数列不等式-裂项放缩技巧

数列不等式－裂项放缩技巧

班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________

一、解答题

1． 已知数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 满足1

(1)2

n n S a =-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ） 求证：

1

2n S <；

（Ⅲ）设函数13

()log f x x =，12()()()n n b f a f a f a =++

+，求1231111...n n

T b b b b =

++++.

2． 已知正项数列{}n a 的前n 项和满足2*

221()n n n S a a n N =+-∈

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11,1

n n n n b T a a +=+是数列{}n b 的前n 项的和，求证：2n T <

3． 设数列{}n a 满足.,2

2

22*1

32

21N n n

a a a a n n ∈=+⋅⋅⋅+++-

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设,1,log 1

12

1n

n b b c a b n n n n n ++==+记,21n n c c c S +⋅⋅⋅++=证明：S n ＜1.

4． 在数列{n a }中，3

11=

a ，并且对任意2,≥∈*

n N n 都有n n n n a a a a -=⋅--11成立，令

)(1

*∈=

N n a b n

n ． （Ⅰ）求数列{n b }的通项公式； （Ⅱ）设数列{n

a n }的前n 项和为n T ，证明：4331<≤n T

5． 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 和1的等差中项，等差数列{}n b 满足11b a =，43b S =. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）设11n n n c b b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：11

32

n T ≤<.

6． 已知数列{},()n a n N ∈满足11a =，且对任意非负整数,()m n m n ≥均有：

221

1()2

m n m n m n a a m n a a +-++--=

+. （1）求02,a a ；

（2）求证：数列*

1{}()m m a a m N +-∈是等差数列，并求*

()n a n N ∈的通项； （3）令*

31()n n c a n n N =+-∈，求证：1

1

34

n

k k

c

=<

∑.

7． 正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2

(2)8

n n a S +=。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；

（Ⅱ）求证

2

n

a ++>

8． 在公差不为0的等差数列{}n a 中，31015a a +=，且2511,,a a a 成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设1

21

111n n n n b a a a +-=+++

，证明：

1

12

n b ≤<.

9． 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7=49，a 4和a 8的等差中项为2. （1）求a n 及S n ； （2）证明：当n ≥2时，有121117 (4)

n S S S +++<．

10．已知数列{}n a 满足2

112222(21)22n n n a a a n +++

+=-⋅+．

（1）求1a 及通项公式n a ； （2）求证：22212

11114

n a a a +++

<．

11．已知}{n a 是单调递增的等差数列，首项31=a ，前n 项和为n S ，数列}{n b 是等比数列，首项

.20,12,123221=+==b S b a b 且

（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式. （2）设1(1)(1)

n n n n b c b b +=++，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：12n T <．

12．设正项数列}{n a 的前n 项和n S ，且满足)(2

212*∈+=

N n n

a S n n . （Ⅰ）计算321,,a a a 的值，猜想}{n a 的通项公式，并证明你的结论； （Ⅱ）设n T 是数列}1

{2

n

a 的前n 项和，证明：124+

数列不等式－裂项放缩技巧（参考答案）

一、解答题

1． （Ⅰ）当2n ≥时

111111

(1)(1)2222n n n n n a a a a a --=---=-+，12n n n a a a -=-+

∴11

3

n n a a -=，-------------------------------------------------3分 由1111(1)2S a a ==- 得11

3

a =

∴数列{}n a 是首项113a =、公比为13的等比数列，∴1111

()()333n n n a -=⨯=------5分

（Ⅱ）证法1： 由1(1)2n n S a =-得11

[1()]23

n n S =---------------------------7分

11()13n -<，∴111[1()]232n -<∴1

2

n S <----9分

〔证法2：由（Ⅰ）知1()3n n a =，∴11[1()]

113

3[1()]12313

n n n S -==-------7分 11()13n -<，∴111

[1()]232n -<----------------------8分

即1

2

n S < ------------------------------------9分

（Ⅲ）

13

()log f x x = 111213

3

3

log log log n n b a a a ∴=++

+＝112

3

log ()n a a a ----10分

＝1213

1(1)

log ()

123

2

n

n n n ++++=+++=

--------12分 ∵

12112()(1)1

n b n n n n ==-++ ∴n T 12111n b b b =+++=111

112[(1)()()]223

1n n -+-++-+＝

21

n

n +---14分 2． 221111111(1)1221210,01n a a a a a a a ==+-⇒--=>⇒=当时，

又