23节点电位法
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节点电位法
(1 1
1 2
1 4
)U
n3
0
(3)
辅助方程：
U n1
U n3 1
I1
(4)
联立求解上述方程组得： I1= 4A
小结
1.节点电压法是以节点电压为电路变量的求解电路的方法。其方 程的本质是独立的KCL方程。
2.用该方法求解电路时，首先选择参考点，接着列写节点电压方程， 然后联立求解，最后根据得到的节点电压再求其他的电量。
（4）依欧姆定律和各节点电压值求出各支路电流。
【例1】 用节点电压法求图电压U0。
解：以图中的接地点为参考考点，求U0只需列两个节点方程
1 5
40
1 5
1 50
1 10
U1
1 10
U2
1 8
40
1 10
U1
1 8
1 10
1 40
U
2
0 10
解得： U1 50V U 2 80 V
所以 U 0 50 40 10 V
【例3】 图示电路，试用节点法求Ix。 解：方法一：选择参考点及节点
电压(如图示)。设未知量电流I。
2W
u1
1W u2
u1 14
1u1 (1 0.5)u2 I 3
0.5u1 (1 0.5)u3 I 0 u2 u3 8 (附加方程)
解得： u1=14V u2=12V 所以： IX u1 u3 5A
iS3
整理得：
G5
(G1+G2+G5)u1-G2u2-G5u3=is1-is3 -G2u1+(G2+G3)u2-G3u3=is2
u1
G2
u2
G3
u3
节点电压法经典例题
电路中含电流源的情况 Is
设：U B 0
则：
E1 IS
? UA R1 111 R1 #43;
_
B
E1 IS
UA
R1 1
1
R1 R2
例3. 试列写下图含理想电压源电路的节点电压方程。
方法1: 增设一个理想电压源支路电流变量I ，再增加一个补充方程：
I
I2= (VA- VB)/10k= 4.36mA
I3= VB-U= (VB +240)/40k= 5.45mA I4= VB /40=0.546mA
I5= VB /20=-1.09mA
节点电压法的习题
（类型1：支路含有电压源与电阻串联）
例2. 用节点法求图所示的电流i，已知R1=3Ω， R2=R3=2Ω，R4=4Ω，us=2V，is=1A。 解：
U V3 20 195
V2 90 I 1
1
－ 90V
＋ 2
1 － U 20A ＋ 2 3 2
＋－ 110V
求得 I (V2 90) /1 120A
＋
－ 100V
1
节点电压法的习题（类型6：含受控电流源支路） 例 列如下图(a)所示的节点方程。图中u是b、d两端的电压。
d
(a)
(b)
知识的回顾
支路电流法（以支路电流为变量求解方程） n个节点，b条支路的电路图.
（1）假设各支路电流的参考方向和网孔的 巡回方向。
（2）对（n-1）个节点列KCL方程。 对（b-n+1）个网孔列写以支路电流为
变量表示 的 KVL方程，并加入元件VCR约束 条件。 （3）求解b个支路方程，从而求解各支路电流。
i1
i3
i4
iS
设：U B 0
则：
E1 IS
? UA R1 111 R1 #43;
_
B
E1 IS
UA
R1 1
1
R1 R2
例3. 试列写下图含理想电压源电路的节点电压方程。
方法1: 增设一个理想电压源支路电流变量I ，再增加一个补充方程：
I
I2= (VA- VB)/10k= 4.36mA
I3= VB-U= (VB +240)/40k= 5.45mA I4= VB /40=0.546mA
I5= VB /20=-1.09mA
节点电压法的习题
（类型1：支路含有电压源与电阻串联）
例2. 用节点法求图所示的电流i，已知R1=3Ω， R2=R3=2Ω，R4=4Ω，us=2V，is=1A。 解：
U V3 20 195
V2 90 I 1
1
－ 90V
＋ 2
1 － U 20A ＋ 2 3 2
＋－ 110V
求得 I (V2 90) /1 120A
＋
－ 100V
1
节点电压法的习题（类型6：含受控电流源支路） 例 列如下图(a)所示的节点方程。图中u是b、d两端的电压。
d
(a)
(b)
知识的回顾
支路电流法（以支路电流为变量求解方程） n个节点，b条支路的电路图.
（1）假设各支路电流的参考方向和网孔的 巡回方向。
（2）对（n-1）个节点列KCL方程。 对（b-n+1）个网孔列写以支路电流为
变量表示 的 KVL方程，并加入元件VCR约束 条件。 （3）求解b个支路方程，从而求解各支路电流。
i1
i3
i4
iS
第2章 2.1-2.2支路电流法、网孔电流法
1
R4i A R6iB ( R3 R4 R6 )iC us 3 us 4
第二章 电路的基本分析方法
总结：应用网孔法分析具有 3 个网孔电路的方程通式
R11 i A R12 i B R13 iC us11 R21 i A R22 i B R23 iC us 22 R31 i A R32 i B R33 iC us 33
对于节点 D
对于回路Ⅰ -R1i1+R2i2-Rgig=0 对于回路Ⅱ -R3i3+R4i4+Rgig=0 对于回路 Ⅲ R1i1+R3i3+Ri=us
第二章 电路的基本分析方法
R1 R4 R3 R us 2 ig R4 Rg RRg R1 R4 R1 R4 R1 R3 R R Rg R3 R4 R R R3 R3 R 2 2 2 2
电阻上电压用支路电流表示
第二章 电路的基本分析方法
支路电流法的解题步骤:
1. 标出各支路电流的参考方向，标出回路循行方向。 2. 用 KCL 列出 ( n－1 )个独立的节点电流方程。 3. 用 KVL 列出 b－( n－1 ) 个独立的回路电压方程 （通常可取网孔列出）。
4. 联立求解 b 个方程，得到各支路电流。
当ig=0, 即桥路上电流为零(或桥路电压uCD=0)时，称电桥平衡。 R1 R3 R1 R4 或 R3 R2 R4 R
2
就是电桥平衡的条件。
支路电流法是电路分析中最基本的 方法之一，但当支路数较多时，所需 方程的个数较多，求解不方便。
第二章 电路的基本分析方法
电位的计算
电路中两点间的电压值是固定的，不会 因参考点的不同而改变。
3
电路如图示：
C 4A 20
140V
A 5 6A D
10A
6
90V
1、若选A为参考点，则各点电位如下
B
VA=0
VB = UBA = -60V， VC = UCA = 80V， VD = UDA = 30V
2、若选B为参考点，则各点电位如下
VB=0
电位的计算
电位的概念：
在电路中任选一节点，设其电位为零（用 标记）， 此点称为参考点。其它各节点对参考点的电压，便是
该节点的电位。记为：“VX”（注意：电位为单下标）。
a
a
1 b 5A
1 b 5A
a 点电位： Va = 5V
b 点电位： Vb = -5V
2
注意 电位和电压的区别
电位值是相对的,参考点选得不同，电路 中其它各点的电位也将随之改变；
点的电压；
5
电位在电路中的表示法
R1
+
_ R2
_E1 +E2
R3
+E1 R1
-E2 R2 R3
6
参考电位在哪里？
+15V R1
+
Байду номын сангаасR1
15V
-
R2 -15V
+ R2 - 15V
7
例： 计算图示电路中的VA。
解： 将用电位表示的电路还原为
原电路形式；
A点为开路点，不能与参考 点连接！
+10V 4k 2k
A
5k
计算A点电位，即计算A=B点
-8V
到参考点的电压。
4k 10V
3
电路如图示：
C 4A 20
140V
A 5 6A D
10A
6
90V
1、若选A为参考点，则各点电位如下
B
VA=0
VB = UBA = -60V， VC = UCA = 80V， VD = UDA = 30V
2、若选B为参考点，则各点电位如下
VB=0
电位的计算
电位的概念：
在电路中任选一节点，设其电位为零（用 标记）， 此点称为参考点。其它各节点对参考点的电压，便是
该节点的电位。记为：“VX”（注意：电位为单下标）。
a
a
1 b 5A
1 b 5A
a 点电位： Va = 5V
b 点电位： Vb = -5V
2
注意 电位和电压的区别
电位值是相对的,参考点选得不同，电路 中其它各点的电位也将随之改变；
点的电压；
5
电位在电路中的表示法
R1
+
_ R2
_E1 +E2
R3
+E1 R1
-E2 R2 R3
6
参考电位在哪里？
+15V R1
+
Байду номын сангаасR1
15V
-
R2 -15V
+ R2 - 15V
7
例： 计算图示电路中的VA。
解： 将用电位表示的电路还原为
原电路形式；
A点为开路点，不能与参考 点连接！
+10V 4k 2k
A
5k
计算A点电位，即计算A=B点
-8V
到参考点的电压。
4k 10V
2-4节点法
§2.4 节点法
2、4
节点法
i5
G5
节点电压（节点电位）:节点到 参考点之间的电压。 取该电路中节点4为参考点， 则其它三个节点电压分别为：
1 i1 G1 2 G3 i3 3 is i4 i2 G2 G4 4
u1、u2 、u3。
对于具有n个节点的电路，一定有(n-1)个 节点电压是一组完备的独立电压变量， 节点电压具有独立性和完备性。
本节重点:
节点法：节点方程的列写规则；
特殊情况的处理。
作业：
2-8
2-9
u=u2=6V i=3 A
练习 2-5 2-13
小结：
（1）实际电压源支路等效转换成实际电流源。 （2） 理想电压源有两种处理方法： 其一: 将理想电压源负极所在节点设为参考点， 则理想电压源正极所在节点电压已知; 2-12例1 其二: 在理想电压源支路上设电流，补列一个 KVL方程。 （3）受控源列方程时类似独立源，列完方程后控制 量用节点电压表示。 （4） 电导与理想电流源串联支路的等效。
1S
5 5
解：节点1：
(0.1 1 0.1)u1 u2 1 u4 0.1 1
节点2： u1 1 (1 1 0.5)u2 u3 0.5 0.125 节点3： u2 0.5 (0.5 0.5 0.25)u3 u4 0.25 0.125 节点4：
u1 0.1 u3 0.25 (0.1 0.25 0.25)u4 0
解出u1,u2,u3,u4, 既可求出各个支路的电压和电流。
例1 求节点电压u1、u2， u3 。
解：
节点1：
节点2： (0.5+1+0.5)u1- u2 -0.5 u3= 1.5-3.5 - u1 +(1+0.5) u2 -0.5 u3 =1+1.5
2、4
节点法
i5
G5
节点电压（节点电位）:节点到 参考点之间的电压。 取该电路中节点4为参考点， 则其它三个节点电压分别为：
1 i1 G1 2 G3 i3 3 is i4 i2 G2 G4 4
u1、u2 、u3。
对于具有n个节点的电路，一定有(n-1)个 节点电压是一组完备的独立电压变量， 节点电压具有独立性和完备性。
本节重点:
节点法：节点方程的列写规则；
特殊情况的处理。
作业：
2-8
2-9
u=u2=6V i=3 A
练习 2-5 2-13
小结：
（1）实际电压源支路等效转换成实际电流源。 （2） 理想电压源有两种处理方法： 其一: 将理想电压源负极所在节点设为参考点， 则理想电压源正极所在节点电压已知; 2-12例1 其二: 在理想电压源支路上设电流，补列一个 KVL方程。 （3）受控源列方程时类似独立源，列完方程后控制 量用节点电压表示。 （4） 电导与理想电流源串联支路的等效。
1S
5 5
解：节点1：
(0.1 1 0.1)u1 u2 1 u4 0.1 1
节点2： u1 1 (1 1 0.5)u2 u3 0.5 0.125 节点3： u2 0.5 (0.5 0.5 0.25)u3 u4 0.25 0.125 节点4：
u1 0.1 u3 0.25 (0.1 0.25 0.25)u4 0
解出u1,u2,u3,u4, 既可求出各个支路的电压和电流。
例1 求节点电压u1、u2， u3 。
解：
节点1：
节点2： (0.5+1+0.5)u1- u2 -0.5 u3= 1.5-3.5 - u1 +(1+0.5) u2 -0.5 u3 =1+1.5
电工技术：节点电位的概念;节点电位法解题思路
二、节点电压法的解题思路
1.节点电压法:以（n-1）个节点电压为未知量，运用KCL列出（n-1）个电流 方程，联立解出节点电压，进而求得其它未知电压和电流的分析方法称为节 点电压法，简称节点法。 2.节点电压法的推导
V0 0
节点电压：U10、U20
应用KCL可写出：
节点1： I1 I 2 I 3 I S1 节点2： I3 I 4 +I 5
（3）解方程组得
U10 40V U 20 42V
三、利用节点电压法求解各支路电流的一般步骤
（4）求各支路电流。
I1 I2 I3 I4 U 10 40 8A R1 5 U 10 40 2A R2 20 U 10 U 20 40 42 1A R3 2 U 20 42 1A R4 42
电流为负，说明实际方向与参考方向相反
3. 求解方程得到节点电压
4. 求解其它待求量
如果要求其它量，利用求出的节点电压进一步求解。
三、利用节点电压法求解各支路电流的一般步骤
例1：求如图所示电路中各支 路电流。已知： I S1 9 A，
U S 5 48V , R1 5 R2 20解：（1）选节点0为参考节点，其余两个节 点的电压分别是U10、U20 。
（2）列出该电路的节点电压方程
1 1 1 1 U 10 U 20 I S1 R R2 R R 3 3 1 1 U 1 1 1 U 20 S 5 U 10 R R3 R5 3 R4 R5
R3 2, R5 3, R4 42
U 20 G4U 20 R4 U 20 U S 5 G5 (U 20 U S 5 ) R5
石油石化职业技能鉴定试题集(变电所值班员技师部分)
一、选择题(每题有4个选项，其中只有1个是正确的，请将正确的选项号填入括号内）1．AAO01求解复杂直流电路时，如果电路的支路数较多,而回路数较少,应用（)求解比较方便。
，(A）支路电流法(b）网孔电流法（c)节点电压法（D）戴维南定理2。
AAO01 用网孔电流法求解电路时，如各网孔电流的正方向都选为顺时针方向（或都选为逆时针方向)，则各个互电阻皆取（)号.（A)正（b)负（c）同(D)异3. AAO01 网孔电流法适用于（）电路。
（A)平面（B)非平面(C）容性(D）感性4。
AA 002以电路的一组独立节点的各电位为未知数，以非独立节点为参考点，根据基尔霍夫第一定律列方程式联立求解，从而求出各支路电流的方法称为( ）法。
(A）支路电流(B）网孔电流(C）节点电位（D）节点电流5。
AA 002节点电位法一般以节点电位为电路的独立变量，应用( ）定律列出个数与节点电位数相等的独立方程,从而求解节点电位和支路电流。
（A）KVL (B)KCL (C)欧姆(D）电磁感应6.AA002对于支路数较多而只有( )节点的电路来说，采用节点电位法，可以不必解联立方程式，使计算步骤简化。
（A ）1个(B)2个（C）3个（D)多个7.AA003戴维南定理是指任意一个( ）网络对其外部电路而言,总可以用一个电压源与入端电阻串联的电路来代替。
（A ）含源的二端（B）线性二端(C)二端（D）线性含源的二端8.AA003运用戴维南定理就能把一个含源二端网络简化成一个等效电源。
这个电源的电动势E等于网络的( ),这个电源的内阻r等于网络的人端电阻。
（A）电压(B）短路电流（C开路电压(D）短路电压9。
AAL003有源网络变无源网络的原则是：电压源（），电流源（）。
（A)断路；短路(B)短路；短路（C）短路；断路(D)断路；断路10. AA004不能用简单的串、并联方法计算的复杂电路,它的支路数是（)。
(A)2个(B)2个及以上(C）3个（D）3个及以上11. A004复杂电路处在过渡过程中，基尔霍夫定律( ）。
第2章 电路的基本分析方法
第2章 电路的基本分析方法
第2章 电路的基本分析方法
2.1 支路电流法 2.2 回路电流法 2.3 节点电位法 习题二
第2章 电路的基本分析方法
2.1 支路电流法
为了完成一定的电路功能，在一个实际电路中，们总 是将元件组合连接成一定的结构形式，于是就出现了上一 章所讲的支路、节点、回路和网孔。当组成电路的元件不 是很多，但又不能用串联和并联方法计算等效电阻时，这 种电路称为复杂电路。图2-1-1是一个具体的例子，该电路 有三条支路、两个节点、两个网孔，若以该电路各支路电 流为未知量计算电路时，最少要列三个方程。本节所讨论 的分析方法就是以支路电流为计算对象的分析方法，称做 支路电流法(branch current method)。
i1+1.5i3=6 3i1 － 12i2+1.5i3=0 解方程组得
i1 = 3 A，i2 = 1 A，i3 = 2 A 应用支路电流法分析电路，列方程时特别要注意电 阻上的电压与电流的参考方向认为是关联的。另外强调 一点：解方程的过程最容易出错，但这是数学问题，应 加强训练，这一点也可以利用现代化的计算工具——计 算机，应用Matlab工具软件计算非常简便。
第2章 电路的基本分析方法
解 n = 2，m = 2， b = 3，各支路电流参考方向如图所 示。根据KCL，对节点A有
i1 － i2 － i3 = 0 假定网孔回路绕行方向如图所示， 根据KVL 网孔①
us1 － i1R1 － i3R3 = 0 网孔②
μu1 － i2R2＋i3R3 = 0
第2章 电路的基本分析方法 代入数据，且考虑到u1= i1R1，整理方程式，得 i1 － i2 － i3=0
第2章 电路的基本分析方法
1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1
第2章 电路的基本分析方法
2.1 支路电流法 2.2 回路电流法 2.3 节点电位法 习题二
第2章 电路的基本分析方法
2.1 支路电流法
为了完成一定的电路功能，在一个实际电路中，们总 是将元件组合连接成一定的结构形式，于是就出现了上一 章所讲的支路、节点、回路和网孔。当组成电路的元件不 是很多，但又不能用串联和并联方法计算等效电阻时，这 种电路称为复杂电路。图2-1-1是一个具体的例子，该电路 有三条支路、两个节点、两个网孔，若以该电路各支路电 流为未知量计算电路时，最少要列三个方程。本节所讨论 的分析方法就是以支路电流为计算对象的分析方法，称做 支路电流法(branch current method)。
i1+1.5i3=6 3i1 － 12i2+1.5i3=0 解方程组得
i1 = 3 A，i2 = 1 A，i3 = 2 A 应用支路电流法分析电路，列方程时特别要注意电 阻上的电压与电流的参考方向认为是关联的。另外强调 一点：解方程的过程最容易出错，但这是数学问题，应 加强训练，这一点也可以利用现代化的计算工具——计 算机，应用Matlab工具软件计算非常简便。
第2章 电路的基本分析方法
解 n = 2，m = 2， b = 3，各支路电流参考方向如图所 示。根据KCL，对节点A有
i1 － i2 － i3 = 0 假定网孔回路绕行方向如图所示， 根据KVL 网孔①
us1 － i1R1 － i3R3 = 0 网孔②
μu1 － i2R2＋i3R3 = 0
第2章 电路的基本分析方法 代入数据，且考虑到u1= i1R1，整理方程式，得 i1 － i2 － i3=0
第2章 电路的基本分析方法
1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1
电路中各点电位的计算课件PPT课件
05 电路中电位计算的注意事 项
电源的影响
电源的极性
电源的正负极决定了电位的相对 高低，正极电位高，负极电位低 。
电源的电压
电源的电压决定了电路中各点的 电位，电压越高，电位差越大。
电阻的影响
电阻的阻值
电阻的阻值大小会影响电流的大小，从而影响电位的高低。
电阻的连接方式
电阻的串联或并联会影响电流的路径和大小，从而影响电位。
节点电位法是通过求解电路中各个节点的电位来求解电路中其他点的电
位的方法。
02 03
步骤
首先，将电路划分为若干个节点，并选择一个参考节点，将其他节点与 参考节点之间的电压设为未知数。然后，根据基尔霍夫定律列出节点电 压方程组，求解未知数。
适用范围
适用于具有多个电源、多个节点、多个支路的复杂电路。
网孔电位法
详细描述
欧姆定律是计算电路中电位差的基本方法，它指出在纯电阻电路中，电流与电位差成正比，与电阻成 反比。基尔霍夫定律则是计算复杂电路中电位差的重要工具，它包括节点电流定律和回路电压定律， 通过列出节点电流方程和回路电压方程，可以求解出电路中各点的电位差。
03 电路中电位的计算方法
节点电位法
01
定义
电位差是电源工作的基础，它使得电荷在电路中定向移动，形成电流。同时，电位差也是信号放大的关键因素， 通过改变电位差可以实现对信号的放大。此外，电位差还可以用于电路保护，例如在过电压或过电流情况下，通 过电位差的变化可以触发保护装置。
电位差的计算方法
总结词
电位差的计算方法主要包括欧姆定律和基尔霍夫定律。
详细描述
在简单电路中，电位计算通常比较直观。通过选取参考点， 我们可以直接使用欧姆定律或基尔霍夫定律来计算各点的电 位。例如，在串联电路中，各点的电位是逐级降低的，而在 并联电路中，各支路电位是独立的。
第1章节点电位法叠加戴维南
2）两次电压测量法：如图2.2，首先测量UOC、，然后将一个已知电阻
RL接到ab端，再测量RL上的电压UL，则
RO
UOC IL
RL
复习思考题： 1、二端网络、有源二端网络 2、戴维南定理 3、戴维南定理应用解题步骤 4、负载获得最大功率的条件 5、戴维南等效电路的实验法
作业：P49 1.35
称为互电导 流入为“+”
3）求出节点电压后，再求出各支路电流。
说明：可根据列写节点电压方程规律，直接写出节点电压方程
注意：所有支路均只有一个元件，如不是则需变换
若电路中有3个独立节点， A ,B ,C
其节点电压方程式为
G11 A G12B G13C IS11
G21 A G22B G2 3C IS 22 G31 A G32B G33C IS 33
等效
无源二端网络：由电阻组成电路
等效
有源二端网络：含有电源电路
二、戴维南定理 1、引入：1）将下图有源二端网络进行等效化简
等效
2）求下图Uab和去源后Rab
结论1：有源二端网络可等效 为一电压源串上一电阻
结论2：电压源的电压为网络 的端口电压Uab；电阻为网络 无源化后的端口电阻Rab
解：I(5+10)-10-5=0 ∴I=1A ∴Uab=5I-10=-5V
Rab= 10 3
推广：任何有源二端网络都有上述结论
戴维南等效电路
2、戴维南定理：任一有源二端网络都可化简为一实际电压源，电压值为网络 端口电压，电阻值为网络无源化后的端口电阻
网络无源化：电压源短路，电流源开路。
戴维南等效电路
3、解题步骤：1）移去待求支路电流的支路（形成二端网络）
电工学 3.3节点电压法
三、节点电压法计算举例
结点分析法的计算步骤如下： 结点分析法的计算步骤如下： 1．选定参考结点 。 标出各节点电压 ， 其参考方向总是独 ． 选定参考结点。标出各节点电压， 参考结点为“ 立结点为 “ + ”，参考结点为“ － ” 。 2．用观察法列出全部(n-1)个独立节点的节点电压方程。 ．用观察法列出全部 个独立节点的节点电压方程。 个独立节点的节点电压方程 3．求解节点方程，得到各节点电压。 ．求解节点方程，得到各节点电压。 4．选定支路电流和支路电压的参考方向，计算各支路电 ．选定支路电流和支路电压的参考方向， 流和支路电压。 流和支路电压。 5.根据题目要求 计算功率和其他量等 根据题目要求,计算功率和其他量等 根据题目要求 计算功率和其他量等.
例3. 用节点电压法求图 (a)电路的电压u和支路电流i1，i2。
解：先将电压源与电阻串联等效变换为电流源与电阻并联， 如图(b)所示。对节点电压u来说 ，图(b)与图(a)等效。只需列 出一个节点方程。
(1S + 1S + 0.5S)u = 5A + 5A
解得
u=
10A = 4V 2.5S
按照图(a)电路可求得电流i1和i2
对只含有两个节点的电路, 其节点电压可表示为 U ∑ S Un1 = R 或 1 ∑ R ∑( GU S ) = Un1 ∑G
上式称为弥尔曼定理。 上式称为弥尔曼定理。分子表示电流源电流或等效电流 源电流代数和。 源电流代数和。分母表示独立节点连接的各支路的 电导之和。 电导之和。电流源电流或等效电流源电流参考方向 指向独立节点取“ ，反之取“ 。 指向独立节点取“+”，反之取“-”。
u1 = 4V, u 2 = −2V, i = 1A
9-节点电位法
1.3.3 节点电位法
一．节点电位法的基本思路
如果已知电路中各节点的电位，那么一条支路两节点之
间的电压等于电位之差，支路的电流运用欧姆定律就可以求 得，所以，求电路中各节点的电位是关键。 节点电位为未知量，写出节点方程，从而解出节点电位， 然后求出支路电流，这种分析方法叫节点电位法，简称节点 法。 运用节点电位法求解电路支路电流，可以将电路方程减 少到n-1个。
上式可以归纳得出列写节点电位方程的一般形式为：
该点的电位×自电导+相邻点的电位×互电导=流入该点电流的代数和
即
G jjVj GjkVk I sjj
Gjj：所选节点的自电导（总取正）；
Vj：所选节点的电位； Gjk：相邻节点的互电导（总取负）
Vk：相邻节点的电位；
Isjj：所选节点流入的电流代数和。 （电流从节点流出取负，流入节点取正）
解得：V1=14V
电流源两端的电压
V2=10V
由V1 1 20 U IS 得U IS V1 20 34 V
电流源发出的功率为： PIS U IS 1A 34W
例 3
用节点电位法求图中各支路的电流 A
IR1 R1 4Ω
B
R2 IR2
解：设电路中C点为零电位点，
则： 对节点A有： V A 3V
其二，如果电路含有理想电压源支路，应选择电阻不影响各个节点的电位
（因为理想电流源的内阻为无穷大）。（见例2）
（5）与理想电压源并联的电阻两端电压恒定，对其它 支路的电流和各节点的电位不产生任何影响。 （6）对含有受控源的电路，在列节点方程时应将它与 独立源同样对待，需要时再将控制量用节点电位表示。
二．节点电位法的基本原理 节点电位：电路中某节点与参考节点之间的电压。 参考节点：在电路中可以任意选取。 图中有0、1、2三个节点，设以 节点0为参考点。 标出各支路电流方向，根据KCL 定律写出节点1、2的KCL方程为： 节点1 节点2
一．节点电位法的基本思路
如果已知电路中各节点的电位，那么一条支路两节点之
间的电压等于电位之差，支路的电流运用欧姆定律就可以求 得，所以，求电路中各节点的电位是关键。 节点电位为未知量，写出节点方程，从而解出节点电位， 然后求出支路电流，这种分析方法叫节点电位法，简称节点 法。 运用节点电位法求解电路支路电流，可以将电路方程减 少到n-1个。
上式可以归纳得出列写节点电位方程的一般形式为：
该点的电位×自电导+相邻点的电位×互电导=流入该点电流的代数和
即
G jjVj GjkVk I sjj
Gjj：所选节点的自电导（总取正）；
Vj：所选节点的电位； Gjk：相邻节点的互电导（总取负）
Vk：相邻节点的电位；
Isjj：所选节点流入的电流代数和。 （电流从节点流出取负，流入节点取正）
解得：V1=14V
电流源两端的电压
V2=10V
由V1 1 20 U IS 得U IS V1 20 34 V
电流源发出的功率为： PIS U IS 1A 34W
例 3
用节点电位法求图中各支路的电流 A
IR1 R1 4Ω
B
R2 IR2
解：设电路中C点为零电位点，
则： 对节点A有： V A 3V
其二，如果电路含有理想电压源支路，应选择电阻不影响各个节点的电位
（因为理想电流源的内阻为无穷大）。（见例2）
（5）与理想电压源并联的电阻两端电压恒定，对其它 支路的电流和各节点的电位不产生任何影响。 （6）对含有受控源的电路，在列节点方程时应将它与 独立源同样对待，需要时再将控制量用节点电位表示。
二．节点电位法的基本原理 节点电位：电路中某节点与参考节点之间的电压。 参考节点：在电路中可以任意选取。 图中有0、1、2三个节点，设以 节点0为参考点。 标出各支路电流方向，根据KCL 定律写出节点1、2的KCL方程为： 节点1 节点2
线性电路分析方法
第三章
线性电路分析方法
简单电路：仅有一个独立节点或一个回路. 复杂电路：含有多个节点或回路。 平面电路：可画在一个平 面上，且使各条支路除连 接点外不再有交叉支路的 电路。
对于平面电路，可以引入 网孔的概念。
1
3-1 支路法：
定义：以支路电压、支路电流为待求量列写电路方程 求解电路的方法。 KCL方程列写： （3个） - i1 + i2 + i3=0 - i2 + i4 + i6=0 - i3 + i5 - i6=0 i1 方程列写： – i4 - i5=0 KVL （3个） - u1+ u2 + u4 = 0 - u2 + u3 – u6 = 0
回路电流，列写其余方程时避开该理想电流源支路。
ia
ib
ic
ia =1.6 -10ia+18ib-4ic=0 -4ib+6ic=-70
ia + u -
ib
ic
12ia- 2ib = -u -2ia+10ib-4ic= u -4ib+6ic= -70 ib-ia=1.6
方法3： 设理想电流源端电压，将此电压暂当作电压源电压列 写方程，并利用理想电流源与相应回路电流关系补充方程。
I3 20 10 8 20 10 8
I1 I2
10 24 4 10 24 4
I3
8 4 20 40 20 20
9
=-0.956A
i = I3= -0.956A
2、求图示电路中各支路电流。
I1
I2
I3
ia ib
(1) 选择网孔电流,参考 方向取顺时针方向； (2) 列写网孔电流方程： 15ia - 5 ib = 40 - 5ia +20 ib = 5 (3) 解网孔电流 ib = 1A ia = 3A (4) 求各支路电流 I1 =ia = 3A I2 = ib = 1A I3 = ia - ib = 2A (10ia+ 5 ib = 35+10)
线性电路分析方法
简单电路：仅有一个独立节点或一个回路. 复杂电路：含有多个节点或回路。 平面电路：可画在一个平 面上，且使各条支路除连 接点外不再有交叉支路的 电路。
对于平面电路，可以引入 网孔的概念。
1
3-1 支路法：
定义：以支路电压、支路电流为待求量列写电路方程 求解电路的方法。 KCL方程列写： （3个） - i1 + i2 + i3=0 - i2 + i4 + i6=0 - i3 + i5 - i6=0 i1 方程列写： – i4 - i5=0 KVL （3个） - u1+ u2 + u4 = 0 - u2 + u3 – u6 = 0
回路电流，列写其余方程时避开该理想电流源支路。
ia
ib
ic
ia =1.6 -10ia+18ib-4ic=0 -4ib+6ic=-70
ia + u -
ib
ic
12ia- 2ib = -u -2ia+10ib-4ic= u -4ib+6ic= -70 ib-ia=1.6
方法3： 设理想电流源端电压，将此电压暂当作电压源电压列 写方程，并利用理想电流源与相应回路电流关系补充方程。
I3 20 10 8 20 10 8
I1 I2
10 24 4 10 24 4
I3
8 4 20 40 20 20
9
=-0.956A
i = I3= -0.956A
2、求图示电路中各支路电流。
I1
I2
I3
ia ib
(1) 选择网孔电流,参考 方向取顺时针方向； (2) 列写网孔电流方程： 15ia - 5 ib = 40 - 5ia +20 ib = 5 (3) 解网孔电流 ib = 1A ia = 3A (4) 求各支路电流 I1 =ia = 3A I2 = ib = 1A I3 = ia - ib = 2A (10ia+ 5 ib = 35+10)
电路原理第二章
整理后，得
125il1 100 il 2 5
1350 il1 110100 il 2 0
2.3 节点电位法
节点电位法特点
列写方程的步骤
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2.3 节点电压法
节点电压法特点 以节点电压作为电路变量列写KCL方程 方程的列写
1 (1) 选定参考节点， 标 明 其 余 n-1 个 独 iS1 立节点的电压. i1 R1 i2 R 2 2 R4 iS3 S2 i3 R3 i4 R5 + uS _ 3 i5
2.2 回路电流法
回路电流法特点
列写方程的步骤
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回路电流法特点
a i1 R1 i2 R2 il1 + uS2 – b
以回路电流作为电路变量, 列写电路的KVL方程求解.
i3
uS1
+
il2
R3
独立回路为2。 选图示的两个独立回路 若假想有2个回路电流沿 回路流动,
–
则支路电流可以用回路电流表示为： 说明: 1)支路电流可以通过回路电流得到.
RS + US _
R1
R2
2) 系统编写回路电流方程. 回路1 ( RS R1 R4 )i1 R1i2 R4 i3 U S
i1
R4
iS i2
+ _ U
回路2 R1i1 ( R1 R2 )i2 U
回路3 R4 i1 ( R3 R4 )i3 U
i3
R3
（2）选择b-(n-1)个独立回路列写KVL方程. 独立回路:每一个选择的回路须含有未用过的支路.
目录 上页 下页 返回
应用支路电流法求解电路的过程: 对具有n 个节点和 b 条支路的电路
电路分析第三章
3.1 支路电流法
支路电流法的一般步骤可归纳如下： (1) 在给定电路图中设定各支路电流的参考方向。 (2) 选择ｎ-１个独立节点，写出ｎ-１个KCL方程。 (3) 选网孔为独立回路，并设定其绕行方向，列写出各网 孔的KVL方程。 (4) 联立求解上述独立方程， 得出各支路电流。
3.1 支路电流法
－
假定各电阻和电源电压值均为已知，求各支路电流。该电路 共有四个节点，六条支路， 三个网孔，七个回路。
3.1 支路电流法
根据KCL，可对四个节点列出四个KCL方程：
I I I 0 2 3 6 节点b： I I I 0 5 6 节点c： 4 节点d： I1 I 3 I 4 0
设各支路电流的参考方向如图所示：
I1 I I
I 2 I II I I I 3 I III I I I 4 I II I 5 I III I 6 I II I III
3.2 网孔电流法
必须指出： (1)设想的网孔电流只是一种计算手段。实际上在一条支路中并 不能观察到两个网孔电流，客观存在的仍是一个合成的支路电 流。 (2) 设想的网孔电流并不违背ＫＣＬ定律，因为网孔电流沿着闭 合路径流动，当它流经某一个节点时，必然是从该节点流入， 又从该节点流出。因此，它们能自动地服从KCL定律。 (3) 各网孔电流之间相互独立，不受ＫＣＬ约束，也不能互求， 因此网孔电流变量具有独立性，可作为电路分析的变量。
3.2 网孔电流法
(1) 按图所示电路中设定的各回路电流方向， 则有
R22=1+2+1=4Ω
I2 1 ＋ 10V IⅠ － 1 I3 IⅡ 1 1A I4 I6 2 IⅢ I5 2
电工电路的分析方法节点电位法戴
缺点
局限性
对于一些复杂电路，节点电位法的求解过程可能 变得复杂，甚至需要借助计算机辅助分析。
精度问题
对于非线性电路，节点电位法的精度可能会受到 影响，需要采用其他方法进行修正。
对初值敏感
节点电位法的求解结果对初值的选择较为敏感， 初值选取不当可能导致计算结果不准确。
改进方向
引入数值计算方法
01
结合数值计算方法，如有限差分法、有限元法等，以提高节点
建立节点电压方程
将电路中的电压源转换为电流源或短路的形式，以便在KCL方程中消去电压项，从而建立 以节点电压为未知数的线性方程组。
求解节点电压
通过求解节点电压的线性方程组，可以得到各节点的电压值。
节点电压的定义
节点电压
在电路中，节点电压是指在某一节点与参考节点之间的电压。对于一个具有n个节点的电路，可以选定任意一个 节点作为参考点，其他节点相对于该参考点的电压即为节点电压。
电位法的求解效率和精度。
研究非线性电路的节点电位法
02
针对非线性电路，研究更为精确的节点电位法，以提高分析的
准确性。
发展计算机辅助分析工具
03
利用计算机技术，开发适用于节点电位法的辅助分析软件，简
化计算过程。
05
节点电位法与其他电路 分析方法的比较
比较对象
节点电位法
基尔霍夫电流定律（KCL）
一种基于节点电位和支路电流的电路分析 方法。
电工电路的分析方法 节点电位法
目 录
• 节点电位法概述 • 节点电位法的基本原理 • 节点电位法的应用实例 • 节点电位法的优缺点 • 节点电位法与其他电路分析方法的比较 • 节点电位法的未来发展与展望
01
第2章23节点电位法
点之一作参考点，如选4作为参考点，这时节点1的电位
v1=2V，可少列一个方程。设节点 2、3 的电位分别为v2、v3,
由电路可写方程组：
1 2
1 2
v
2
1 2
2
4
1 1
1 1
v
3
1 1
2
4
v25V , v31V
例 2. 对图所示电路，求 u 与 i。 (1) 若原电路没有指定参考点，可选理想电压源支路两个节
数值，列写电位方程。（看图写式） 第三步：解方程组，求出各节点电位。
第四步：由各节点电位，求出题目中所求量。
1.不含电压源、受控源电路节点方程的列写
例1 求电导G1、G2、G3 中的电流及3个电流源分别产生的功率。
解： 看图说话，先写出自电导、互电导及电流源数值。
GGG 111111333444777SSS,,, GGG 11212233S3SS,,, GGG 11313344S4SS GGG 22121133S3SS,,, GGG 22222211122233366S6SS,,, GGG 22323322S2SS GGG 33131144S4SS,,, GGG 33232222S2SS,,, GGG 3333335552224441111S1S1S isi1iss111113338881111A1A 1A ,,, isii2ss22222333AAA ,,, isii3ss333332225A55AA
化简： 3 11 v1 4 v2 2
3 4
v1
9 10
v2
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解得： v1＝1V, v2 ＝2V, v3 ＝3V。
由欧姆定律电导形式可得 3 个电流：
i1 G1u21 3 (v2 v1 ) 3 (2 1) 3A
i2 G2u31 4 (v3 v1 ) 4 (3 1) 8A
i3 G3v3 5 3 15A
电流源is1、is2、is3产生的功率;
第二章 电路的基本分析方法
2.3 节 点 电 位 法
2.3.1 节点电位
电路中，任选一节点作
v1
v2
v3 参考点(用 表示) ，其余
各点到参考点之间的电压
称为各节点的电位。
节点电压的参考方向从
节点指向参考点。
第二章 电路的基本分析方法
电路中任何两点间的电压，任何一支路上的电流， 都可应用已知的节点电位求出。如：
ps1 is1v1 8 1 8W ps2 is2 (v1 v2 ) 3 (1) 3W
ps3 is3v3 25 3 75W
第二章 电路的基本分析方法
例1：写出节点电位方程：iS7
1
R4
iS1
R3
R2
R1
0
2
R5
iS8
R6
(1 R1
1 R2
1 R3
1 R4
)
v1
( 1 R3
1 R4
) v2
is1
is7
( 1 R3
1 R4
) v1
1 ( R3
1 R4
1 R5
1 R6
) v2
is8
is7
第二章 电路的基本分析方法
例 2. 对图所示电路，求 u 与 i。 (1) 若原电路没有指定参考点，可选理想电压源支路两个节
点之一作参考点，如选4作为参考点，这时节点1的电位
v1=2V，可少列一个方程。设节点 2、3 的电位分别为v2、v3,
GG11vv11((GG11GG22GG33))vv22GG33vv33 iiss22
GG55vv11GG33vv22((GG33GG44GG55))vv33 00
总结：节点法 分析具有 3 个 独立节点电路 的方程通式
G11v1 G12v2 G13v3 is11
G21v1
G22v2
G23v3
例1 求电导G1、G2、G3 中的电流及3个电流源分别产生的功率。
解： 看图说话，先写出自电导、互电导及电流源数值。
GGG1111133344477S7SS,,, GGG12112233S3SS,,, GGG13113344S4SS GGG21221133S3SS,,, GGG2222211122233366S6SS,,, GGG23223322S2SS GGG31331144S4SS,,, GGG32332222S2SS,,, GGG333335552224441111S1SS isi1is1s1113338881111A1AA,,, isii2ss2222333AAA,,, isii3ss333322525A5AA
节点 电位 方程 组：
7v1 3v2 4v3 11
3v1 6v2 2v3 3
4v1 2v2 11v3 25
第二章 电路的基本分析方法
1.只含有一个元件的支路节点方程的列写
例1 求电导G1、G2、G3 中的电流及3个电流源分别产生的功率。 解： 看图说话，先写出自电导、互电导及电流源数值。
第二章 电路的基本分析方法
节点电位法解题步和等效电流源
数值，列写电位方程。（看图写式） 第三步：解方程组，求出各节点电位。
第四步：由各节点电位，求出题目中所求量。
第二章 电路的基本分析方法
1.不含电压源、受控源电路节点方程的列写
自电导全为正， 互电导全为负。
GG1v11v1 (G(G1 1 GG2 2 GG3 )3v)2v2 GG3v33v3isi2s2
GG5v51v1 GG3v32v2 (G(G3 3 GG4 4 GG5 )5v)3v300
第二章 电路的基本分析方法
((GG11GG55))vv11GG11vv22GG55vv33 iiss11iiss22
由电路可写方程组：
v2 5V, v3 1V
由欧姆定律，求得
i v1 v3 2 (1) 3A
1
1
u23 v2 v3 5 (1) 6V
u 6V
适用：支路、网孔多而节点少的电路。
第二章 电路的基本分析方法
i1 G1(v1 v2 )
i2 i3
G2v2 G3 (v2
v3 )
i4 G4v3
i5 G5 (v1 v3 )
第二章 电路的基本分析方法
节点 1 节点 2 节点 3
iiii121122iiii535533iiiis1ss11111iiisisss2ss222220000
i
s
22
G31v1
G32v2
G33v3
i
s
33
流入节点 的电流源 为正，流 出为负。
n 个节点方 程的通式为
G11v1 G12v2 ... G1nvn is11
G21v1
G22v2
... ......
G2nvn
i s 22
Gn1v1 Gn2v2 ... Gnnvn isnn
由电路可写方程组：
1 2
1 2
v
2
1 2
2
4
1 1
1 1
v3
1 1
2
4
v2 5V, v3 1V
第二章 电路的基本分析方法
例 2. 对图所示电路，求 u 与 i。 (1) 若原电路没有指定参考点，可选理想电压源支路两个节
点之一作参考点，如选4作为参考点，这时节点1的电位
v1=2V，可少列一个方程。设节点 2、3 的电位分别为v2、v3,
i1 G1(v1 v2 ) i4 G4v3 p5 G5 (v1 v3 )2
第二章 电路的基本分析方法
2.3.2 节点电位法
节点电位法： 以各节点电位为未知量，将各支路电流通过支路
VAR 用未知节点电位表示，依KCL 列节点电流方程，
解出各节点电位v1、v2……，再求得其它U、I、 P等。
ii444ii333ii555 00
G1(v1 v2 ) G5 (v1 v3 ) is1 is2 0
G2v2 G3 (v2 v3 ) G1(v1 v2 ) is2 0
G4v3 G3 (v2 v3 ) G5 (v1 v3 ) 0
整理：(G(G1 1 GG5 )5v)1v1 GG1v12v2 GG5v53v3isi1s1 isi2s2
由欧姆定律电导形式可得 3 个电流：
i1 G1u21 3 (v2 v1 ) 3 (2 1) 3A
i2 G2u31 4 (v3 v1 ) 4 (3 1) 8A
i3 G3v3 5 3 15A
电流源is1、is2、is3产生的功率;
第二章 电路的基本分析方法
2.3 节 点 电 位 法
2.3.1 节点电位
电路中，任选一节点作
v1
v2
v3 参考点(用 表示) ，其余
各点到参考点之间的电压
称为各节点的电位。
节点电压的参考方向从
节点指向参考点。
第二章 电路的基本分析方法
电路中任何两点间的电压，任何一支路上的电流， 都可应用已知的节点电位求出。如：
ps1 is1v1 8 1 8W ps2 is2 (v1 v2 ) 3 (1) 3W
ps3 is3v3 25 3 75W
第二章 电路的基本分析方法
例1：写出节点电位方程：iS7
1
R4
iS1
R3
R2
R1
0
2
R5
iS8
R6
(1 R1
1 R2
1 R3
1 R4
)
v1
( 1 R3
1 R4
) v2
is1
is7
( 1 R3
1 R4
) v1
1 ( R3
1 R4
1 R5
1 R6
) v2
is8
is7
第二章 电路的基本分析方法
例 2. 对图所示电路，求 u 与 i。 (1) 若原电路没有指定参考点，可选理想电压源支路两个节
点之一作参考点，如选4作为参考点，这时节点1的电位
v1=2V，可少列一个方程。设节点 2、3 的电位分别为v2、v3,
GG11vv11((GG11GG22GG33))vv22GG33vv33 iiss22
GG55vv11GG33vv22((GG33GG44GG55))vv33 00
总结：节点法 分析具有 3 个 独立节点电路 的方程通式
G11v1 G12v2 G13v3 is11
G21v1
G22v2
G23v3
例1 求电导G1、G2、G3 中的电流及3个电流源分别产生的功率。
解： 看图说话，先写出自电导、互电导及电流源数值。
GGG1111133344477S7SS,,, GGG12112233S3SS,,, GGG13113344S4SS GGG21221133S3SS,,, GGG2222211122233366S6SS,,, GGG23223322S2SS GGG31331144S4SS,,, GGG32332222S2SS,,, GGG333335552224441111S1SS isi1is1s1113338881111A1AA,,, isii2ss2222333AAA,,, isii3ss333322525A5AA
节点 电位 方程 组：
7v1 3v2 4v3 11
3v1 6v2 2v3 3
4v1 2v2 11v3 25
第二章 电路的基本分析方法
1.只含有一个元件的支路节点方程的列写
例1 求电导G1、G2、G3 中的电流及3个电流源分别产生的功率。 解： 看图说话，先写出自电导、互电导及电流源数值。
第二章 电路的基本分析方法
节点电位法解题步和等效电流源
数值，列写电位方程。（看图写式） 第三步：解方程组，求出各节点电位。
第四步：由各节点电位，求出题目中所求量。
第二章 电路的基本分析方法
1.不含电压源、受控源电路节点方程的列写
自电导全为正， 互电导全为负。
GG1v11v1 (G(G1 1 GG2 2 GG3 )3v)2v2 GG3v33v3isi2s2
GG5v51v1 GG3v32v2 (G(G3 3 GG4 4 GG5 )5v)3v300
第二章 电路的基本分析方法
((GG11GG55))vv11GG11vv22GG55vv33 iiss11iiss22
由电路可写方程组：
v2 5V, v3 1V
由欧姆定律，求得
i v1 v3 2 (1) 3A
1
1
u23 v2 v3 5 (1) 6V
u 6V
适用：支路、网孔多而节点少的电路。
第二章 电路的基本分析方法
i1 G1(v1 v2 )
i2 i3
G2v2 G3 (v2
v3 )
i4 G4v3
i5 G5 (v1 v3 )
第二章 电路的基本分析方法
节点 1 节点 2 节点 3
iiii121122iiii535533iiiis1ss11111iiisisss2ss222220000
i
s
22
G31v1
G32v2
G33v3
i
s
33
流入节点 的电流源 为正，流 出为负。
n 个节点方 程的通式为
G11v1 G12v2 ... G1nvn is11
G21v1
G22v2
... ......
G2nvn
i s 22
Gn1v1 Gn2v2 ... Gnnvn isnn
由电路可写方程组：
1 2
1 2
v
2
1 2
2
4
1 1
1 1
v3
1 1
2
4
v2 5V, v3 1V
第二章 电路的基本分析方法
例 2. 对图所示电路，求 u 与 i。 (1) 若原电路没有指定参考点，可选理想电压源支路两个节
点之一作参考点，如选4作为参考点，这时节点1的电位
v1=2V，可少列一个方程。设节点 2、3 的电位分别为v2、v3,
i1 G1(v1 v2 ) i4 G4v3 p5 G5 (v1 v3 )2
第二章 电路的基本分析方法
2.3.2 节点电位法
节点电位法： 以各节点电位为未知量，将各支路电流通过支路
VAR 用未知节点电位表示，依KCL 列节点电流方程，
解出各节点电位v1、v2……，再求得其它U、I、 P等。
ii444ii333ii555 00
G1(v1 v2 ) G5 (v1 v3 ) is1 is2 0
G2v2 G3 (v2 v3 ) G1(v1 v2 ) is2 0
G4v3 G3 (v2 v3 ) G5 (v1 v3 ) 0
整理：(G(G1 1 GG5 )5v)1v1 GG1v12v2 GG5v53v3isi1s1 isi2s2