)]z= M z(mv)
代数量
• 动量矩的量刚为 ML2T－1 （kg· 2/S） m
二、质点系的动量矩
质点系对固定点O的动量矩等于各质点对同 一点O的动量矩的矢量和（即质点系动量对点O 的主矩）：
对定点
Lo M o (mi vi )
i 1
n
矢量
质点系对固定轴z的动量矩等于各质点对同一 轴z的动量矩的代数和，即
vC
C
Lo = M o(Mvc)
理论力学 动量矩定律
MO (mv) 恒矢量
作用于质点的力对某定轴的矩恒为零，则质点对该轴的动量矩 保持不变，即
M z (mv ) 恒量
以上结论称为质点动量矩守恒定律 2）质点系动量矩守恒定理 当外力对某定点（或某定轴）的主矩等于零时，质点系对 于该点（或该轴）的动量矩保持不变，这就是质点系动量矩 守恒定律。 15 另外，质点系的内力不能改变质点系的动量矩。
24
动力学 2. 回转半径 定义：
转动惯量
z
Jz m
则
J z m z
2
即物体转动惯量等于该物体质量与回转半径平方的乘
积； 对于均质物体，仅与几何形状有关，与密度无关。
对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚 体，其回转半径是相同的。
25
动力学
转动惯量
3. 平行移轴定理 刚体对于某轴的转动惯量，等于刚体对于过质心、并与该轴平 行的轴的转动惯量，加上刚体质量与轴距平方的乘积，即
LC LC
这样刚体作平面运动时，对过质心C且垂直于平面图形的 轴的动量矩为
J C LC LC
12
动力学
质点系动量矩定理
2．质点系的动量矩定理
n个质点，由质点动量矩定理有
d M O (mi vi ) M O ( Fi ( i ) ) M O ( Fi ( e ) ) dt
n d (e) Lx M x ( Fi ) dt i 1 n d Ly M y ( Fi ( e ) ) dt i 1 n d Lz M z ( Fi ( e ) ) dt i 1
14
动力学
质点系动量矩定理
3．动量矩守恒定理 1）质点动量矩守恒定理 如果作用于质点的力对某定点O的矩恒为零，则质点对该 点的动量矩保持不变，即
理力12(动力学)-动量矩定理
§ 12-2 动量矩定理
动量矩守恒定理
d M O (mv ) M O ( F ) dt
MO (F ) 0
M x (mv ) 恒量 M y (mv ) 恒量 M (mv ) 恒量 z
M O (mv ) 恒矢量
n d LO M O (Fi ( e ) ) dt i 1 n
29
第 十二 章 动量矩定理
§12-3 刚体绕定轴的转动微分方程
n d ( J z ) M z ( Fi ) dt i 1 n d Jz M z (Fi ) dt i 1
J z M z (Fi )
i 1
n d J z 2 M z (Fi ) dt i 1 2
θ W2
FN
例题
第十二章 动量矩定理
例 题 12-1
ω O FN W2t v M FOy
解： 取小车与鼓轮组成质点系，视小车
为质点。以顺时针为正，此质点系对O轴 的动量矩为
FOx W1
LO J m2vR
作用于质点系的外力除力偶M，重力W1 和 W2外，尚有轴承O的反力FOx和FOy ，轨道 对小车的约束力FN 。 其中W1 ，FOx ，FOy 对 O轴力矩为零。将W2 沿轨道及其垂直方向 分解为W2t和W2N， W2N与FN相抵消。
F0
r1
α
r2
LOz J O m1v1r1 m2v2 r2
考虑到 v1 = r1 ， v2 = r2 ，则得 m0g
A B
LOz ( J O m1r1 m2 r2 )
2 2
( b)
v1
外力主矩仅由重力 m1g 和 m2g 产生，有
v2 m2g m1 g
第十二章：动量矩定理
周期 T = 2π J O
mga
§12-4 刚体对轴的转动惯量
n
Jz
=
∑
i −1
m
i
ri
2
单位：kg·m2
1. 简单形状物体的转动惯量计算
(1)均质细直杆对一端的转动惯量
∫ J z =
l 0
ρl x2dx
=
ρll3
3
由 m = ρll ，得
Jz
=
1 ml 2 3
（2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量
与 zC 轴之间的距离。
即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对 于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加 上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积.
证明： J zC = ∑ mi (x12 + y12 )
Jz =∑mi r2 =∑mi (x2 +y2)
= ∑ mi[x12 + ( y1 + d )2 ]
=
1 ml 2 3
则
J zC
=
Jz
−
m( l )2 2
=
ml 2 12
要求记住三个转动惯量
（1） 均质圆盘对盘心轴的
转动惯量 mR2
2
（2） 均质细直杆对一端的
转动惯量 ml 2
3
（3） 均质细直杆对中心轴
的转动惯量 ml 2
12
§12-5 质点系相对于质心的动量矩定理
1．对质心的动量矩
∑ ∑ r
=
r LC
r LO
=
rrC
× mvrC
+
r LC
=
r M
O
(
mvrC
)
+
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§
12-1 质点和质点系的动量矩 1．质点的动量矩 对点O 的动量矩
对 z 轴的动量矩
单位:kg·m2/s
2．质点系的动量矩
对点的动量矩 对轴的动量矩
电教
30分钟
()O M mv r mv
=⨯r r r r [()]()
O z z M mv M mv =r r r 1
()n O
O i i i L M m v ==∑r r r 1
()
n
z z i i i L M m v ==∑r []O z z
L L =r
O x y z L L i L j L k
=++r r r r
即
（1） 刚体平移.可将全部质量集中于质心,作为一个质点来计算.
（2） 刚体绕定轴转动
转动惯量
§12-2 动量矩定理
1．质点的动量矩定理，设O 为定点,有
其中，
因此， 称为质点的动量矩定理:质点对某定点的 动量矩对时间的一阶导数,等于作用力对 同一点的矩. 投影式:
2. 质点系的动量矩定理
由于
20分钟
20分钟
10分钟
()
z z C L M mv =r
()
O O C L M mv =r r r i
i i i i z z r v m v m M L ∑=∑=)(2
i i i i i r m r r m ∑=∑=ωω2i i z r m J ∑=ω
z z J L =d d ()()d d O M mv r mv t t =⨯r r r r d d ()d d r mv r mv t t
=⨯+⨯r
r r r d ()d mv F t
=r r
（O 为定点）
d d r v t
=r r 0v mv ⨯=r r d ()()
d O O M mv M F t =r r r r
d ()()d x x M mv M F t
=r r
d ()()d y y M mv M F t
=r r
d ()()d z z M mv M F t
=r r
()()d ()()()d i e O i i O i O i M m v M F M F t =+r r r r r r
()()d ()()()d i e O i i O i O i M m v M F M F t ∑=∑+∑r r r s r r
()
()0
i O i M F ∑=r r d d d ()()d d d O
O i i O i i L M m v M m v t t t
∑=∑=r
r r r r
§12-3 刚体绕定轴的转动微分方程 主动力： 约束力：
即： 或： 或：
§12-4 刚体对轴的转动惯量
单位：kg ·m2
1. 简单形状物体的转动惯量计算
(1)均质细直杆对一端的转动惯量 （2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量 （3）均质圆板对中心轴的转动惯量
电教
30分钟
12,,,n
F F F r r r L L 12
,N N F F r r d
()()()d i z z i z N J M F M F t
ω=∑+∑r r ()z i M F =∑r
d ()d z z i J M F t ω=∑r ()
z z J M F α=∑r 22d ()d z z J M F t
ϕ
=∑r 21
i i n
i z r m J -∑=2
3
1ml J z
=222mR m R R m J i i z =∑=∑=2
2
1mR J O =
授课方式 理论课√ 讨论课□ 习题课□ 实验课□ 上机课□ 技能课□ 其他□
授课题目
§12-5 质点系相对于质心的动量矩定理
§12-6 刚体的平面运动微分方程
目的与要求 掌握质点系相对于质心的动量矩定理，刚体平面运动微分方程的应用。
重点与难点
重点：刚体平面运动微分方程的应用。
难点：刚体平面运动微分方程的应用。
教学基本内容
方法及手段
§12-5 质点系相对于质心的动量矩定理 1．对质心的动量矩
由于 得 有
即：质点系相对质心的动量矩，无论是以相对速度或以绝对速度计算质点系对于质心的动量矩其结果相同.
对任一点O 的动量矩：
2 相对质心的动量矩定理
电教
30分钟
()C C i i
i i i L M m v r m v '==⨯∑∑r r r r r
C i i C i i ir
L r m v r m v ''=⨯+⨯∑∑r r r r r
i C ir
v v v =+r r r ()0
i i C i i C r mv mv v ''⨯=⨯=∑∑r r r r C i i ir
L r m v '=⨯∑r r r ()O C C
i i L r r m v '=+⨯∑r r r r
C i i i i i
r mv r mv '=⨯+⨯∑∑r r r r
,i i C i i i C
m v m v r m v L '=⨯=∑∑r r r r r O C C C
L r mv L =⨯+r r r r
()O C C
M mv L =+r r r
()d ()d e C
C i L M F t
=⨯∑r
r r。