高等数学曲面方程画法
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高等数学(下)教案曲面及其方程
高等数学(下)教案曲面及其方程教学目标：1. 理解曲面的概念，掌握曲面的基本性质。
2. 学习曲面的方程表示方法，掌握常见曲面的方程。
3. 能够利用曲面方程进行曲面的绘制和分析。
教学内容：一、曲面的概念与基本性质1. 曲面的定义2. 曲面的基本性质2.1 曲面的导数2.2 曲面的切线和法线2.3 曲面的曲率2.4 曲面的切平面和法平面二、曲面的方程表示方法1. 参数方程表示法2.1 参数方程的定义2.2 参数方程的求导和积分2. 普通方程表示法2.1 普通方程的定义2.2 普通方程的求导和积分3. 柱面和二次曲面的方程3.1 柱面的方程3.2 二次曲面的方程三、常见曲面的方程1. 圆锥面的方程2. 椭圆面的方程3. 双曲面的方程4. 抛物面的方程5. 直纹面的方程四、曲面的绘制和分析1. 利用参数方程绘制曲面2. 利用普通方程绘制曲面3. 曲面的切线和法线分析4. 曲面的曲率分析5. 曲面的切平面和法平面分析教学方法：1. 采用多媒体教学，通过图形和动画展示曲面的形状和性质。
2. 通过例题讲解和练习，使学生掌握曲面方程的求解和分析方法。
3. 引导学生运用曲面方程解决实际问题，提高学生的应用能力。
教学评价：1. 课堂讲解和练习的参与度。
2. 学生对曲面方程的掌握程度。
3. 学生能够运用曲面方程进行曲面的绘制和分析。
教学资源：1. 教学PPT和动画演示。
2. 曲面方程的相关教材和参考书。
3. 计算机软件进行曲面的绘制和分析。
六、曲面的切平面和法线1. 切平面的定义与性质6.1 切平面的定义6.2 切平面的性质2. 法线的定义与性质6.3 法线的定义6.4 法线的性质3. 切平面和法线的求法6.5 切平面和法线的求法七、曲面的曲率1. 曲率的定义与性质7.1 曲率的定义7.2 曲率的性质2. 曲率的计算7.3 曲率的计算方法3. 曲面的弯曲程度分析7.4 曲面的弯曲程度分析八、曲面的绘制与分析实例1. 实例一：圆锥面的绘制与分析8.1 圆锥面的参数方程8.2 圆锥面的普通方程8.3 圆锥面的切平面和法线分析2. 实例二：椭圆面的绘制与分析8.4 椭圆面的参数方程8.5 椭圆面的普通方程8.6 椭圆面的切平面和法线分析3. 实例三：双曲面的绘制与分析8.7 双曲面的参数方程8.8 双曲面的普通方程8.9 双曲面的切平面和法线分析九、曲面在实际问题中的应用1. 曲面在工程中的应用9.1 曲面在机械设计中的应用9.2 曲面在建筑设计中的应用2. 曲面在自然科学中的应用9.3 曲面在光学中的应用9.4 曲面在声学中的应用十、复习与练习1. 复习本章内容10.1 复习曲面的概念与基本性质10.2 复习曲面的方程表示方法10.3 复习常见曲面的方程2. 课堂练习10.4 完成课堂练习题3. 课后作业10.5 布置课后作业教学方法：1. 采用案例教学法，通过具体实例讲解曲面的绘制与分析方法。
03曲面及其方程、二次曲面27851 共34页PPT文档
（2）
x2 a2
z2 c2
1
表示什么曲面？
回顾
1. 三元方程 F(x,y,z)=0表示空间的一张曲面S。
2. A x 2 A y 2 A z 2 B x C y D z E 0 表示一张球面。
3. A xB yC zD 0表示空间的一张平面。
4. yoz平面上的母线
曲 面
直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫 圆锥面，两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角叫 圆锥面的半顶角。
12.08.2019
7
高等数学（下）主讲杨益民
例7 试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶角为α
的圆锥面方程。
z
解: 圆锥面的母线方程为
z y cot
C
:
面的方程。
例3 方程 x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z 1 0 0表示
什么图形？
一般地，三元二次方程（不含交叉项且平方项系数相同）
A x 2 A y 2 A z 2 B x C y D z E 0
表示空间的一张球面。
一些特殊平面
用截痕法讨论几种特殊曲面（特别二次曲面）
高等数学（下）主讲杨益民
第三节 曲面及其方程
一、曲面方程的概念
一般地，若曲面S与三元方程 F(x,y,z)=0 满足： （1）曲面S上任一点的坐标都满足方程 F(x,y,z)=0 ； （2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程 F(x,y,z)=0 ；
则称：方程F(x,y,z)=0是曲面S的方程，而曲面S就叫做方程 F(x,y,z)=0的图像。
两个基本问题：
（1）已知曲面S，求曲面方程F(x, y, z) = 0 ？
高数 曲面方程
f ( x y , z ) 0
• 柱面 如,曲面F ( x , y ) 0 表示母线平行 z 轴的柱面. 又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
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2
2
2. 二次曲面
• 椭球面 • 抛物面:
三元二次方程
椭圆抛物面
双曲抛物面
x2 y2 z 2 p 2q • 双曲面: 单叶双曲面 双叶双曲面 2 2 x2 y2 x y 2 2 1 1 2 2 a b a b x2 y2 2 • 椭圆锥面: z a2 b2
2
2
2
2
z
M0
x2 y2 z 2 R2
表示上(下)球面 .
目录
M
x
O
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y
结束
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例2. 研究方程
的曲面. 解: 配方得 可见此方程表示一个球面
表示怎样
球心为 M 0 (1, 2, 0 ) , 半径为 5
说明:如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是
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结束
2. P30 题3 , 10
题10 答案: 在 xOy 面上
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z
f ( y1 , z1 ) 0
当绕 z 轴旋转时, 该点转到 M ( x, y, z ) , 则有
C
M ( x, y , z )
M 1 (0, y1 , z1 )
z z1 ,
x y y1
2 2
2
2
O
y
故旋转曲面方程为
x
2.1.曲面及其方程ppt课件
z
圆
柱
l
面
oo
y
x
注意：在空间直角坐标系，缺项方程〔不完全方程〕的 图形是柱面.
:
18
z
(1) y 2 2 x 表示抛物柱面,
母线平行于 z 轴;
准线为xoy 面上的抛物线.
o
(2) x y 0表示母线平行于
z 轴的平面.
x
z
(且 z 轴在平面上)
注意：描述柱面只须指出
其准线及母线.
o
x
准线
:
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截, 考察其交线(即截痕)的形状, 然后加以综合, 从而 了解曲面的全貌．
以下用截痕法讨论几种常见的二次曲面．
:
23
(1) 椭球面
z
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
O y
1 用坐标面z = 0 , x = 0
x
和y = 0去截割,分别得椭圆
x 2 a2
三元二次方程
椭球面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
抛物面
椭圆抛物面
双曲抛物面
(p,q同号) x 2 y 2 z 2 p 2q
x2 y2 z
2 p 2q
双曲面 单叶双曲面
双叶双曲面
椭圆锥面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
x2 a2
y2 b2
z2
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
dx2y2 |y1|
将 z z1 , y 1 x 2y2代入 f(y1,z1)0
:
10
将 z z 1 , y 1 x 2 y 2代入 f(y1,z1)0
得方程 f( x2y2, z)0.
高等数学上册第七章第五节 曲面及其方程
0z 3
在
yOz面上的投影
z
3y2 ,
xOy面上的圆 x 2 y 2 R2
叫做它的准线，平行于 z 轴的直线 l 叫做它的母线。 其实在 yOz 面内的一条直线: y R, 绕z轴旋转而成的旋转
曲面就是该圆柱面,则圆柱面方程为: x 2 y 2 R. 即
x2 y2 R2.
9
P11
定义: 平行于定直线并沿定曲线C平行移动的直线 l形成的轨迹
方程 Fx, y 0, 在空间 z
Fx, y 0,
直角坐标系中表示：
o 母线平行于 z 轴的柱面,
其准线是 xOy 面上的曲线
y
C : Fx, y 0.
x
C
方程 Gx,z 0, 在空间
直角坐标系中表示：
方程中缺哪个字母，母线 平行于相应的轴。
母线平行于 y轴的柱面, 其准线是 xOz 面上的曲线
1
在空间解析几何中关于曲面的研究,有下列两个基本问题: (1) 已知曲面点的几何轨迹，求曲面的方程； (2) 已知曲面的方程，求这方程所表示的曲面的形状。
1、球面方程
例1 建立球心在 M 0 x0 , y0 , z0 ,
半径为 R 的球面 S 的方程.
解：Mx, y, z S M0M R
M0 M x x0 2 y y0 2 z z0 2 ,
xz 0
o
x
y
12
小 结：
1.曲面的概念
2.球面方程 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
3.平面方程 Ax By Cz D 0 作业:习题7-5
4.旋转曲面
作业纸P50
设 C : f y, z 0 yoz面
下次交P49-50
高等数学第七章：曲面及其方程
这条定直线叫旋 转曲面的轴．
4/21
旋转过程中的特征：
如图 设 M (x, y, z),
(1) z z1
（2）点M 到z 轴的距离
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1 6; 7 ;
（1）双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕 x轴和z轴；
绕x 轴旋转
x2 a2
y2 c2
z2
1
旋 转
双
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
曲 面
x
y z
y2
（2）椭圆
a
2
z2 c2
1绕 y 轴和z轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
0
2
叫圆锥面的
半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，
半顶角为 的圆锥面方程． z
解 yoz面上直线方程为 z y cot
圆锥面方程
z x2 y2 cot x
M1(0, y1, z1 )
o
y
M( x, y, z)
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 求生成的旋转曲面的方程．
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
4/21
4/21
旋转过程中的特征：
如图 设 M (x, y, z),
(1) z z1
（2）点M 到z 轴的距离
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1 6; 7 ;
（1）双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕 x轴和z轴；
绕x 轴旋转
x2 a2
y2 c2
z2
1
旋 转
双
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
曲 面
x
y z
y2
（2）椭圆
a
2
z2 c2
1绕 y 轴和z轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
0
2
叫圆锥面的
半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，
半顶角为 的圆锥面方程． z
解 yoz面上直线方程为 z y cot
圆锥面方程
z x2 y2 cot x
M1(0, y1, z1 )
o
y
M( x, y, z)
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 求生成的旋转曲面的方程．
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
4/21
高等数学6(6)曲面及其方程
p 0,q 0
21
特殊地 当p q时, 方程变为
x2 y2 z ( p 0)
旋转抛物面
2p 2p
x2 y2 z 2 p 2q
(由 xOz面上的抛物线 x2 2 pz 绕z轴旋转
而成的)
用平面 z z1 (z1 0)去截这曲面,截痕为圆.
x2
y2
2 pz1
z z1
当 z1变动时，这种圆 的中心都在 z 轴上.
特点是: 平方项有一个取负号,另两个取正号.
z z
O
x
yx
O
y
炼油厂、炼焦厂的冷却塔就是单叶双曲面
的形状.
24
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
单叶双曲面
z
类似地, 方程
x 2 a2
y2 b2
z2 c2
1
O
ax22
y2 b2
z2 c2
1
x
y
亦表示 单叶双曲面.
想一想 以上两方程的图形是与此图形 一样吗?
f ( y, x2 z2 ) 0
4
例3 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周
所得旋转曲面称为圆锥面. 两直线的交点称为
圆锥面的顶点, 两直线的夹角 (0 )称为
2 圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点O, 旋
转轴为z轴,半顶角为 的圆锥面的方程.
解 yOz面上直线方程为 z
z
z y cot
z z1
当z1 0时,截痕退缩为原点;当z1 0时, 截痕不存在. 原点叫做椭圆抛物面的顶点.
19
x2 y2 z 2 p 2q
(2) 用坐标面 xOz( y 0)去截这曲面, 截痕为抛物线.
§7.3曲面及其方程高数
d
M1(0, y1, z1)
坐标平面上的曲线绕某轴旋转, 轴坐标变量不变, 而将曲线方程中的另一变量改写成该变量与第三个变 量的平方和的正负平方根. 例5: 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周, 所 得旋转曲面叫圆锥面. 两直线的交点叫圆锥面的顶点, 两直线的夹角 ( 0< < /2 )叫圆锥面的半顶角. 试建 立顶点在坐标原点, 旋转轴为 z 轴, 半顶角为 的圆锥 面方程. z 解: 由题意, 可设yoz坐标面上的 直线方程为: z = y cot M1 (0, y1 , z1 ) 则圆锥面方程为: M ( x, y, z ) o y z x 2 y 2 cot x 设cot =a, 则圆锥面的一般方程为:
a
x
o
b y
椭球面与相应平面的截痕均为椭圆. 随着|n|, |m|, |h|的增大, 截痕椭圆收缩, 当|n|=a, |m|=b, |h|=c时, 截痕 椭圆收缩为相应坐标轴上的点.
椭球面的几种特殊情况: 旋转椭球面:当a, b, c中有两个相等时. 如a=b时,
x2 y2 z2 1 a2 a2 c2 x2 z2 是由xoz面上的椭圆 2 2 1 绕z轴旋转而成. a c
旋转椭球面与椭球面的区别: 与平面 z=h ( |h|<c ) 的交线为圆: a2 2 2 x y 2 2 ( c h2 ) . c z h x2 y2 z2 球面: 当 a=b=c 时, 2 2 2 1. a a a x2 y2 z2 3. 单叶双曲面 2 2 2 1. a b c 先用截痕法研究单叶双曲面的形状: 平面z=h与单叶双曲面的截痕: h2 x2 y2 2 2 1 2 b c , a z h
高等数学7.4曲面及其方程
设柱面的准线方程：F（x, y) 0, z 0,母线 / / z轴，求柱面方程
z
解：柱面上M ( x, y, z)，则准线上M（0 x0 , y0 , z0 )，
M
使得MM0 / / z轴 ，从而x x0 , y y0
由于F（x0 , y0 ) 0,从而F（x, y) 0
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截, 考察其交线(即截痕)的形状, 然后加以综合, 从而 了解曲面的全貌．
二次曲面
曲面方程
旋转曲面
柱面
二次曲面
(1) 椭球面
z
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
O y
1 用坐标面z = 0 , x = 0和 x y = 0去截割,分别得椭圆
x
2
a2
柱面
例3
以曲
线
x a
2 2
z2 c2
1
为母线,
y 0
绕 z 轴旋转而成的曲面方程为
x2 y2 a2
z2 c2
1，
即
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1 ——
旋 转 单 叶双曲面
二次曲面
曲面方程
旋转曲面
柱面
例3
以曲线
x2 a2
z2 c2
1 为母线,
y 0
o
的点都在S上;
x
y
那末, 方程F (x, y, z) =0叫做曲面S的方程, 而曲面 S叫做方程F (x, y, z) =0的图形 .
曲面方程
旋转曲面
柱面
高等数学几种常见的曲面及其方程
一、二次曲面
1-1球面
(X-X0)2+(Y-Y0)2+(Z-Z0)2=R2
球心为M0(X0,Y0,Z0)
1-2椭圆锥面
1-3椭球面
其中，表示xOz平面上的椭圆绕z轴旋转而成的椭球面。
1-4单叶双曲面
其中，表示xOz平面上的双曲线绕z轴旋转而成的单叶双曲面。
1-5双叶双曲面
其中，表示xOz平面上的双曲线绕x轴旋转而成的双叶双曲面。
1-6椭圆抛物面
1-7双曲抛物面（马鞍面）
二、柱面
2-1圆柱面
X2+Y2=R2
2-2椭圆柱面
2-3双曲柱面
2-4抛物柱面
y2=2px
注：形如二、柱面只含x,y而缺少z的方程F(x,y)=0在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面，其准线为xOy平面上的曲线C：F(x,y)=0
特别地，
1.球x2+y2+z2=R2
2.圆柱面x2+y2=R2
3.旋转抛物面X2+Y2=z(以原点为顶点，上下两个开口分别向上向下的抛物线旋转而成的图形)
4.X2+Y2=z2(以原点为顶点，上下两个开口分别向上向下的圆锥，锥顶角为90。
)。
曲面及其方程ppt
12
曲面及其方程
一、曲面方程得概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面
z
➢引例
方程 x2 y 2 R2 表示怎样得曲面、
➢分析
M
在xoy面上, x2 y 2 R2 表示圆C,
Co
y
M1
在圆C上任取一点 M1(x, y,0) ,
x
过M1作平行z轴得直线l, 其上所有点得坐标都满足方l 程,
(二次项系数不全为 0 )
得图形通常为二次曲面、 二次曲面得基本类型: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面 研究二次曲面特性得基本方法: 截痕法
z
1、 椭圆锥面
z
x2 a2
y2 b2
z2
( a, b 为正数)
在平面 z t 上的截痕为椭圆
x2 (at)2
y2 (bt ) 2
1,
zt
o yy xx
①
在平面 x＝0 或 y＝0 上得截痕为过原点得两直线 、 可以证明, 椭圆①上任一点与原点得连线均在曲面上、
准线为xoy 面上得椭圆、
x y 0
平面
母线平行于z轴
准线为xoy 面上得直线、
一般地,在空间
方程 F (x, y) 0 表示柱面,
母线平行于 z 轴; 准线xoy 面上得曲线 l1、
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线平行于 x 轴; 准线 yoz 面上得曲线 l2、
方程 H (z, x) 0 表示 柱面,
表示怎样的曲面
曲面及其方程
一、曲面方程得概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面
曲面及其方程
一、曲面方程得概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面
z
➢概念
一条平面曲线绕其平面上
曲面及其方程
一、曲面方程得概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面
z
➢引例
方程 x2 y 2 R2 表示怎样得曲面、
➢分析
M
在xoy面上, x2 y 2 R2 表示圆C,
Co
y
M1
在圆C上任取一点 M1(x, y,0) ,
x
过M1作平行z轴得直线l, 其上所有点得坐标都满足方l 程,
(二次项系数不全为 0 )
得图形通常为二次曲面、 二次曲面得基本类型: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面 研究二次曲面特性得基本方法: 截痕法
z
1、 椭圆锥面
z
x2 a2
y2 b2
z2
( a, b 为正数)
在平面 z t 上的截痕为椭圆
x2 (at)2
y2 (bt ) 2
1,
zt
o yy xx
①
在平面 x＝0 或 y＝0 上得截痕为过原点得两直线 、 可以证明, 椭圆①上任一点与原点得连线均在曲面上、
准线为xoy 面上得椭圆、
x y 0
平面
母线平行于z轴
准线为xoy 面上得直线、
一般地,在空间
方程 F (x, y) 0 表示柱面,
母线平行于 z 轴; 准线xoy 面上得曲线 l1、
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线平行于 x 轴; 准线 yoz 面上得曲线 l2、
方程 H (z, x) 0 表示 柱面,
表示怎样的曲面
曲面及其方程
一、曲面方程得概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面
曲面及其方程
一、曲面方程得概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面
z
➢概念
一条平面曲线绕其平面上
7.4 曲面及其方程
例如
高等数学
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yOz面上曲线C ： f ( y, z) 0 绕 z 轴旋转一周而成
的旋转曲面的方程是什么？
给定旋转曲面上任一点 M (x, y, z) ,
z
设其是曲线 C上点 M1(0, y1, z1)
旋转过程中经过的一点
则有 z1 z, y1 x2 y2
y2 b2
z
特别,当a = b 时为绕 z 轴
的旋转抛物面. z k(x2 y2 )
z Oy
x
(2) 双曲抛物面（鞍形曲面-马鞍面） z
x2 y2 a2 b2
z
x2 a2
y2 b2
z
O
x
y
高等数学
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3 锥面
（1）圆锥面 z2 a2 ( x2 y2 )
❖
椭圆锥面:
x2 a2
y2 b2
z2
高等数学
双曲抛物面
双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
圆锥面: z2 a2 ( x2 y2 )
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思考与练习
指出下列方程的图形:
方程 x5
平面解析几何中 空间解析几何中 平行于 y 轴的直线 平行于 yOz 面的平面
高等数学
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例7.4.4 将xOz面上的抛物线 求所形成的旋转曲面的方程.
绕 z 轴旋转一周，
解 绕z 轴旋转而成的旋转曲面的
方程为 这个曲面称为旋转抛物面
o
y
高等数学
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yOz面上曲线C ： f ( y, z) 0 绕 z 轴旋转一周而成
的旋转曲面的方程是什么？
给定旋转曲面上任一点 M (x, y, z) ,
z
设其是曲线 C上点 M1(0, y1, z1)
旋转过程中经过的一点
则有 z1 z, y1 x2 y2
y2 b2
z
特别,当a = b 时为绕 z 轴
的旋转抛物面. z k(x2 y2 )
z Oy
x
(2) 双曲抛物面（鞍形曲面-马鞍面） z
x2 y2 a2 b2
z
x2 a2
y2 b2
z
O
x
y
高等数学
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3 锥面
（1）圆锥面 z2 a2 ( x2 y2 )
❖
椭圆锥面:
x2 a2
y2 b2
z2
高等数学
双曲抛物面
双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
圆锥面: z2 a2 ( x2 y2 )
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思考与练习
指出下列方程的图形:
方程 x5
平面解析几何中 空间解析几何中 平行于 y 轴的直线 平行于 yOz 面的平面
高等数学
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例7.4.4 将xOz面上的抛物线 求所形成的旋转曲面的方程.
绕 z 轴旋转一周，
解 绕z 轴旋转而成的旋转曲面的
方程为 这个曲面称为旋转抛物面
o
y
高等数学几种常见的曲面及其方程
⾼等数学⼏种常见的曲⾯及其⽅程⼀、⼆次曲⾯
1-1球⾯
(X-X0)2+(Y-Y0)2+(Z-Z0)2=R2
球⼼为M0(X0,Y0,Z0)
1-2椭圆锥⾯
1-3椭球⾯
其中，表⽰xOz平⾯上的椭圆绕z轴旋转⽽成的椭球⾯。
1-4单叶双曲⾯
其中，表⽰xOz平⾯上的双曲线绕z轴旋转⽽成的单叶双曲⾯。
1-5双叶双曲⾯
其中，表⽰xOz平⾯上的双曲线绕x轴旋转⽽成的双叶双曲⾯。
1-6椭圆抛物⾯
1-7双曲抛物⾯（马鞍⾯）
⼆、柱⾯
2-1圆柱⾯
X2+Y2=R2
2-2椭圆柱⾯
2-3双曲柱⾯
2-4抛物柱⾯
y2=2px
注：形如⼆、柱⾯只含x,y⽽缺少z的⽅程F(x,y)=0在空间直⾓坐标系中表⽰母线平⾏于z 轴的柱⾯，其准线为xOy平⾯上的曲线C：F(x,y)=0
特别地，
1.球x2+y2+z2=R2
2.圆柱⾯x2+y2=R2
3.旋转抛物⾯X2+Y2=z(以原点为顶点，上下两个开⼝分别向上向下的抛物线旋转⽽成的图形)
4.X2+Y2=z2(以原点为顶点，上下两个开⼝分别向上向下的圆锥，锥顶⾓为90。
)。
同济版高等数学第六版课件第八章第五节曲面及其方程
曲面的应用领域
物理学：研究曲面形状对 物理现象的影响
计算机图形学：用于创建 三维模型和动画
地质学：用于描述地球表 面的形态
生物学：用于研究生物体 的表面结构
工程学：用于设计各种曲 面形状的物体，如汽车车 身、飞机机翼等
数学：用于研究曲面的性 质和结构，以及解决相关 的数学问题
06
曲面方程的解题技 巧与注意事项
同济版高等数学第 六版课件第八章第 五节曲面及其方程
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目录
添加目录项标题 曲面方程的求解方法 曲面方程的拓展知识
曲面及其方程的基本概念
曲面方程的应用实例 曲面方程的解题技巧与注 意事项
01
添加章节标题
02
曲面及其方程的基 本概念
曲面的定义和分类
曲面的定义：曲面是连续但不光滑的二维图形，由一条或多条曲线组成
04
曲面方程的应用实 例
球面方程的应用
定义：球面方程是描述球面形状的数学方程 应用实例1：计算球面上的点到球心的距离 应用实例2：确定球面上点的坐标 应用实例3：绘制球面图形
柱面方程的应用
定义：柱面方程是 平面与空间直线或 平面相交形成的曲 面
应用实例1：在计 算机图形学中，柱 面方程可以用来描 述三维图形的旋转 和扭曲
总结：通过对解题思路的总结，可以更好地掌握曲面方程的解题技巧 和注意事项，提高解题效率。
感谢观看
汇报人：PPT
解题技巧
熟练掌握曲面方 程的基本形式和 性质
灵活运用代数运 算技巧，简化方 程
掌握常见的曲面 方程的解题方法
注意方程的适用 范围和限制条件
注意事项
理解曲面方程的 基本概念和性质
高等数学曲面方程画法
思考与练习
1. 指出下列方程的图形:
方程 x5
平面解析几何中 空间解析几何中 平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面
x2 y2 9 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆
以 z 轴为中心轴的 圆柱面
y x 1 斜率为1的直线 平行于 z 轴的平面
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y
f ( x2 y2 , z) 0
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思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z C : f (y, z) 0 o
y x
f ( y, x2 z2 ) 0
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例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为
一般地,在三维空间
方程 F(x, y) 0 表示柱面,
母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
母线 平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3.
的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
表示抛物柱面,
z
母线平行于 z 轴;
准线为xoy 面上的抛物线.
x2 a2
y2 b2
1表示母线平行于
z 轴的椭圆柱面.
x
z
C
o
y
z
x y 0 表示母线平行于
z 轴的平面.
o y
o y
(且 z 轴在平面上) x
x
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2
三元方程 F(x , y , z) = 0
2 2 2
• 球面 (x − x0 ) + ( y − y0 ) + (z − z0 ) = R • 旋转曲面
f ( y, z) = 0绕 z 轴的旋转曲面 轴的旋转曲面: 如, 曲线 x =0
f (± x + y , z) = 0
2 2
• 柱面 轴的柱面. 如,曲面F(x , y) = 0表示母线平行 z 轴的柱面 曲面 又如,椭圆柱面 双曲柱面, 又如 椭圆柱面, 双曲柱面 抛物柱面等 . 椭圆柱面
z
y
x l1
zl 2
y
方程 G( y, z) = 0 表示柱面, 柱面,
母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
x
z
l3
方程 H(z, x) = 0 表示柱面, 柱面,
母线 平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3.
x
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y
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四、二次曲面
三元二次方程
Ax2 + By2 + Cz 2 + Dxy + Eyx + Fzx + Gx + Hy + Iz + J = 0
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M(x, y, z) x
y
l 的坐标也满足方程 x2 + y2 = R2 沿曲线C平行于 轴的一切直线所形成的曲面称为 沿曲线 平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为 圆柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 圆柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程,故在空间
y = x +1
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2. 二次曲面 • 椭球面 • 抛物面 抛物面:
三元二次方程
椭圆抛物面
双曲抛物面
x2 y2 + =z 2 p 2q • 双曲面 单叶双曲面 双曲面: 双叶双曲面 x2 y2 x2 y2 + 2 + 2 =1 = −1 2 2 a b a b 2 2 x y • 椭圆锥面 椭圆锥面: + 2 = z2 a2 b
M (x, y, z)
C
M1 (0, y1, z1 )
z = z1,
x + y = y1
2 2
o
y
故旋转曲面方程为
x
f ( ± x2 + y2 , z) = 0
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思考： 轴旋转时，方程如何？ 思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z
C : f ( y, z) = 0
o x
y
f ( y, ± x + z ) = 0
2 2
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试建立顶点在原点, 旋转轴为z 例3. 试建立顶点在原点 旋转轴为 轴, 半顶角为 的圆锥面方程. 的圆锥面方程 面上直线L 解: 在yoz面上直线 的方程为 面上直线
z
L
轴旋转时, 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
α
M(0, y, z)
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( p, q 同号)
思考与练习
1. 指出下列方程的图形 指出下列方程的图形: 方 程
x =5
x + y =9
2 2
平面解析几何中
空间解析几何中
平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0) 圆心在 半径为 3 的圆 斜率为1的直线 斜率为 的直线 以 z 轴为中心轴的 圆柱面 平行于 z 轴的平面
o x
y
注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:
+ 2− 2= a2 b c
x
2
y
2
z
2
1 −1
单叶双曲面 双叶双曲面
P18
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4. 椭圆锥面
x y + 2 = z 2 ( a, b 为正数) a2 b z
2
2
x
y
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内容小结
1. 空间曲面
o
F(x, y, z) = 0
z
S y
x
求曲面方程. 求曲面方程 (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ).
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例1. 求动点到定点 方程. 方程 解: 设轨迹上动点为 即
距离为 R 的轨迹
依题意
(x − x0 )2 + ( y − y0 )2 + (z − z0 )2 = R
(x −1)2 + ( y − 2)2 + (z − 3)2 = (x − 2)2 + ( y +1)2 + (z − 4)2 化简得 2x − 6 y + 2z − 7 = 0 说明: 的垂直平分面. 说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,
不在此平面上的点的坐标不满足此方程. 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
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定义1. 定义 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程 上的点的坐标不满足此方程, 的方程, 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程 的图形. 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形 两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
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建立yoz面上曲线 轴旋转所成曲面的方程: 建立 面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程 面上曲线 给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) = 0 若点 M1(0, y1, z1) ∈C, 则有
z
f ( y1, z1) = 0
轴旋转时, 当绕 z 轴旋转时, 该点转到 M(x, y, z) , 则有
x +y =R
2 2 2
表示圆柱面
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定义3. 定义 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面 叫做准线 叫做母线 准线, 母线. 的轨迹叫做柱面. C 叫做准线 l 叫做母线 柱面 • 表示抛物柱面 表示抛物柱面, 抛物柱面 母线平行于 z 轴; 准线为xoy 面上的抛物线 面上的抛物线. 准线为
z
C
o x
z
x y • 2 + 2 = 1表示母线平行于 a b z 轴的椭圆柱面 轴的椭圆柱面 椭圆柱面.
• x − y = 0 表示母线平行于 z 轴的平面 轴的平面 平面. (且 z 轴在平面上 且 轴在平面上)
2
2
y
z
o
y
o
y
x
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x
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一般地, 一般地,在三维空间 柱面, 方程 F(x, y) = 0 表示柱面, 母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
表示怎样 表示怎样
都可通过配方研究它的图形. 都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹. 或虚轨迹.
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二、旋转曲面
定义2. 定义 . 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 绕其平面上一条定直线 定直线旋转 所形成的曲面叫做旋转曲面. 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴 . 例如 :
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2. 抛物面 (1) 椭圆抛物面
z
2
x y + = z ( p , q 同号) 同号) 2p 2q
特别, 轴的旋转抛物面. 特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. (2) 双曲抛物面（鞍形曲面） 双曲抛物面（鞍形曲面）
2
x
y
z
x y 同号) − + = z ( p , q 同号) 2p 2 q
故所求方程为
特别, 在原点时, 特别,当M0在原点时,球面方程为
(x − x0 )2 + ( y − y0 )2 + (z − z0 )2 = R2 z
x2 + y2 + z 2 = R2
表示上(下 球面 表示上 下)球面 .
x
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M0
o
M y
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例2. 研究方程 的曲面. 的曲面. 解: 配方得 此方程表示: 此方程表示 球心为 M0 (1,− 2, 0) , 半径为 5 的球面. 的球面. 说明: 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
第七章
第三节 曲面及其方程
一、曲面方程的概念
二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面
机动
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一、曲面方程的概念
等距离的点的 引例: 求到两定点 引例: 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程 方程. 轨迹方程. 解:设轨迹上的动点为 M(x, y, z) , 则 AM = BM , 即
三元方程 F(x , y , z) = 0
2 2 2
• 球面 (x − x0 ) + ( y − y0 ) + (z − z0 ) = R • 旋转曲面
f ( y, z) = 0绕 z 轴的旋转曲面 轴的旋转曲面: 如, 曲线 x =0
f (± x + y , z) = 0
2 2
• 柱面 轴的柱面. 如,曲面F(x , y) = 0表示母线平行 z 轴的柱面 曲面 又如,椭圆柱面 双曲柱面, 又如 椭圆柱面, 双曲柱面 抛物柱面等 . 椭圆柱面
z
y
x l1
zl 2
y
方程 G( y, z) = 0 表示柱面, 柱面,
母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
x
z
l3
方程 H(z, x) = 0 表示柱面, 柱面,
母线 平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3.
x
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y
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四、二次曲面
三元二次方程
Ax2 + By2 + Cz 2 + Dxy + Eyx + Fzx + Gx + Hy + Iz + J = 0
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M(x, y, z) x
y
l 的坐标也满足方程 x2 + y2 = R2 沿曲线C平行于 轴的一切直线所形成的曲面称为 沿曲线 平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为 圆柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 圆柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程,故在空间
y = x +1
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2. 二次曲面 • 椭球面 • 抛物面 抛物面:
三元二次方程
椭圆抛物面
双曲抛物面
x2 y2 + =z 2 p 2q • 双曲面 单叶双曲面 双曲面: 双叶双曲面 x2 y2 x2 y2 + 2 + 2 =1 = −1 2 2 a b a b 2 2 x y • 椭圆锥面 椭圆锥面: + 2 = z2 a2 b
M (x, y, z)
C
M1 (0, y1, z1 )
z = z1,
x + y = y1
2 2
o
y
故旋转曲面方程为
x
f ( ± x2 + y2 , z) = 0
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思考： 轴旋转时，方程如何？ 思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z
C : f ( y, z) = 0
o x
y
f ( y, ± x + z ) = 0
2 2
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试建立顶点在原点, 旋转轴为z 例3. 试建立顶点在原点 旋转轴为 轴, 半顶角为 的圆锥面方程. 的圆锥面方程 面上直线L 解: 在yoz面上直线 的方程为 面上直线
z
L
轴旋转时, 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
α
M(0, y, z)
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( p, q 同号)
思考与练习
1. 指出下列方程的图形 指出下列方程的图形: 方 程
x =5
x + y =9
2 2
平面解析几何中
空间解析几何中
平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0) 圆心在 半径为 3 的圆 斜率为1的直线 斜率为 的直线 以 z 轴为中心轴的 圆柱面 平行于 z 轴的平面
o x
y
注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:
+ 2− 2= a2 b c
x
2
y
2
z
2
1 −1
单叶双曲面 双叶双曲面
P18
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4. 椭圆锥面
x y + 2 = z 2 ( a, b 为正数) a2 b z
2
2
x
y
机动
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内容小结
1. 空间曲面
o
F(x, y, z) = 0
z
S y
x
求曲面方程. 求曲面方程 (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ).
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例1. 求动点到定点 方程. 方程 解: 设轨迹上动点为 即
距离为 R 的轨迹
依题意
(x − x0 )2 + ( y − y0 )2 + (z − z0 )2 = R
(x −1)2 + ( y − 2)2 + (z − 3)2 = (x − 2)2 + ( y +1)2 + (z − 4)2 化简得 2x − 6 y + 2z − 7 = 0 说明: 的垂直平分面. 说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,
不在此平面上的点的坐标不满足此方程. 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
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定义1. 定义 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程 上的点的坐标不满足此方程, 的方程, 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程 的图形. 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形 两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
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建立yoz面上曲线 轴旋转所成曲面的方程: 建立 面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程 面上曲线 给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) = 0 若点 M1(0, y1, z1) ∈C, 则有
z
f ( y1, z1) = 0
轴旋转时, 当绕 z 轴旋转时, 该点转到 M(x, y, z) , 则有
x +y =R
2 2 2
表示圆柱面
机动
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定义3. 定义 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面 叫做准线 叫做母线 准线, 母线. 的轨迹叫做柱面. C 叫做准线 l 叫做母线 柱面 • 表示抛物柱面 表示抛物柱面, 抛物柱面 母线平行于 z 轴; 准线为xoy 面上的抛物线 面上的抛物线. 准线为
z
C
o x
z
x y • 2 + 2 = 1表示母线平行于 a b z 轴的椭圆柱面 轴的椭圆柱面 椭圆柱面.
• x − y = 0 表示母线平行于 z 轴的平面 轴的平面 平面. (且 z 轴在平面上 且 轴在平面上)
2
2
y
z
o
y
o
y
x
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x
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一般地, 一般地,在三维空间 柱面, 方程 F(x, y) = 0 表示柱面, 母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
表示怎样 表示怎样
都可通过配方研究它的图形. 都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹. 或虚轨迹.
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二、旋转曲面
定义2. 定义 . 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 绕其平面上一条定直线 定直线旋转 所形成的曲面叫做旋转曲面. 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴 . 例如 :
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2. 抛物面 (1) 椭圆抛物面
z
2
x y + = z ( p , q 同号) 同号) 2p 2q
特别, 轴的旋转抛物面. 特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. (2) 双曲抛物面（鞍形曲面） 双曲抛物面（鞍形曲面）
2
x
y
z
x y 同号) − + = z ( p , q 同号) 2p 2 q
故所求方程为
特别, 在原点时, 特别,当M0在原点时,球面方程为
(x − x0 )2 + ( y − y0 )2 + (z − z0 )2 = R2 z
x2 + y2 + z 2 = R2
表示上(下 球面 表示上 下)球面 .
x
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M0
o
M y
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例2. 研究方程 的曲面. 的曲面. 解: 配方得 此方程表示: 此方程表示 球心为 M0 (1,− 2, 0) , 半径为 5 的球面. 的球面. 说明: 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
第七章
第三节 曲面及其方程
一、曲面方程的概念
二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面
机动
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一、曲面方程的概念
等距离的点的 引例: 求到两定点 引例: 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程 方程. 轨迹方程. 解:设轨迹上的动点为 M(x, y, z) , 则 AM = BM , 即