算法考试复习要点

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算法考试复习提纲

一、算法的基础知识

1、算法的基本概念

算法是由若干条指令组成的有穷序列，具有以下5个特征：

●确定性：每条指令都是明确的、无二义的

●能行性：每条指令都必须是能够执行的

●输入：允许有0个或多个输入量，取自特定的集合

●输出：产生一个或多个输出，它（们）与输入量之间存在着某种特定的关系

●有穷性：每一条指令执行的次数都是有穷的

2、衡量算法好坏的标准

最初，用所需要的计算时间来衡量一个算法的好坏，但不同的机器相互之间无法比较，需要用独立于具体计算机的客观衡量标准，包括：

●问题的规模

●基本运算

●算法的计算量函数

3、渐近符号的概念和内涵

●符号O：对于存在大于0的常数c和非负的整数n0，以及足够大的n，对于所有的n≥

n0来说，有t(n)≤cg(n)，我们说函数t(n)包含在O(g(n))中，记作t(n)∈O(g(n))。（上界）●符号Ω：对于存在大于0的常数c和非负的整数n0，以及足够大的n，对于所有的n≥

n0来说，有t(n)≥cg(n)，我们说函数t(n)包含在Ω(g(n))中，记作t(n)∈Ω(g(n))。（下界）●符号Θ：对于存在大于0的常数c1、c2和非负的整数n0，以及足够大的n，对于所有

的n≥n0来说，有c2g(n)≤t(n)≤1g(n)，我们说函数t(n)包含在Θ(g(n))中，记作t(n)∈Θ(g(n))。（上下界，即确界）

换言之，一个算法的渐进时间由算法的多项式时间中次数最高的那一项决定。

二、分治法

1、分治法的基本概念

把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题，直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。

2、分治法适合求解问题的特点

●问题的规模缩小到一定程度就可以容易地解决

●问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质

●基于子问题的解可以合并为原问题的解

●问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题

3、分治法求解的一般过程。

●分解（Divide）：将原问题分解为子问题

●解决（Conquer）：求解子问题

●合并（Combine）：组合子问题的解得到原问题的解

4、针对以下递归式，使用主方法给出渐近界

（1）T(n)=9T(n/3)+n

解：a=9，b=3，f(n)=n。n log b a=n2，取0<ε<1，则有，f(n)=O(n2-ε)=O （n log b a-ε），满足主定理情况一，所以，T(n)=Θ(log b a)= Θ(n2)（2）T(n)=9T(n/3)+n^2

解：a=9，b=3，f(n)= n2。n log b a=n2，则有，f(n)=O(n2)=O（n log b a），满足主定理情况二，所以，T(n)=Θ(log b a*lbn)= Θ(n2*lbn)。

（3）T(n)=9T(n/3)+n^3

解：a=9，b=3，f(n)=n3。n log b a=n2，取0<ε<1，则有，f(n)=Ω(n2+ε)= Ω（n log b a+ε），满足主定理情况三，同时，af(n/b)=9*f(n/3)=9*(n/3)3= 1/3*n3=1/3*f(n)，取1/3<=c，即满足af(n/b)<=cf(n)，所以T(n)=Θ(f(n))= Θ(n3)

5、快速排序

快速排序算法，对数组A[p..r]进行排序

分解：数组A[p..r]被划分为子数组A[p..q-1]和A[q+1..r]，A[p..q-1]中的每个元素都小于等于A[q]，A[q+1..r]中的每个元素都大于等于A[q]，q在划分时确定

解决：通过递归调用快速排序算法，对子数组A[q+1..r]和A[p..q-1]进行排序

合并：由于子数组的排序为原地排序，解的合并不需要操作，整个数组已经排好序QUICKSORT(A,p,r)

if p

then q=PARTITIION(A,p,r)

QUICKSORT(A,p,q-1)

QUICKSORT(A,q+1,r)

QUICKSORT(A,1,length[A])

PARTITION(A, p, r)

x←A[r]

i←p-1

for j ← p to r-1

do if A[j] ≤ x

then i ← i+ 1

exchange A[i] ↔A[j]

exchange A[i+1] ↔A[r]

return i+1

最坏情况时间复杂度Θ(n2)

平均情况时间复杂度Θ(nlgn)

例：一趟划分过程中的数组的演化

取key=49，初始i=0,j=6；

第一次：j--=5；27,38,65,97,76,13,49；

第二次：i++=1；27,38,49,97,76,13,65；

第三次：j--=4；27,38,13,97,76,49,65；

第四次：i++=2；27,38,13,49,76,97,65；

此时，j--=3=i++；OVER。故一趟快速排序后的序列为：27,38,13,49,76,97,65

三、动态规划

1、动态规划方法适合求解问题的特点

若一个问题可以分解为若干个高度重复的子问题，且问题也具有最优子结构性质，就可以用动态规划法求解

●具体方式：可以递推的方式逐层计算最优值并记录必要的信息，最后根据记录的信息构

造最优解

●与分治法类似，也是将问题分解为规模逐渐减小的同类型的子问题

●与分治法不同，分解所得的子问题很多都是重复的

●动态规划方法总体思想是：保存已解决的子问题的答案，在需要时使用，从而避免大量

重复计算

2、矩阵链乘问题

1）找出最优解的性质，刻画其特征结构

对于矩阵连乘问题，最优解就是找到一种计算顺序，使得计算次数最少。令m[i][j]表示第i 个矩阵至第j个矩阵这段的最优解。将矩阵连乘积简记为A[i:j] ，这里i<=j.假设这个最优解在第k处断开，i<=k

递归式：

用动态规划算法解此问题，可依据其递归式以自底向上的方式进行计算。在计算过程中，保存已解决的子问题答案。每个子问题只计算一次，而在后面需要时只要简单查一下，从而避免大量的重复计算，最终得到多项式时间的算法。

3）用动态规划算法解此问题

可依据其递归式以自底向上的方式进行计算。在计算过程中，保存已解决的子问题答案。每个子问题只计算一次，而在后面需要时只要简单查一下，从而避免大量的重复计算，最终得到多项式时间的算法。

其他例子：

如LCS问题：