高斯小学奥数含答案三年级(上)第20讲等差数列初步

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依此类推

而相邻两

项称为末项

首项 第5项

第17项比第9项大几个公差呢?

第5项比第2项大几个公差呢? 第7项比第1项大几个公差呢? 在等差数列中，首先要寻找这四个关键量（即

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在上图中，你能看出第 3项比第1项大几个公差吗? 项的的差则被称为公差

首项、末项、项数和公差）之间的关系•请看下图

第二十讲等差数列初步

大，要么每一项都比前一项小，不能出现既有后一项比前一项大，又有后一项比前一项小的情况

在等差数列中，称第1个数为第1项，第 一只Ittt-张瞬’两只眼睛四条腿卜 晋貝高吐两张嘴，四只駁睛八奈腿； 三只有吐三张HL 亢只眼睛十二衆胪 四只片魁四张喷，八貝臥隔I 人象亚

2个数为第2项，第3个数为第3项

别要注意的是，类似于 1 , 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1,…和1, 0, 1 , 0, 1, 0,…的数列，虽然相邻两 个数的差都相等，但这样的数列不是等差数列，

因为在同一个等差数列中，必须要么每一项都比前一项

数列中所有数的个数称为 项数

在等差数列中，第n 项与第m 项之间相隔n m 个公差

我们把等差数列第1项称为首项 公差

末项

公差

公差

公差

公差

第2项 第3项 第4项一 数列”就是一列数，也就是一些数排成一列.“等差”，就是差相等，也就是相邻两数的差都相等. 特

就等于项数1 •由此，我们就知道末项减去首项等于项数1个公差的和，因此

末项首项项数1 公差

由此可以得到等差数列的通项公式：

末项首项项数1公差

同时我们还可以得到以下这些公式：

首项末项项数1公差

公差末项首项项数1

项数末项首项公差1在运用这些公式时，有一个共同的关键点：某两项之间相差的公差的个数. 抓住这个关键点，很多问题便能迎刃而解.

例题1

(1)一个等差数列共有13项•每一项都比它的前一项大2，并且首项为33,那么末项是多少？

(2)一个等差数列共有13项•每一项都比它的前一项小2，并且首项为33,那么末项是多少？分析：本题中的首项和末项相差了几个公差？是首项大还是末项大呢？

练习1

一个等差数列共有10项•每一项都比它的前一项大

例题2

分析：本题中的首项和末项相差了几个公差？是首项大还是末项大呢?

更重要的是，首项其实就是第1项，末项就是第“项数”项，那么首项和末项之间相隔的公差个数

1,并且首项为21,那么末项是多少?

(1) 一个等差数列共有10项•每一项都比它的前一项大7,并且末项为125,那么首项是多少?

(2) —个等差数列共有10项•每一项都比它的前一项小7,并且末项为125,那么首项是多少?

一个等差数列共有12项•每一项都比它的前一项小4,并且末项为56,那么首项是多少? 例题3

（1）一个等差数列首项为7,第10项为61,那么这个等差数列的公差等于多少？

（2）—个等差数列第4项为7,第10项为61，那么这个等差数列的公差等于多少？

分析：第1项与第10项之间相差几个公差？第4项与第10项之间相差几个公差？7又与61差了几？

相当于几个公差？

练习3

一个等差数列第5项为25，第16项为91,那么这个等差数列的公差等于多少？

例题4

（1）一个等差数列首项为5,末项为93，公差为8，那么这个等差数列一共有多少项？

（2）一个等差数列第3项为50,末项为130,公差为8,那么这个等差数列一共有多少项？

分析：首项和末项之间差几？相当于几个公差？公差的数量和项数是什么关系？

练习4

已知等差数列2、9、16、23、30,……那么709是其中的第几项？

例题5

一个等差数列的首项为11,第10项为200,这个等差数列的公差等于多少？第19项等于多少？305是第几项？

分析：第1项与第10项之间相差几个公差？与第19项呢？305又与200差了几？相当于几个公差？

例题6

下面的各算式是按规律排列的：1+ 1 , 2+ 3 , 3+ 5 , 1+ 7 , 2+ 9 , 3+ 11 , 1+ 13 , 2+ 15 ,

3+ 17 ,……请写出其中所有结果为98的算式.

分析：每个算式的第一个数有什么周期规律？第二个数是什么数列？分别求出第98个数是几？

咼斯生平

高斯，生于不伦瑞克，卒于哥廷根，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家.1799年高斯于黑尔姆施泰特大学因证明代数基本定理获博士学位.从1807年起担任格丁

根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世•高斯和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家.高斯是近代数学奠基者之一，在历史上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之

称.18岁的高斯发现了质数分布定理和最小二乘法.通过对足够多的测量数据的处理后，可以得到一个新的、概率性质的测量结果.在这些基础之上，高斯随后专注于曲面与曲线的计算，并成功得到高斯钟形曲线(正态分布曲线) .其函数被命名为标准正态分

布(或高斯分布)，并在概率计算中大量使用.高斯的肖像已经被印在从1989年至2001年流

通的10德国马克的纸币上.

高斯(Johann Carl Friedrich Gauss) (1777 年 4 月30 日- 1855年 2 月23 日),生于不伦瑞克，卒于哥廷根，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家.高斯被认为是最重要的数学家，并拥有“数学王子”的美誉.

1792年，15岁的高斯进入布伦瑞克(Braunschweig )学院.在那里，高斯开始对高等数学作研究.独

立发现了二项式定理的一般形式、数论上的二次互反律” (Law of Quadratic

Reciprocity)、质数分布定理 (prime number theorem)及算术几何平均(arithmetic-geometric mean).

1795年高斯进入哥廷根大学.1796年，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结果，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》

1855年2月23日清晨，高斯于睡梦中去世.

作业

1. 一个等差数列共有10项.每一项都比它的前一项大2,并且末项为75,那么首项是几?

一个等差数列共有10项.每一项都比它的前一项小2,并且末项为75,那么首项是几?

3. 一个等差数列首项为13,第9项为29,这个等差数列的公差为几？第20项为几?

4. 一个等差数列的第5项为47,第15项为87,这个等差数列的公差等于几？63是第几项?