旅行商问题
np难问题的例子
NP难问题的例子
NP难问题是指那些在多项式时间内无法被解决的问题，它们通常被认为是计算机科学中的最难问题之一。
以下是一些著名的NP难问题的例子：
1. 旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）：该问题的目标是找到一条最短路径，使得一个商人能够访问所有城市，并返回起点城市。
这个问题在实践中是非常复杂的，因为它涉及到很多因素，如城市之间的距离、商人的时间限制、交通拥堵等等。
尽管TSP是一个NP难问题，但在理论上是否存在一个多项式时间算法还是未知的。
2. 着色问题（House染色问题）：该问题涉及到将房子涂成不同的颜色，以避免相邻房子颜色相同。
该问题在计算机图形学中具有重要应用，但也是一个NP难问题。
3. 子集问题（Subset Sum Problem）：该问题是判断给定一组数是否存在一个子集，使得这些数的和等于给定的目标值。
这个问题也是一个NP难问题，尽管它可以在多项式时间内被近似解决。
4. 数独问题（Sudoku）：数独是一种数字填充游戏，需要将一个9x9的网格填充为1到9的数字，使得每一行、每一列以及每一个子网格中的数字都不重复。
数独是一个NP 难问题，尽管它可以在多项式时间内被近似解决。
这些例子表明，尽管NP难问题在实践中具有重要的应用，但我们仍需要更多的研究来解决这些问题。
旅行商问题(TSP)
iS jS
除起点和终点外，各边不构成圈
xij
0, 1
(7 1) (7 2) (7 3)
5
0 8 5 9 12 14 12 16 17 22
8
0
9 15 17
8
11
18
14
22
5 9 0 7 9 11 7 12 12 17
9 15 7 0
lingo解决旅行商问题 model: sets: city/1..6/:u; link(city,city):dist,x; endsets data: dist=99999,702,454,842,2396,1196,
702,99999,324,1093,2136,764, 454,324,99999,1137,2180,798, 842,1093,1137,99999,1616,1857, 2396,2136,2180,1616,99999,2900, 1196,764,798,1857,2900,99999; enddata
C=v1,v2,…,vi,vj,…,vj-1,vi+1,vj+1,…,vm,v1 （3）C0C,重复步骤（2），直到条件不满足为止，最后得 到的C即为所求。
例对下图的K6,用二边逐次修正法求较优H圈.
较优H圈: 其权为W(C3)=192
分析: 这个解的近似程度可用最优H圈的权的下界与
其比较而得出.即利用最小生成树可得最优H圈的一个下界.
设C是G的一个最优H圈，则对G的任一顶点v, C-v是
G-v的生成树.如果T是G-v的最小生成树,且e1是e2与v关联
的边中权最小的两条边,则w(T)+w(e1)+w(e2)将是w(C)
图论 旅行商问题
故最优解为S6 ，其长度为32。
计算要掌握两个要点：
1. 按字典序逐一考察各边集；
2. 每次考察完一个边集后，应考虑是否可以 用过滤条件(当前d0值)跳过一些不必要情形的 考察，因为比当前d0值差的情形不需考虑。
6
4. 近似算法－－“便宜”算法
分支定界法虽可求得旅行售货员问题的准确 最优解，但计算复杂度为O(n!)，故对大型问 题需寻找近似算法求解。 需采用近似算法往往需要增加一些限制， 以便能够提高计算速度和近似程度：
例 求v1到其它各点的最短路。
v4
4
2 1 2 -2 令d(v1)=0, 则:
vi v1 v2 v3 v4 v5 v6 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
v1 v2 v3 v4 v5 v6 0 7 8 11 8 9 v1 v2 v3 v4 v5 v6 0 7 6 10 8 8 v1 v2 v3 v4 v5 v6 0 7 6 10 8 8
例
5 16
1 4 20 3 4
10
9 11
10 4
3
2 13
1) 边按权排序(由小到大), d0:=∞ 边： a35 a24 a15 a14 a12 a13 a34 a23 a45 a25 权： 3 4 4 9 10 10 11 13 16 20
4
边： a35 a24 a15 a14 a12 a13 a34 a23 a45 a25 权： 3 4 4 9 10 10 11 13 16 20 2) 分支定界： S1: a35 a24 a15 a14 a12 , 非H回路,d(S1)=30; S2: a35 a24 a15 a14 a13 , 非H回路,d(S2)= 30； S3: a35 a24 a15 a14 a34 , 非H回路,d(S3)=31 ； S4: a35 a24 a15 a14 a23 , H回路, d0:= 33; S5: a35 a24 a15 a12 a13 , 非H回路,d(S5)=31; S6: a35 a24 a15 a12 a34 , H回路,d(S6)=32, d0:= 32; S7: a35 a24 a15 a13 a34 , 非H回路,d(S6)=32; S8: a35 a24 a14 a12 a13 , 非H回路,d(S6)=36; 继续下去所得组长度会比S8差，故可终止计算。
关于旅行商问题的数学模型
关于旅行商问题的数学模型旅行商问题（TravelingSalesmanProblem，TSP）是著名的组合优化问题，它的目标是找到一条路径，使得一个旅行商可以经过所有给定的城市，路径总长度最短。
这个问题在实际生活中有着广泛的应用，例如物流配送、电路板布线、DNA序列比对等领域。
本文将介绍旅行商问题的数学模型和解法。
1. 问题描述假设有n个城市，它们的位置分别为(xi,yi)，i=1,2,...,n。
旅行商要从一个城市出发，经过所有城市恰好一次，最后回到出发城市。
城市之间的距离可以用欧几里得距离表示：d(i,j) = sqrt((xi-xj)^2 + (yi-yj)^2)旅行商问题的目标是找到一条路径，使得路径总长度最短。
2. 数学模型2.1 定义变量我们定义变量xij表示从城市i到城市j的路径是否被选择，如果被选择则xij=1，否则xij=0。
例如，x12表示从城市1到城市2的路径是否被选择。
2.2 目标函数旅行商问题的目标是找到一条路径，使得路径总长度最短。
因此，我们可以定义目标函数为：minimize ∑i∑j d(i,j)xij其中，i,j表示城市的编号，d(i,j)表示城市i和城市j之间的距离，xij表示从城市i到城市j的路径是否被选择。
2.3 约束条件旅行商需要经过所有城市恰好一次，因此我们需要添加以下约束条件：1. 每个城市只能被经过一次：∑j xij = 1, i=1,2,...,n2. 每个城市离开后只能到达一个城市：∑i xij = 1, j=1,2,...,n3. 不能出现子回路：∑i∈S ∑j∈S xij ≤ |S|-1, S{1,2,...,n}, |S|≥2其中，第一个约束条件表示每个城市只能被经过一次，第二个约束条件表示每个城市离开后只能到达一个城市，第三个约束条件表示不能出现子回路。
3. 解法旅行商问题是一个NP难问题，没有多项式时间算法可以求解。
因此，我们需要使用一些启发式算法来求解这个问题。
图算法--旅行商问题
图算法--旅⾏商问题旅⾏商问题的描述试想⼀下，⼀个业务员因⼯作需要必须访问多个城市。
他的⽬标是每个城市只访问⼀次，并且尽可能地缩短旅⾏的距离，最终返回到他开始旅⾏的地点，这就是旅⾏商问题的主要思想。
在⼀幅图中，访问每个顶点⼀次，并最终返回起始顶点，这个访问的轨迹称为哈密顿圈。
要解决旅⾏商问题，需要⽤图G=（V，E）作为模型，寻找图中最短的哈密顿圈。
G是⼀个完整的、⽆⽅向的带权图，其中V代表将要访问的顶点的集合，E为连接这些顶点的边的集合。
E中每条边的权值由顶点之间的距离决定。
由于G中⼀个完整的、⽆⽅向的图，因此E包含V（V-1）/2条边。
事实上，旅⾏商问题是⼀种特殊的⾮多项式时间问题，称为NP完全问题。
NP完全问题是指那些多项式时间算法未知，倘没有证据证明没有解决的可能性的问题。
考虑到这种思想，通常⽤⼀种近似算法来解决旅⾏商问题。
最近邻点法的应⽤⼀种近似的计算旅⾏商路线的⽅法就是使⽤最近邻点法。
其运算过程如下：从⼀条仅包含起始顶点的路线开始，将此顶点涂⿊。
其他顶点为⽩⾊，在将其他顶点加⼊此路线中后，再将相应顶点涂⿊。
接着，对于每个不在路线中的顶点v，要为最后加⼊路线的顶点u与v之间的边计算权值。
在旅⾏商问题中，u与v之间边的权值就是u到v 之间的距离。
这个距离可以⽤每个顶点的坐标计算得到。
两个点（x1，y1）与（x2，y2）之间距离的计算公式如下：r = √（x2 - x1）2 + （y2 - y1）2 （注意是求和的平⽅根）利⽤这个公式，选择最接近u的顶点，将其涂⿊，同时将其加⼊路线中。
接着重复这个过程，直到所有的顶点都涂成⿊⾊。
此时再将起始顶点加⼊路线中，从⽽形成⼀个完整的回路。
下图展⽰了使⽤最近邻点法来解决旅⾏商问题的⽅法。
通常，在为旅⾏商问题构造⼀个图时，每个顶点之间相连的边不会显⽰表⽰出来，因为这种表⽰会让图不清晰了，也没有必要。
在图中，每个顶点旁边都显⽰其坐标值，虚线表⽰在此阶段需要⽐较距离的边。
数学建模经典问题——旅行商问题
度最短的两条边之和； C*(T)：最优回路长度；
25
于是，dmin(i, 1)代表与第i个结点关联的所有边 中最长边的长度，dmin_j(i, 1) 代表与第i个结点关联 的所有边中次长边的另一个结点编号(其中一个结点 编号为i)，第i结点的dmin(i, k)和dmin_j(i, k)可由距 离矩阵w轻易求得。
20
当然，用该方法有时会找不到TSP的最优解， 因为很可能在进行了几轮迭代后，却找不到新的不 等式。Padborg与Hong曾计算了74个TSP，其中54 个得到了最优解，其余的虽未得到最优解，却得到 了很好的下界，如果与近似方法配合，可以估计近 似解的精确程度。如，他们解过一个有313个城市的 TSP，获得一个下界41236.46，而用近似方法能得 到一条长为41349的路线，于是可估计出所得近似解 与最优解的误差不超过0.26%。
14
早在1954年，Dantzig等人就曾提出过一种方 法（非多项式算法），并且求出了一个42城市的 TSP最优解。到了1960年代，不少人用分支定界法 解决了许多有几十个城市的TSP。还有人提出了一 些近似方法，也解决了许多有几十个城市甚至上百 个城市的TSP（有时找到的仅是近似解）。更值得 注意的是，从1970年代中期开始，Grotschel与 Padberg等人深入研究了TS多面体的最大面 （facet），并从所得结果出发获得了一种解TSP的 新算法，可以解决一些有100多个城市的TSP，且都 在不长的时间内找到了最优解。
一、数学模型 1. 标准TSP 旅行商问题（简称TSP），也称货郎担问题或 旅行推销员问题，是运筹学中一个著名的问题，其 一般提法为：有一个旅行商从城市1出发，需要到城 市2、3、…、n去推销货物，最后返回城市1，若任 意两个城市间的距离已知，则该旅行商应如何选择 其最佳行走路线
简述哈密顿的周游列国问题及其解答
简述哈密顿的周游列国问题及其解答哈密顿的周游列国问题，也被称为旅行商问题（TSP，Traveling Salesman Problem），是一种典型的组合优化问题。
问题的背景可以描述为：假设有一个旅行商人，他需要在一系列城市之间旅行，并且每座城市只允许访问一次。
问题的目标是找到一条最短的路径，使旅行商人可以访问所有城市并返回起点城市。
这个问题的重要性在于它具有很高的复杂性，是一个NP-困难（Non-Deterministic Polynomial-time hard）问题。
这意味着，目前还没有有效的算法可以在多项式时间内解决该问题，但可以通过一些启发式算法和近似算法来求得较优解。
下面将详细介绍哈密顿的周游列国问题的背景、解法思路和不同的求解方法。
一、问题背景哈密顿的周游列国问题最早由爱德华·哈密顿在19世纪提出。
他的目标是寻找爱尔兰的一种最短路径，使其可以访问爱尔兰的每个城市。
但是，该问题的一般化形式出现在20世纪，成为了一个经典的组合优化问题。
在TSP问题中，城市之间的距离可以表示为距离矩阵。
该矩阵的每个元素表示两个城市之间的距离或成本。
二、求解思路求解哈密顿的周游列国问题的基本思路是穷举所有可能的路径，并选择最短路径作为解。
但是，由于问题的复杂性，穷举所有可能路径的数量是非常庞大的，因此无法用常规方法解决。
三、精确解法1.动态规划解法动态规划是解决哈密顿的周游列国问题的一种精确解法。
基本思路是建立一个状态转移方程，并使用动态规划的方法求解。
具体步骤如下：（1）定义子问题：记d(S, i)为从起点城市出发，访问集合S中的城市，最后到达城市i的最短路径长度。
（2）递推关系：根据子问题，可以得到状态转移方程：d(S, i) = min{d(S-{i}, j) + dist(j, i) | j∈S-{i}}其中，dist(j, i)表示从城市j到城市i的距离。
（3）边界条件：当集合S中没有城市时，d(S, i)的值为dist(起点城市, i)。
基于图论的旅行商问题求解算法研究
基于图论的旅行商问题求解算法研究1. 引言旅行商问题（Traveling Salesman Problem，简称TSP）是计算机科学中的经典问题，属于组合优化问题的范畴。
其基本思想是在给定的一组城市以及它们之间的距离或成本数据的情况下，找到一条最短的路径，使得路径经过每个城市且仅经过一次，最终回到起点城市。
2. 图论基础在研究旅行商问题之前，我们需要了解图论的基本概念。
图由节点（顶点）和边（连接节点的线段）组成。
对于旅行商问题，我们可以将每个城市视为一个节点，城市之间的距离视为边的权重。
3. 穷举法穷举法是最简单、最直接的求解方法。
它列举了所有可能的路径，并计算每条路径的总长度，最后选择最短的路径作为最优解。
然而，随着城市数量的增加，穷举法的复杂度呈指数级增长，因此对于大规模的问题来说，穷举法的效率非常低下。
4. 最小生成树法最小生成树法（Minimum Spanning Tree, MST）将图中的所有节点通过边连接起来，形成一棵树。
通过对最小生成树进行遍历，我们可以得到一条经过每个节点且最短的路径。
然而，最小生成树法并不能得到最优解，因为它忽略了必须回到起始城市的约束。
5. 动态规划法动态规划法是一种常用的求解旅行商问题的方法。
它基于以下两个关键思想：子问题最优性和子问题重叠性。
动态规划法通过对问题进行逐步分解，将大问题划分为较小的、重复的子问题。
通过求解子问题并利用子问题之间的关系，最终可以得到问题的最优解。
具体到旅行商问题，我们可以使用动态规划来求解。
6. 遗传算法遗传算法是一种基于自然界进化规律的启发式算法，常用于解决复杂的组合优化问题。
它通过构造一个种群，每个个体代表一种可行解，并通过模拟自然选择、交叉和变异等遗传操作来逐代进化种群。
最终，进化到一定代数时，得到的个体就是问题的近似最优解。
在求解旅行商问题时，我们可以使用遗传算法来搜索解空间，并不断优化路径的长度。
7. 蚁群算法蚁群算法受到蚂蚁找食物行为的启发，通过模拟蚂蚁在搜寻食物时的行为来求解优化问题。
旅行商问题
旅行商问题旅行商问题（Traveling Saleman Problem，TSP）又译为、，简称为，是最基本的路线问题，该问题是在寻求单一旅行者由起点出发，通过所有给定的需求点之后，最后再回到原点的最小路径成本。
最早的旅行商问题的数学规划是由Dantzig（1959）等人提出。
目录1简介“旅行商问题”常被称为“”，是指一名推销员要拜访多个地点时，如何找到在拜访每个地点一次后再回到起点的最短路径。
规则虽然简单，但在地点数目增多后求解却极为复杂。
以42个地点为例，如果要列举所有路径后再确定最佳行程，那么总路径数量之大，几乎难以计算出来。
多年来全球数学家绞尽脑汁，试图找到一个高效的TSP问题在物流中的描述是对应一个物流配送公司，欲将n个客户的订货沿最短路线全部送到。
如何确定最短路线。
TSP问题最简单的求解方法是。
它的解是多维的、多局部极值的、趋于无穷大的复杂解的空间，搜索空间是n个点的所有排列的集合，大小为（n-1）。
可以形象地把看成是一个无穷大的丘陵地带，各山峰或山谷的高度即是问题的极值。
求解TSP，则是在此不能穷尽的丘陵地带中攀登以达到山顶或谷底的过程。
2研究历史旅行商问题字面上的理解是：有一个推销员，要到n个城市推销商品，他要找出一个包含所有n个城市的具有最短路程的环路。
TSP的历史很久，最早的描述是1759年欧拉研究的骑士周游问题，即对于棋盘中的64个方格，走访64个方格一次且仅一次，并且最终返回到起始点。
TSP由RAND公司于1948年引入，该公司的声誉以及线性规划这一新方法的出现使得TSP成为一个知名且流行的问题。
3问题解法旅行推销员的问题，我们称之为巡行（Tour），此种问题属于的问题，1、途程建构法（Tour Construction Procedures）从中产生一个近似最佳解的途径，有以下几种解法：2、途程改善法（Tour Improvement Procedure）先给定一个可行途程，然后进行改善，一直到不能改善为止。
基于动态规划算法的旅行商问题求解
基于动态规划算法的旅行商问题求解旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）是一个经典的组合优化问题。
它的任务是在给定一系列城市和每对城市之间的距离（或者称为成本），找到一条经过每个城市一次且回到起始城市的最短路径。
动态规划算法是求解旅行商问题的一种常用方法。
它基于以下思想：将大问题分解为若干个小问题，通过解决小问题的最优解来逐步得到大问题的最优解。
首先，我们需要定义旅行商问题的状态。
在本问题中，我们可以将状态定义为一个二元组 (i, S)，它表示旅行商当前所在的城市为 i，已经遍历过的城市集合为 S。
这里的状态空间是城市集合 C 的幂集除去空集：状态空间：C = {1, 2, ..., n}，其中 n 是城市的数量。
接下来，我们需要定义状态转移方程。
假设当前状态为 (i, S)，我们需要求解的是到达状态 (i, C) 的最短路径。
状态转移方程可以表示为：dp[i][S] = min{dist[i][j] + dp[j][S\{j}]}，其中 j∈S，j≠i其中，dp[i][S] 是从城市 i 出发，经过集合 S 中的城市，最后回到起始城市的最短路径长度。
dist[i][j] 表示城市 i 到城市 j 的距离。
S\{j} 表示从集合 S 中去掉元素 j 后的集合。
最后，我们需要定义问题的边界条件。
当集合 S 中只有一个城市 i 时，经过城市 i 后回到起始城市的路径长度就是从起始城市到达城市 i 的距离。
所以边界条件可以表示为：当 |S| = 1 时，dp[i][S] = dist[i][1]接下来，我们使用动态规划算法来解决旅行商问题。
1. 创建一个二维数组 dp[n][2^n]，其中 n 是城市的数量。
初始化数组 dp 的所有元素为无穷大。
2. 对于每个城市 i，将 dp[i][∅]（空集）的值设为 dist[i][1]。
3. 对于集合 S 的大小从 2 到 n-1 的每个值，依次遍历每个城市 i。
旅行者问题
3.推导动态规划方程
V_2_count++;
else
V_3_count++;
}
if((array_0_count == V_0_count) && (array_1_count == V_1_count)
&& (array_2_count == V_2_count) && (array_3_count == V_3_count))
现在对问题定义中的例子来说明TSP的求解过程。(假设出发城市是0城市)
①我们要求的最终结果是d(0,{1,2,3}),它表示，从城市0开始，经过{1,2,3}之中的城市并且只有一次，求出最短路径.
②d(0,{1,2,3})是不能一下子求出来的，那么他的值是怎么得出的呢？看上图的第二层，第二层表明了d(0,{1,2,3})所需依赖的值。那么得出：
5,0,2,3,
6,4,0,2,
3,7,5,0
};
int d[4][8]={0},i=0,j=0;
for(i=0; i<4; i++)
for(j=0; j<8; j++)
d[i][j]=1000; //假设1000为无穷大
TSP(d,c,V,4);
printf("The least road is:%d/n",d[0][7]);
TSP的几种求解方法及其优缺点
TSP的⼏种求解⽅法及其优缺点TSP的⼏种求解⽅法及其优缺点⼀、什么是TSP问题旅⾏商问题，简称TSP，即给定n个城市和两两城市之间的距离，要求确定⼀条经过各城市当且仅当⼀次的最短路线。
其图论描述为：给定图G=（V，A），其中V为顶点集，A 为各顶点相互连接组成的边集，设D=（dij）是由顶点i和顶点j之间的距离所组成的距离矩阵，要求确定⼀条长度最短的Hamilton回路，即遍历所有顶点当且仅当⼀次的最短距离。
旅⾏商问题可分为如下两类：1）对称旅⾏商问题（dij=dji，Πi，j=1，2，3，?，n）；2）⾮对称旅⾏商问题（dij≠dji，?i，j=1，2，3，?，n）。
⾮对称旅⾏商问题较难求解，我们⼀般是探讨对称旅⾏商问题的求解。
若对于城市V={v1，v2，v3，?，v n}的⼀个访问顺序为T={t1，t2，t3，?，t i，?，t n}，其中t i∈V（i=1，2，3，?，n），且记t n+1=t1，则旅⾏商问题的数学模型为：minL=。
TSP是⼀个典型的组合优化问题，并且是⼀个NP完全难题，是诸多领域内出现的多种复杂问题的集中概括和简化形式，并且已成为各种启发式的搜索、优化算法的间接⽐较标准。
因此，快速、有效地解决TSP有着重要的理论价值和极⾼的实际应⽤价值。
⼆、主要求解⽅法基于TSP的问题特性，构造型算法成为最先开发的求解算法，如最近邻点、最近合并、最近插⼊、最远插⼊、最近添加、贪婪插⼊等。
但是，由于构造型算法优化质量较差，迄今为⽌已开发了许多性能较好的改进型搜索算法，主要有：1）模拟退⽕算法2）禁忌搜索算法3）Hopfield神经⽹络优化算法4）蚁群算法5）遗传算法6）混合优化策略2.1 模拟退⽕算法⽅法1）编码选择：采⽤描述TSP解的最常⽤的⼀种策略——路径编码。
2）SA状态产⽣函数的设计：对于基于路径编码的SA状态产⽣函数操作，可将其设计为：①互换操作（SWAP）；②逆序操作（INV）；③插⼊操作（INS）。
TSP的几种求解方法及其优缺点
TSP的几种求解方法及其优缺点旅行商问题（TSP）是一个组合优化问题，目的是找到一条最短的路径，使得旅行商能够访问一系列城市并返回起始点。
TSP由于其复杂性而被广泛研究，已经发展出了许多求解方法。
本文将讨论几种主要的TSP求解方法，包括贪婪算法、局部算法、遗传算法和蚁群算法，并分析它们的优缺点。
1.贪婪算法贪婪算法是一种基于贪心策略的求解方法。
它从一个起始城市开始，每次选择距离当前城市最近的未被访问过的城市作为下一步的目标城市，直到所有的城市都被访问过。
贪婪算法的优点是简单易于理解和实现，并且在处理小规模问题时效果显著。
然而，贪婪算法没有考虑全局最优解，很容易陷入局部最优解，不能保证找到最优解。
2.局部算法局部算法是一类启发式算法，它通过不断优化当前解来逐步接近最优解。
其中最典型的是2-opt算法，它通过交换路径中的两个顶点位置来改进解的质量。
局部算法的优点是可以找到局部最优解，且计算时间较短。
然而，局部算法容易陷入局部最优解，而且计算开销随问题规模增加而增加，且不能保证找到全局最优解。
3.遗传算法遗传算法是一种模拟生物进化的随机算法。
它通过模拟遗传、交叉和变异等基因操作来生成和改进解。
遗传算法的优点是可以处理大规模问题，且不容易陷入局部最优解。
同时，遗传算法能够在空间中探索多个解，提高解的多样性。
然而，遗传算法的计算开销相对较高，需要大量的迭代和种群更新。
此外，遗传算法的性能与参数设置相关，需要进行调整。
4.蚁群算法蚁群算法是一种模拟蚂蚁觅食行为的算法。
它通过模拟蚂蚁在路径上释放信息素的过程，来引导蚂蚁选择路径。
蚁群算法的优点是能够找到较好的解并具有一定的自适应性。
它适用于处理大规模问题，且能够处理问题中的不确定性。
然而，蚁群算法的计算开销较高，并且参数设置对结果影响较大。
综上所述，TSP的求解方法包括贪婪算法、局部算法、遗传算法和蚁群算法等。
每种方法都有自己的优点和缺点。
选择适合问题规模、问题特征和求解时间的方法是关键。
旅行商问题描述
设城市数量为n，则有
( n 1)! 2
条不同路径。
算法的复杂程序呈指数增加。城市数量越多，所需的计算时 间成本越大，当城市数量无穷多时，则不可能被计算出来。 例：当n=20,路径数有1.2×1018 ，即使每秒列举1亿条路径， 需350年才能全部列出。
二、近似算法
• 1、路径构建法： 从距离矩阵中产生一个近似最佳解的途径，有以下几种解法： （1）最近邻点法：一开始以寻找离场站最近的需求点为起始路线 的第一个顾客，此后寻找离最后加入路线的顾客最近的需求点，直到 最后。 （2）节省法：以服务每一个节点为起始解，根据三角不等式两边 之和大于第三边之性质，其起始状况为每服务一个顾客后便回场站， 而后计算路线间合并节省量，将节省量以降序排序而依次合并路线， 直到最后。 （3）插入法：如最近插入法、最省插入法、随意插入法、最远插 入法、最大角度插入法等。 • 2、路径优化法：先产生一条初始巡回路径，再改变其中某些车市的 顺序，使路径优化，逐渐接近最优解。 • 3、智能算法
3、智能算法
• 至今没有找到多项式时间算法解（无法用一个确定的公式 来求解）的一类问题，但问题的所有可能答案，都是可以 在多项式时间内计算得出并进行正确与否的验算。
应用
1、印刷电路版的走刀问题 2、车间调度、电网配线 3、交通运输：航线安排、物流配送
求解算法：
一、精确算法—穷举法 • 旅行商问题实际上是一个排列组合问题。穷举法：将所有 的可能路线全部求出，通过比较找到全局最优解，但计算 量在顶点数稍微多一点情况下，这时由于可行解太多，而 使算法不可行。
旅行商问题是一个典型的组合优化问题，也是一个典型的 NPC问题。 该问题的可行解是所有顶点的全排列，随着顶点数的增加，会产生组合 爆炸。 以42个地点为例：
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一、 算法分析旅行商问题的各个城市间的距离可以用代价矩阵来表示，就是邻接矩阵表示法。
如果E j i ∉),(，则∞=ij c 。
先说明旅行商问题具有最优解结构。
设s s s s p ,,.....,,21是从s 出发的一条路径长度最短的简单回路，假设从s 到下一个城市1s 已经求出，则问题转化为求1s 到S 的最短路径，显然s s s s p ,,.....,,21一定构成一条从1s 到S 的最短路径，如果不然，设s r r r s q ,,.....,,,211是一条从1s 到S 的最短路径且经过n-1个城市，则s r r r s s q ,,.....,,,,211将是从S 出发的路径长度最短的简单回路且比s s s s s p ,,.....,,,21要短，从而导致矛盾。
所以，旅行商问题一定满足最优性原理。
穷举法：穷举法解决旅行商问题的思路很简单，就是遍历所有可能的情况，然后把符合条件（最短）的路径找到并输出可以了。
动态规划法：假设从顶点i 出发，令)',(V i d 表示从顶点i 出发经过V ’中各个顶点一次且仅一次，最后回到出发点i 的最短路径的长度，开始时，V ’=V-{i}，于是，旅行商问题的动态规划函数为：)({}),()'})}({',(min{)',(i k c k d V k k V k d c V i d ki ik ≠=∈-+=)2()1(下面举个实例说明算法的执行过程。
下图是无向带权图的邻接矩阵表示法：⎢⎢⎢⎢⎣⎡∞=763C323∞ 226∞ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤∞237在上图所示的带权图中，从城市0出发，经城市1，2，3然后回到城市0的最短路径长度为：})}2,1{,3(}),3,1{,2(}),3,2{,1(m in{})3,2,1{,0(030201d c d c d c d +++=这是最后一个阶段的决策，它必须知道})3,1{,3(}),3,1{,2(}),3,2{,1(d d d 的计算结果，而：})}2{,3(}),3{,2(m in{})3,2{,1(1312d c d c d ++=})}1{,3(}),3{,1(m in{})3,1{,2(2321d c d c d ++= })}1{,2(}),2{,1(m in{})2,1{,3(3231d c d c d ++=这一阶段的决策又依赖于下面的计算结果：{}),2(})2{,3({}),,3(})3{,2({}),,2(})2{,1(322312d c d d c d d c d +=+=+= {}),1(})1{,3({}),,1(})1{,2({}),,3(})3{,1(312113d c d d c d d c d +=+=+= 而下面的就可以直接获得（括号中是该策略引起的路径）：)03(7{}),3(),02(6{}),2(),01(3})0{,1(302010>-==>-==>-==c d c d c d向前推导，可以得到：)23(862{}),2(})2{,3()13(633{}),1(})1{,3()12(532{}),1(})1{,2()32(972{}),3(})3{,2()31(1073{}),3(})3{,1()21(862{}),2(})2{,1(323121231312>-=+=+=>-=+=+=>-=+=+=>-=+=+=>-=+=+=>-=+=+=d c d d c d d c d d c d d c d d c d再向前推导有：)23(7}7,11min{})}1{,2(}),2{,1(min{})2,1{,3()32(8}8,12min{})}1{,3(}),3{,1(min{})3,1{,2()21(11}11,11min{})}2{,3(}),3{,2(min{})3,2{,1(323123211312>-==++=>-==++=>-==++=d c d c d d c d c d d c d c d 最后有：})}2,1{,3(}),3,1{,2(}),3,2{,1(m in(})3,2,1{,0(030201d c d c d c d +++=)302010(14}14,14,14min{}77,86,113min{>->->-==+++=or or所以，从顶点0出发的旅行商问题的最短路径长度为14，其中一条路径为01320>->->->-。
假设对n 个顶点分别用0~n-1的数字编号，下面考虑从顶点0出发的旅行商问题的填表形式。
首先，按个数为1，2，……，n-1的顺序生成1~n-1个元素的子集存放在数组]2[1-n V 中，例如当n=4时，V[1]={1},V[2]={2},V[3]={3},V[4]={1,2},V[5]={1,3},V[6]={2,3},V[7]={1,2,3}。
用数组]2][[1-n n D 存放迭代的结果，其中]][[j i D 表示从顶点i 出发经过子集][j V 中的顶点一次且仅一次，最后回到出发点0的最短路径长度。
首先，我们根据上式（2）将数组的第0列初始化，然后根据式（1）逐列计算，其填表过程如下表所示：顶点之间的代价存放在数组]][[n n c 中。
具体的代码见《动态规划法》文件夹。
算法的伪代码为：（1） for (i =1;i<n;i++) //初始化第0列d[i][0]=c[i][0];（2） for( j=1;j<121--n ;j++)for(i=1 ; i<n ;i++) if(子集V[j]中不包含i)对V[j]中的每个元素k ，计算]};1][[]][[min{]][[-+=j k d k i c j i d （3） 对]12[1--n V 中的每个元素K ，计算：]}22][[]][0[m in{]12][0[11-+=---n n k d k c d（4） 输出最短路径长度]12][0[1--n d 。
贪心法（时间有限没能实现以给出伪代码）：对于旅行商问题的贪心策略很多，下面使用两种贪心策略来解决旅行商问题，并给出它的实现。
1. 最近邻点策略从任意城市出发，每次在没有到过的城市中选择最近的一个，找到经过所有的城市，最后回到出发城市。
如下图（a ）所示是一个五个顶点的无向图的邻接矩阵，从顶点1出发，按照最近邻点的贪心策略，得到的路径为1->4->3->5->2->1,总代价为14.求解的过程如下图所示。
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∞=6233C2373∞ 5273∞ 3232∞ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤∞3526图（a ） 五城市代价矩阵(b) 城市1->城市4(c) 城市4->城市3(d) 城市3->城市5(e) 城市5->城市2(f) 城市2->城市1设图G 中有n 个顶点，边上的代价存储在二维数组c[n][n]中，集合v 存储图的顶点，集合p 存储经过的边，最近邻点策略求解旅行商问题的算法具体实现在文件夹《最近邻点策略法》中。
算法的伪代码为：（1）{=P }；（2）出发从顶点000//;};{u u u u V V =-= （3） 循环直到集合p 中包含了n-1条边（3.1） 查找与定点u 邻接的最小代价边（u ，v ）并且v 属于集合V ； （3.2） )};,{(v u p p += （3.3） };{v V V -=（3.4） ;v u = //从顶点v 出发继续求解2. 最短链接策略每次在整个图的范围内选择最短边加入到集合中，但是，要保证加入解集合中的边最终形成一个哈密顿回路。
因此，当从剩余边集合'E 中选择一条边),(v u 加入解集合S 中应满足条件：（1） 边),(v u 是集合'E 中代价最小的边； （2） 边),(v u 加入解结合S 后，S 中不产生回路； （3） 边),(v u 加入解集合S 后，S 中不产生分枝；如下图所示有一个五城市的代价矩阵，从顶点1出发，按照最短链接的贪心策略，得到的路径为1->4->3->5->2->1,总代价为14。
求解过程如下图所示。
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∞=6233C2373∞ 5273∞ 3232∞ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤∞3526图（a ） 五城市代价矩阵(b) 城市1->城市4(c) 城市5->城市2(d) 城市4->城市3(e) 城市3->城市5(f) 城市2->城市1设图G 中有n 个顶点，边上的代价存储在二维数组c[n][n]中，集合v 存储图的顶点，集合p 存储经过的边，最短链接策略求解旅行商问题的算法具体实现在文件夹《最短链接策略法》中。
算法伪代码：（1） {=P }；（2） 中所有边候选集合，初始时为图//'E E = （3） 循环直到集合P 中包含n-1条边；（3.1） 在'E 中选择最短边),(v u ； （3.2） )};,{(''v u E E -=（3.3） 如果（顶点u 和v 在P 中不连通and 不产生分枝）则)};,{(v u P P +=二、 时空效率分析穷举法 ：由于穷举法的思想比较简单，主要有n 个城市它就会按照所有的情况去尝试，最终的答案一定会找到，但是时间复杂度较高。
本题中为)!(n O 。
动态规划法：算法的时间复杂度为)2(nO 。
和穷举法相比，动态规划法求解旅行商问题，把原来的时间复杂性)!(n O 的排列问题，转化为组合问题，从而降低了算法的时间复杂性，但它仍需要指数的时间。
贪心法：1. 最近邻点策略算法中循环找P 的n-1条边是一个O （n ），在此循环内有一个循环找u 邻接的最小代价边（u ，v ）并且将v 加入结合V 中是一个O （n ），所以算法的效能为)(2n O 。
用最近邻点贪心策略求解旅行商问题所得到的结果不一定是最优解，算法分析中从城市1出发的最优解为1->2->5->4->3->1,总代价为13.当图中顶点个数较多并且各边的代价值分布比较均匀时，最近邻点策略可以得到较好的近似解，不过，这个近似解以多大程度近似最优解，就不能保证了。
例如在分析中，如果增大边（2，1）的代价，则总代价只好随之增加，没有其他选择的余地。
2. 最短链路策略本算法中，操作“在'E 中选取最短边（u ，v ）”用顺序查找，则时间性能就是)(2n O ，如果采用堆排序的方法将集合'E 中的边建立连接，则选取最短边的操纵可以是)(log 2n O ，对于两个顶点是否连通以及是否会产生分枝，可以用并查集操作将其时间性能提高到)(n O ，此时算法的时间性能就是)log (2n n O 。