《圆》综合复习学案

圆的全章复习

【本讲教育信息】

一、教学内容

第三章：知识回顾与测试

二、教学目标

1. 理解圆的概念，掌握圆的对称性、圆周角和圆心角的关系.

2. 掌握点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系及其所对应的数量关系.

3. 会计算弧长、扇形面积和圆锥的侧面积.

三、知识要点

1. 点和圆的位置关系

点在圆外，即这点到圆心的距离__________半径；

点在圆上，即这点到圆心的距离__________半径；

点在圆内，即这点到圆心的距离__________半径.

P P

2. 圆的对称性

（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.

（2）圆是中心对称图形，对称中心为圆心.

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应各组量都分别相等.

1

2

3. 圆周角和圆心角的关系

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.

直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.

4. 确定圆的条件

不在同一直线上的三个点确定一个圆.

5. 直线和圆的位置关系

直线和圆相交，即d__________r；

直线和圆相切，即d__________r；

直线和圆相离，即d__________r；

圆的切线垂直于过切点的直径.

经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线. 6. 圆和圆的位置关系

7. 弧长及扇形面积

在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l ＝__________； 如果扇形半径为R ，圆心角为n °，那么S 扇形＝__________或__________. 8. 圆锥的侧面积和全面积

r

四、重点难点：

重点有三个：一是圆的有关性质，主要包括圆的对称性和圆周角与圆心角的关系；二是和圆有关的位置关系；三是弧长和扇形面积的计算问题.

难点是和圆有关的综合问题，不规则图形的面积计算问题.

【典型例题】

考点一：圆的轴对称性

例1. （1）如图所示，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，则⊙O

的半径长为__________cm .

A

B C

D

M

(1)

(2)

（2）如图所示，CD 是⊙O 的直径，AB 是弦，OD ⊥AB 于M ，则可得出AM ＝BM ，︵

AC ＝︵

BC 等结论，请你按现有的图形再写出另外两个结论：__________.

D

O

A

B

C

(1)

(2)

分析：（1）欲求半径长，可连接OB ，BC ＝AC ＝12AB ＝1

2

×8＝4（cm ）. 在Rt △OCB 中，

OB ＝OC 2＋BC 2＝32＋42＝5（cm ），即⊙O 的半径长为5cm . （2）∵CD 是直径，OM ⊥AB ，

∴AM ＝BM ，︵AC ＝︵BC ，︵AD ＝︵

BD. 由圆的有关性质知，在同圆或等圆中，相等的弧所对的

弦相等；相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等. ∵︵AC ＝︵

BC ，∴AC ＝BC. 又∵OD ⊥AB ，∴∠ACM ＝∠BCM ，∴∠A ＝∠B.

解：（1）5（2）︵AD ＝︵

BD ，AC ＝BC 等. 评析：（1）垂直于弦的直径所具有的性质可概括为：如果一条直线具有①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧这5个结论中的任意2个，就可推出其余3个，但应注意“经过圆心，平分弦”作为题设时，必须是非直径的弦. （2）①垂径定理的应用常与勾股定理相联系；②连接半径是圆中常见的一种辅助线的作法，通过连接半径可构造出直角三角形，利用勾股定理求相关线段的长度. ③在运用弧与弦的关系时应注意其成立的条件“同圆或等圆中”；它也是证明弧相等和弦相等的常用方法.

考点二：圆周角和圆心角的关系

例2. （1）如图所示，C 是︵

AB 的中点，与∠ADC 相等的角的个数是（ ） A. 7个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

O

A

B

C

D

P

1

2

(1)(2)

（2）如图所示，正方形ABCD 内接于⊙O ，P 是劣弧AD 上任意一点，则∠1＋∠2＝

（ ）

A. 90°

B. 60°

C. 45°

D. 30°

A

B

C

D

(1)(2)

分析：（1）由同弧或等弧所对的圆周角相等可知，∠ADC ＝∠ABC ＝∠CAB ＝∠CDB ，

故与∠ADC 相等的角共有3个. （2）连结OA 、OD ，在正方形ABCD 中，∵AB ＝BC ＝CD

＝AD ，∴︵AB ＝︵BC ＝︵CD ＝︵AD. ∴︵AD 所对的圆心角∠AOD ＝1

4

×360°＝90°. ∴∠AOP ＋∠DOP

＝90°，∴∠1＋∠2＝12∠AOD ＋1

2

∠DOP ＝45°，故选C.

解：（1）B （2）C

评析：同弧或等弧所对的圆周角相等常用来证明两角相等；或进行角的转换，将一个圆周角转换为同弧所对的其他圆周角，从而达到题目中的要求.

考点三：点和圆的位置关系

例3. （1）如图所示，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝3cm ，AB ＝4cm ，以点B 为圆心，以3cm 为半径作⊙B ，则AC 的中点D 与⊙B 的位置关系是__________.

C

O

A

B

C

12

3

45

6

(1)(2)

（2）如图所示，在△ABC 中，点O 是外心，∠BAC ＝50°，则∠BOC ＝__________°.

B

C

B

C

(1)(2)

分析：（1）由勾股定理易求AC ＝5cm ，其斜边AC 的中点D 就是其外接圆的圆心，BD ＝1

2

AC ＝2.5cm ，由于2.5＜3，所以点D 在⊙B 内. （2）由于点O 是△ABC 的外心，所以OA ＝OB ＝OC ，可以得出∠1＝∠3，∠2＝∠4，∠5＝∠6，因为∠1＋∠2＝50°，所以∠3＋∠4＝50°. 因为∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝180°，所以∠5＋∠6＝180°－50°－50°＝80°，所以∠BOC ＝180°－80°＝100°.

解：（1）点D 在⊙B 内. （2）100

考点四：直线和圆的位置关系

例4. 如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，∠DAB ＝22.5°，延长AB 到点C ，使得∠ACD ＝45°. （1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AB ＝22，求BC 的长.

C

分析：（1）连结OD ，证明OD ⊥CD 即可. （2）由（1）可知△OCD 是直角三角形，利用直角三角形的有关知识解题.

解：（1）证明：连接OD. ∵∠DAB ＝22.5°，∠DOC ＝2∠DAB ，∴∠DOC ＝45°. 又∵∠ACD ＝45°，∴∠ODC ＝180°－∠ACD －∠DOC ＝90°，即OD ⊥CD. ∴CD 是⊙O 的切线. （2）由（1）可得△ODC 是等腰直角三角形，BC ＝OC －OB ＝2－ 2.

评析：切线的判定方法有三种，而常用的有两种：①当题意中未出现直线与圆的公共点