第十二章动量矩定理授课时间

§

12-1 质点和质点系的动量矩 1．质点的动量矩 对点O 的动量矩

对 z 轴的动量矩

单位:kg·m2/s

2．质点系的动量矩

对点的动量矩 对轴的动量矩

电教

30分钟

()O M mv r mv

=⨯r r r r [()]()

O z z M mv M mv =r r r 1

()n O

O i i i L M m v ==∑r r r 1

()

n

z z i i i L M m v ==∑r []O z z

L L =r

O x y z L L i L j L k

=++r r r r

即

（1） 刚体平移.可将全部质量集中于质心,作为一个质点来计算.

（2） 刚体绕定轴转动

转动惯量

§12-2 动量矩定理

1．质点的动量矩定理，设O 为定点,有

其中，

因此， 称为质点的动量矩定理:质点对某定点的 动量矩对时间的一阶导数,等于作用力对 同一点的矩. 投影式:

2. 质点系的动量矩定理

由于

20分钟

20分钟

10分钟

()

z z C L M mv =r

()

O O C L M mv =r r r i

i i i i z z r v m v m M L ∑=∑=)(2

i i i i i r m r r m ∑=∑=ωω2i i z r m J ∑=ω

z z J L =d d ()()d d O M mv r mv t t =⨯r r r r d d ()d d r mv r mv t t

=⨯+⨯r

r r r d ()d mv F t

=r r

（O 为定点）

d d r v t

=r r 0v mv ⨯=r r d ()()

d O O M mv M F t =r r r r

d ()()d x x M mv M F t

=r r

d ()()d y y M mv M F t

=r r

d ()()d z z M mv M F t

=r r

()()d ()()()d i e O i i O i O i M m v M F M F t =+r r r r r r

()()d ()()()d i e O i i O i O i M m v M F M F t ∑=∑+∑r r r s r r

()

()0

i O i M F ∑=r r d d d ()()d d d O

O i i O i i L M m v M m v t t t

∑=∑=r

r r r r

§12-3 刚体绕定轴的转动微分方程 主动力： 约束力：

即： 或： 或：

§12-4 刚体对轴的转动惯量

单位：kg ·m2

1. 简单形状物体的转动惯量计算

(1)均质细直杆对一端的转动惯量 （2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量 （3）均质圆板对中心轴的转动惯量

电教

30分钟

12,,,n

F F F r r r L L 12

,N N F F r r d

()()()d i z z i z N J M F M F t

ω=∑+∑r r ()z i M F =∑r

d ()d z z i J M F t ω=∑r ()

z z J M F α=∑r 22d ()d z z J M F t

ϕ

=∑r 21

i i n

i z r m J -∑=2

3

1ml J z

=222mR m R R m J i i z =∑=∑=2

2

1mR J O =

授课方式 理论课√ 讨论课□ 习题课□ 实验课□ 上机课□ 技能课□ 其他□

授课题目

§12-5 质点系相对于质心的动量矩定理

§12-6 刚体的平面运动微分方程

目的与要求 掌握质点系相对于质心的动量矩定理，刚体平面运动微分方程的应用。

重点与难点

重点：刚体平面运动微分方程的应用。 难点：刚体平面运动微分方程的应用。

教学基本内容

方法及手段

§12-5 质点系相对于质心的动量矩定理 1．对质心的动量矩

由于 得 有

即：质点系相对质心的动量矩，无论是以相对速度或以绝对速度计算质点系对于质心的动量矩其结果相同.

对任一点O 的动量矩：

2 相对质心的动量矩定理

电教

30分钟

()C C i i

i i i L M m v r m v '==⨯∑∑r r r r r

C i i C i i ir

L r m v r m v ''=⨯+⨯∑∑r r r r r

i C ir

v v v =+r r r ()0

i i C i i C r mv mv v ''⨯=⨯=∑∑r r r r C i i ir

L r m v '=⨯∑r r r ()O C C

i i L r r m v '=+⨯∑r r r r

C i i i i i

r mv r mv '=⨯+⨯∑∑r r r r

,i i C i i i C

m v m v r m v L '=⨯=∑∑r r r r r O C C C

L r mv L =⨯+r r r r

()O C C

M mv L =+r r r

()d ()d e C

C i L M F t

=⨯∑r

r r