2.1指数概念的推广

仿负整数指数幂的意义, a
m n
1 2
1 2

1 a
m n
a 0, m, n 均为正整数.
分数指数幂没有意义 .
且0的正分数指数幂为 0,0的负
有了分数指数幂的意义 以后, 指数幂的概 念就从整数指数推广到 有理数指数.对于 有理数指数幂 , 原整数指数幂的运算性 质 保持不变,即
a s a t a s t ,
奇次方根有以下性质：
在实数范围内，
正数的奇次方根是正数。 负数的奇次方根是负数。 零的奇次方根是零。
（1）25的平方根是________ ±5 ±3 （2）81的四方根是________ （3）-16的四次方根是_____ （4）16的四次方根是_______
±2
± a2 12 （5）a 的六次方根是________
偶次方根有以下性质： 在实数范围内，
正数的偶次方根有两个且是相反数， 负数没有偶次方根， 零的偶次方根是零。
需要注意的是,0的 n 次实数方根等于 0 .
n 式子 a 叫做 根 式 radical ,
其中 n 叫做根指数, a 叫做被 开方数 .
例1 求下列各式的值 :
1 5 ; 4 4 3 2 ;
2
n n 5 解 1 思考 a
3 2 2 2 . 2 2 4 3 3 3.
4 4 4 4
2 3

2 2 ; 2 4 3 .
3 3
2
2

, 5n .an
3
.
2 .
1 2
5 2
2
a a a a

1 2
1 2 aa
3 3 2 4 a a .
1 2
例4:化简（式中字母都是正数）
(1)(2a b )(6a b ) (3a b )
2 3
1 2
1 2
1 3
1 6
5 6
(2)(m n
1 4
在上述例子中, x 只能 取正整数.我们还知道对 于式子 2 , x 取 负 整 数和
x
0 也是有意义的.那么, x 能 取分数甚至无理数吗 ?
为了解决上述问题, 我 们先来探讨分数指数 幂的意义 .
2 . 分 数 指数 幂
观察下面的变形 :
5 2 10
2
类似地, 3 3 , 3 3 , m
1 2 1 2 2 2 1 2
.
28
2 3
2
3 2

2 3 3
2
3
2 3
2 2 4.
39
3
3 4

3
3 2 2
3
3
1 4 81

1 . 27
3
3 4 4
3 27.
练习2：
(1)8 ____ ( 2)100
3 8
)
8
例4:化简（式中字母都是正数）
(2a b )(6a b ) (3a b )
2 3
1 2
1 2
1 3
1 6
5 6
[2 (6) (3)]a
4ab 4a
0
2 1 1 3 2 6
b
1 1 5 2 3 6
例4:化简（式中字母都是正数）
1 4 3 8
1 2 3 2 3
____ ______
1 (3) 4
16 ( 4) 81
3 4
______
例 3 用分数指数幂的形式表 示下列 各式 a 0 :
1 a
2
a;
2
2
2
a a.
1 2
解 1 a
a a a a
1 2 2
a .
⑴ 观察下表：
x
1
1 .4
x 2 x
用计算器计算 2 x 的值
21
2
1.41
1.414 1.4142

2
2 1 .4 21.41 21.414
2
1.4142
?
2
2
2.639015821 2.657371628 2.664749650 2.665119088
?
你认为
有意义吗？是如何确定 2
s t t
① ②
a
a st , a a ,
t t
ab
③
其中 s, t Q , a 0, b 0 .
在本书中 , 若无特殊说明 , 底数中的字母均 为正数.
例 2 求值 :
1 2 2 3 3 2 3 4
1 1100 ; 2 8 ; 3 9 ; 4 81 解 1100 10 10 10 .
( (
)
) )
(
)
例1:求下列各式的值
(1): 3
(8) -8
3
(2)
( 10 )
( a b) a b
4
2
10
(3)
4
(3 )
4
(4)
2
(a>b)
3
(5)
3
8 -2
(6)
(3a 1)
4
1 3a
1 (a ) 3
一、复习
1.整数指数幂概念：
n
a a a a ( n ) N
n
(n 1, n N ),那么 称 x为 a 的 n 次实数

方根 n th root .

_

（1）125的立方根是________ 5 （2）-27的立方根是________ -3
（3）-32的五次方根是_____ -2 2 （4）128的七次方根是_______
（5）26的三次方根是________ 22 =4 （6） 37 的七次方根是_______ 3
(2)(m n
)
8
(m ) (n ) 2 m 3 n
1 4 8
3 8 8
m n
2
3
）： 练习：⑴ 用根式的形式表示下列各式（ a 0 ①
⑵ 用分数指数幂的形式表示下列各式： m2 ① 4 3 (m 0) ②
a
7 5
②
a
3 2
x y ( y 0) 3
⑶ 求值：① 25 2 ⑷ 化简： ①
2
的含义的？
x , 随着x的取值越来越接近于 2 2 的值也越来越接近于一个实数，我们把 这个实数记为 2 2
⑵ 利用计算器，制作一个表格，观察并 说明无理指数幂 2 3 的含义. ⑶ 一般地，当 a 0 ，且x是一个无理数时，
a x 也是一个确定的实数，有理数指数幂
的运算性质对实数指数幂同样适用
3 12 3 5 15 5
10 10 2 2 2 ,5 2 2 . 2 12 15
10 5
n m
10 2
一般地, 我们规定 a a
n n
n 这表明,当m 被 n 整除时, 就有 a a . m
m
a 0, m, n 均为正整数.
这就是正数a的正分数指数幂的意义 . 由此可知,2 的意义为2 2 .
n n
n
(n Z )
3.根式运算性质：

na
n
n
a
a
,
(n为奇数)
(n为偶数)
n a | a |
引例： 如果细胞分裂一次需要10分钟，那么
一个细胞1个小时后分裂成多少个细胞？请 同学们列表计算，并写出x与y的关系式。 细胞分 相应细 裂次数x 胞个数y 2 1 4 2 3 8 16 4 x y2 32 5 6 64
0
a 1 (a 0)
n
n个a
1 a n (a 0, n N ) a 零的负整数次幂没有意义
零的零次幂没有意义
2.整数指数幂的运算性质：
⑴ ⑵
a a a (m, n Z ) m n mn (a ) a (m, n Z )
m n
m n
⑶
(ab) a b
六、回顾反思 1.幂的运算性质可以从整数指数推广到 有理数指数，再推广到实数指数的形式； 2.用分数指数表示根式的目的是为将根式 运算转化为指数运算； 3. a 是
m n
n
am
的一种新的写法，分数指数
幂与根式表示相同意义的量，只是
形式上的不同而已.
根式的运算性质
(1) (
n
a )n=a
n
(2) 当n为奇数时, 当n为偶数时,
n
a
n
n
=a a(a ≥ 0)
a
=lal= -a(a<0)
练习1：
0 (1) (1 2cos60o) 1; 2 (2) ( 5) 5; 6 6 (3) ( 8) 8; (4) x2 1 1 x2 0; (
1 2 1 3 6
a a a
2 3
1 2
25 ②( ) 4 3
1 4 8
m

3 2
(a 0)
( x y ②
)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( x 0, y 0)
3 2
③ ( x y) 2 ( xy ) ( x 0, y 0)
五、研究拓展
我们已将指数式中的指数x从整数推广到分数 （有理数），是否还可以将指数推广到无理数呢？ 例如“ 2 2 ”有意义吗？
2 .1 指 数 函 数
2 . 1 .1 指 数 概念的推广
1 .根式
我们知道 , 如果 x a, 那么 x 称为 a 的
2
平方根 quadraticroot ; 如 果 x a, 那么称 x 为 a 的立方根 cubic root.
3
一 般 地 , 如 果一个实 数 x 满 足 x a