概率统计知识点归纳
概率与统计知识点总结
概率与统计知识点总结一、概率的基本概念概率,简单来说,就是衡量某个事件发生可能性大小的一个数值。
比如抛硬币,正面朝上的概率是 05,意思是在大量重复抛硬币的实验中,正面朝上的次数大约占总次数的一半。
随机事件,就是在一定条件下,可能出现也可能不出现,而在大量重复试验中具有某种规律性的事件。
比如掷骰子得到的点数就是随机事件。
必然事件,就是在一定条件下必然会发生的事件。
比如太阳从东方升起,这就是必然事件。
不可能事件,就是在一定条件下不可能发生的事件。
比如在地球上,水往高处流就是不可能事件。
概率的取值范围在 0 到 1 之间。
0 表示事件不可能发生,1 表示事件必然发生。
二、古典概型古典概型是一种最简单、最基本的概率模型。
它具有两个特点:试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;每个基本事件出现的可能性相等。
计算古典概型中事件 A 的概率公式为:P(A) = A 包含的基本事件个数/基本事件的总数。
例如,一个袋子里有 5 个红球和 3 个白球,从中随机摸出一个球是红球的概率,基本事件总数是 8(5 个红球+ 3 个白球),红球的个数是 5,所以摸到红球的概率就是 5/8。
三、几何概型与古典概型不同,几何概型中的基本事件个数是无限的。
比如在一个时间段内等可能地到达某一地点,或者在一个区域内等可能地取点。
几何概型的概率计算公式是:P(A) =构成事件 A 的区域长度(面积或体积)/试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)。
举个例子,在区间0, 10中随机取一个数,这个数小于 5 的概率就是 5/10 = 05。
四、条件概率条件概率是在已知某个事件发生的条件下,另一个事件发生的概率。
记事件 A 在事件 B 发生的条件下发生的概率为 P(A|B)。
计算公式为:P(A|B) = P(AB) / P(B) ,其中 P(AB) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率。
比如说,已知今天下雨,明天也下雨的概率就是一个条件概率。
统计概率知识点梳理总结
统计概率知识点梳理总结统计概率是统计学中非常重要的一个分支,它研究随机现象的概率规律,为我们处理不确定性的问题提供了一种方法。
在统计概率的学习中,有一些基本概念和方法是必须掌握的。
本文将对统计概率的相关知识进行梳理总结,包括概率基本概念、概率分布、概率密度函数、概率函数、随机变量、概率质量函数、期望、方差等内容。
1.概率基本概念概率是一个介于0-1之间的数,用来度量一个事件发生的可能性。
概率的基本概念包括样本空间、随机事件、事件的概率、事件的互斥和事件的独立性等。
样本空间是指试验中所有可能结果的集合,随机事件是指样本空间中的一个子集,事件的概率是指该事件发生的可能性大小,用P(A)表示。
事件的互斥指两个事件不可能同时发生,事件的独立性指两个事件之间的发生没有关系。
2.概率分布概率分布是描述随机变量所有可能取值及其对应概率的分布情况。
常见的概率分布包括离散型概率分布和连续型概率分布。
离散型概率分布是指随机变量只能取其中的一个值的概率分布,如伯努利分布和泊松分布;连续型概率分布是指随机变量可以取任意实数值的概率分布,如正态分布和指数分布。
3.概率密度函数概率密度函数是描述连续型随机变量的概率分布的函数,用f(x)表示。
概率密度函数具有非负性、非减性和归一性等性质。
通过概率密度函数可以计算随机变量在其中一区间内取值的概率。
4.概率函数概率函数是描述离散型随机变量的概率分布的函数,它给出了随机变量取各个值的概率。
概率函数具有非负性和归一性等性质。
通过概率函数可以计算随机变量取一些特定值的概率。
5.随机变量随机变量是一个实数值函数,它的取值是试验结果的函数。
随机变量可以是离散型的,也可以是连续型的。
离散型随机变量通常用字母大写表示,如X;连续型随机变量通常用字母小写表示,如x。
随机变量可以有多种数学表达方式,如分布函数、概率密度函数和概率函数等。
6.概率质量函数概率质量函数是描述离散型随机变量的概率分布的函数,用p(x)表示。
高中数学统计与概率知识点
高中数学统计与概率知识点一、统计学基础1. 数据收集- 普查与抽样调查- 数据的类型(定量数据与定性数据)2. 数据整理与展示- 频数分布表- 直方图- 饼图- 条形图3. 中心趋势的度量- 平均数(算术平均数)- 中位数- 众数4. 离散程度的度量- 极差- 四分位距- 方差与标准差5. 相关性分析- 相关系数- 散点图二、概率论基础1. 随机事件- 事件的定义- 必然事件与不可能事件- 互斥事件与独立事件2. 概率的计算- 单次试验的概率- 多次试验的概率- 条件概率- 贝叶斯定理3. 随机变量- 离散随机变量与连续随机变量 - 概率分布- 概率密度函数与概率分布函数4. 期望值与方差- 随机变量的期望值- 随机变量的方差5. 常见概率分布- 二项分布- 泊松分布- 正态分布三、统计与概率的应用1. 假设检验- 零假设与备择假设- 显著性水平- 第一类错误与第二类错误 - t检验与卡方检验2. 回归分析- 线性回归- 相关系数与决定系数3. 抽样与估计- 抽样误差- 置信区间- 最大似然估计四、综合练习题1. 选择题- 统计图表解读- 概率计算- 假设检验2. 填空题- 计算平均数、中位数、众数 - 计算方差、标准差- 概率分布的应用3. 解答题- 解释统计概念- 概率问题的求解- 应用统计方法解决实际问题五、附录1. 公式汇总- 统计学公式- 概率论公式2. 重要概念索引- 术语解释- 概念间的关系3. 参考资料- 推荐阅读书籍- 在线资源链接请根据需要对上述内容进行编辑和调整。
这篇文章是为了提供一个关于高中数学统计与概率的知识点概览,适用于教育目的。
每个部分都包含了关键的子标题和简短的描述,以便于理解和使用。
统计概率知识点归纳总结大全
统计概率知识点归纳总结大全1.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义.2.了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.3.了解互斥事件、相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率.4.会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率.5. 掌握离散型随机变量的分布列. 6.掌握离散型随机变量的期望与方差. 7.掌握抽样方法与总体分布的估计. 8.掌握正态分布与线性回归.考点1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识:(1)等可能性事件(古典概型)的概率:P (A )=)()(I card A card =nm ;等可能事件概率的计算步骤:(1) 计算一次试验的基本事件总数n ;(2) 设所求事件A ,并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; (3) 依公式()m P A n=求值;(4) 答,即给问题一个明确的答复.(2)互斥事件有一个发生的概率:P (A +B )=P (A )+P (B ); 特例:对立事件的概率:P (A )+P (A )=P (A +A )=1. (3)相互独立事件同时发生的概率:P (A ·B )=P (A )·P (B );特例:独立重复试验的概率:P n (k )=k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率,此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项.(4)解决概率问题要注意“四个步骤,一个结合”: ① 求概率的步骤是:第一步,确定事件性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩等可能事件互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步,判断事件的运算⎧⎨⎩和事件积事件即是至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件.第三步,运用公式()()()()()()()()(1)k k n k n n m P A nP A B P A P B P A B P A P B P k C p p -⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件: 互斥事件: 独立事件: n 次独立重复试验:求解 第四步,答,即给提出的问题有一个明确的答复. 考点2离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念①随机试验的结果可以用一个变量来表示,这样的变量叫做随机变量,常用希腊字母ξ、η等表示.②随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值,这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列①离散型随机变量的分布列的概念和性质一般地,设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ,2x ,……,i x ,……,ξ取每一个值ix (=i 1,2,……)的概率P (i x =ξ)=i P ,则称下表.为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列.由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质: (1)0≥i P ,=i 1,2,…;(2)++21P P …=1. ②常见的离散型随机变量的分布列: (1)二项分布n 次独立重复试验中,事件A 发生的次数ξ是一个随机变量,其所有可能的取值为0,1,2,…n ,并且k n k k n k q p C k P P -===)(ξ,其中n k ≤≤0,p q -=1,随机变量ξ的分布列如下:ξ1… k… nPn n q p C 00111-n n q p C…k n k kn q p C -q p C n n n称这样随机变量ξ服从二项分布,记作),(~p n B ξ,其中n 、p 为参数,并记:),;(p n k b q p C kn k k n =- .(2) 几何分布在独立重复试验中,某事件第一次发生时所作的试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机变量,“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.随机变量ξ的概率分布为:ξ1x2x… i x… PP 1P 2…i P…ξ1 2 3… k… Ppqp2q p…1k q p -…考点3 离散型随机变量的期望与方差 随机变量的数学期望和方差(1)离散型随机变量的数学期望:++=2211p x p x E ξ…;期望反映随机变量取值的平均水平. ⑵离散型随机变量的方差:+-+-=222121)()(p E x p E x D ξξξ…+-+n n p E x 2)(ξ…; 方差反映随机变量取值的稳定与波动,集中与离散的程度. ⑶基本性质:b aE b a E +=+ξξ)(;ξξD a b a D 2)(=+.(4)若ξ~B(n ,p),则 np E =ξ ; D ξ =npq (这里q=1-p ) ;如果随机变量ξ服从几何分布,),()(p k g k P ==ξ,则pE 1=ξ,D ξ =2pq 其中q=1-p.考点4 抽样方法与总体分布的估计 抽样方法1.简单随机抽样:设一个总体的个数为N ,如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随机数表法.2.系统抽样:当总体中的个数较多时,可将总体分成均衡的几个部分,然后按照预先定出的规则,从每一部分抽取1个个体,得到所需要的样本,这种抽样叫做系统抽样(也称为机械抽样).3.分层抽样:当已知总体由差异明显的几部分组成时,常将总体分成几部分,然后按照各部分所占的比进行抽样,这种抽样叫做分层抽样. 总体分布的估计由于总体分布通常不易知道,我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布,一般地,样本容量越大,这种估计就越精确.总体分布:总体取值的概率分布规律通常称为总体分布.当总体中的个体取不同数值很少时,其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频率表示,几何表示就是相应的条形图.当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布. 总体密度曲线:当样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,即总体密度曲线. 考点5 正态分布与线性回归 1.正态分布的概念及主要性质 (1)正态分布的概念如果连续型随机变量ξ 的概率密度函数为 222)(21)(σμπσ--=x ex f ,x R ∈ 其中σ、μ为常数,并且σ>0,则称ξ服从正态分布,记为~N ξ(μ,2σ).(2)期望E ξ =μ,方差2σξ=D . (3)正态分布的性质 正态曲线具有下列性质:①曲线在x 轴上方,并且关于直线x =μ对称.②曲线在x=μ时处于最高点,由这一点向左右两边延伸时,曲线逐渐降低.③曲线的对称轴位置由μ确定;曲线的形状由σ确定,σ越大,曲线越“矮胖”;反之越“高瘦”.(4)标准正态分布当μ=0,σ=1时ξ服从标准的正态分布,记作~N ξ(0,1) (5)两个重要的公式①()1()x x φφ-=-,② ()()()P a b b a ξφφ<<=-.(6)2(,)N μσ与(0,1)N 二者联系.(1)若2~(,)N ξμσ,则~(0,1)N ξμησ-= ;②若2~(,)N ξμσ,则()()()b a P a b μμξφφσσ--<<=-.2.线性回归简单的说,线性回归就是处理变量与变量之间的线性关系的一种数学方法.变量和变量之间的关系大致可分为两种类型:确定性的函数关系和不确定的函数关系.不确定性的两个变量之间往往仍有规律可循.回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数量统计方法.它可以提供变量之间相关关系的经验公式.具体说来,对n 个样本数据(11,x y ),(22,x y ),…,(,n n x y ),其回归直线方程,或经验公式为:a bx y +=ˆ.其中,,)(1221x b y a x n xyx n yx b ni ini ii⋅-=--=∑∑==,其中y x ,分别为|i x |、|i y |的平均数.。
概率统计知识点总结
概率统计知识点总结概率统计是一门研究随机现象规律性的数学学科,主要研究随机变量的分布、参数估计、假设检验、方差分析等内容。
下面是对概率统计中的一些重要知识点的总结:1. 随机事件与概率:随机事件是指试验中可能发生也可能不发生的结果,概率是描述随机事件发生可能性的数值。
概率由经典概率、几何概率和统计概率三类组成。
2. 随机变量与概率分布:随机变量是一个能随机变化的量,可以分为离散随机变量和连续随机变量。
概率分布指的是随机变量各个取值及其相应的概率。
3. 期望与方差:期望是统计量中的一个重要概念,描述了随机变量在一次试验中平均取值的大小。
方差则是描述随机变量取值分散程度的一个指标。
4. 大数定律与中心极限定理:大数定律指的是当样本容量足够大时,样本平均值会趋近于理论期望。
中心极限定理则是指当样本容量足够大时,样本均值的分布会趋近于正态分布。
5. 参数估计与假设检验:参数估计是通过样本数据来估计总体参数的值,可以分为点估计和区间估计。
假设检验则是通过样本数据来判断总体参数的假设是否成立。
6. 方差分析与回归分析:方差分析是根据不同因素对总体均值的影响进行推断的一种方法。
回归分析则是研究因变量与自变量之间关系的一种方法,可以进行线性回归和非线性回归。
7. 相关分析与统计推断:相关分析是研究两个变量之间关系的一种方法,可以通过计算相关系数来确定两个变量之间的线性关系强度和方向。
统计推断是利用样本数据对总体进行推断的一种方法,可以由样本推断出总体特征。
8. 非参数统计方法:非参数统计方法是在对总体分布形态不做假设的情况下,利用样本统计量进行推断的方法。
它包括了秩和检验、符号检验、分布自由检验等方法。
以上只是概率统计中的一部分重要知识点总结,概率统计的内容非常广泛,应用领域也十分广泛。
希望能够通过学习以上知识点,对概率统计有一个初步的了解。
概率和统计的基本概念知识点总结
概率和统计的基本概念知识点总结概率和统计是数学中的两个重要分支,被广泛应用于各个领域,包括自然科学、社会科学和工程学等。
本文将对概率和统计的基本概念进行总结和阐述,并提供一些实际应用案例。
1. 概率的基本概念概率是描述事件发生可能性的数值,通常用一个介于0和1之间的数表示。
概率的计算可以根据事件的性质和概率空间来进行。
1.1 事件与样本空间事件是指在一次试验中可能发生的一种或几种结果。
样本空间是指试验的所有可能结果的集合。
事件是样本空间的子集。
1.2 随机试验与概率空间随机试验是指具有以下特点的实验:可以在相同的条件下重复进行,并且每次试验的结果无法提前确定。
概率空间包括样本空间和概率函数。
1.3 概率函数概率函数是一个将样本空间的事件映射到实数区间[0,1]的函数。
它满足以下条件:对于任意样本空间的事件A,概率函数P(A)具有非负性、规范性和可列可加性。
2. 统计学的基本概念统计学是研究收集、整理、分析和解释数据的方法和技术的学科。
统计学分为描述统计和推断统计两个方面。
2.1 描述统计描述统计是用图表、统计量等方法对数据进行总结和描述的过程。
常用的描述统计方法包括平均数、中位数、众数、方差、标准差等。
2.2 推断统计推断统计是通过对样本数据进行分析,得出关于总体的结论或推断的过程。
推断统计方法包括假设检验、置信区间估计等。
3. 概率与统计的应用案例概率和统计的理论在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。
以下是几个典型的案例:3.1 风险评估概率与统计能够用于评估风险和制定保险政策。
根据历史统计数据和概率模型,可以估计某种风险发生的可能性,并制定相应的保险费率。
3.2 质量控制概率与统计可以用于质量控制中的过程监控和产品检验。
通过收集数据并进行统计分析,可以判断生产过程是否处于控制状态,以及产品是否符合质量标准。
3.3 经济预测概率与统计可以应用于经济领域的预测和决策。
通过对历史数据进行分析,可以建立经济模型并做出相应的预测,帮助政府和企业做出合理决策。
概率统计知识点
一.随机事件和概率1、概率的定义和性质(1)概率的公理化定义设Ω为样本空间,A 为事件,对每一个事件A 都有一个实数P(A),若满足下列三个条件:1° 0≤P(A)≤1, 2° P(Ω) =13° 对于两两互不相容的事件1A ,2A ,…有∑∞=∞==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛11)(i i i i A P A P Υ常称为可列(完全)可加性。
则称P(A)为事件A 的概率。
(2)古典概型(等可能概型)1° {}n ωωωΛ21,=Ω,2° nP P P n 1)()()(21===ωωωΛ。
设任一事件A ,它是由m ωωωΛ21,组成的,则有P(A)={})()()(21m ωωωΥΛΥΥ=)()()(21m P P P ωωω+++Λn m =基本事件总数所包含的基本事件数A =2、五大公式(加法、减法、乘法、全概、贝叶斯)(1)加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)=0时,P(A+B)=P(A)+P(B)(2)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当B ⊂ A 时,P(A-B)=P(A)-P(B)当A=Ω时,P(B )=1- P(B)(3)条件概率和乘法公式定义 设A、B 是两个事件,且P(A)>0,则称)()(A P AB P 为事件A 发生条件下,事件B 发生的条件概率,记为=)/(A B P )()(A P AB P 。
条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。
(4)全概公式设事件B 1, B 2,Λ , B n 满足1°B 1, B 2,Λ , B n两两互不相容,P (B i ) > 0(i = 1,2,Λ , n ) ,2°Υni iB A 1=⊂,则有)|()()|()()|()()(2211n n B A P B P B A P B P B A P B P A P +++=Λ。
数学必修三统计和概率知识点总结
数学必修三统计和概率知识点总结
数学必修三统计和概率的主要知识点包括:
1. 统计:
- 样本调查与总体推断:样本的选择和调查方法,通过样本推断总体特征;
- 随机变量与概率分布:离散型和连续型随机变量的概念,概率质量函数和概率密度函数;
- 期望与方差:随机变量的期望值和方差;
- 离散型随机变量的分布:二项分布、泊松分布等离散型随机变量的性质;
- 连续型随机变量的分布:均匀分布、正态分布等连续型随机变量的性质;
- 多元随机变量与边缘分布:多个随机变量之间的关系与边缘分布;
- 相关与回归:随机变量之间的相关性和回归分析;
- 统计与误差:抽样误差和非抽样误差。
2. 概率:
- 随机事件与概率:样本空间、随机事件和概率的概念;
- 概率的运算:事件的和、积以及互斥事件的概率;
- 条件概率:在已知一事件发生的条件下,另一事件发生的概率;
- 事件的独立性:事件之间的独立性和联合概率;
- 正态分布的应用:正态分布的特性、标准正态分布的应用;
- 抽样与抽样分布:抽样的概念,样本均值的分布;
- 参数估计:点估计和区间估计;
- 假设检验:零假设和备择假设的提出,检验统计量的构造。
以上是数学必修三统计和概率的主要知识点总结,具体内容可根据教材的要求进行深入学习和了解。
概率统计知识点总结
概率统计知识点总结基本概念:随机事件:在一次试验中可能发生的结果。
例如,抛硬币的结果可以是正面或反面。
样本空间:所有可能的结果的集合。
例如,抛硬币的样本空间为{正面,反面}。
概率:描述随机事件发生可能性的数学工具。
当重复试验的次数n逐渐增大,频率值会趋于某一稳定值,这个值就是概率。
事件之间的运算律:包括交换律、结合律、分配律和摩根定理。
频率与概率:频数:事件A发生的次数。
频率:频数除以总数。
概率的性质包括:P(空集)=0,有限可加性,加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),以及古典概型中利用排列组合求解简单问题的概率。
条件概率:指在事件B已经发生的条件下,事件A发生的概率,表示为P(A|B)。
相关的有乘法公式P(AB)=P(B|A)P(A),以及全概率公式与贝叶斯公式。
独立性检验:如果两个事件A和B满足等式P(AB)=P(A)P(B),则称事件A、B相互独立。
概率分布:描述了随机变量可能取值的概率情况。
分为离散分布(如伯努利分布、二项分布、泊松分布等)和连续分布(如均匀分布、正态分布、指数分布等)。
总体、单位和样本:总体:待认识的客观事物的全体。
单位:组成总体的各个个体。
样本:总体的部分单位组成的集合。
标志、指标、参数和统计量:标志:分为品质标志(如性别)和数量标志(如收入)。
指标:反映现象总规模、总水平的统计指标称为数量指标;反映现象相对水平和工作质量的统计指标称为质量指标。
参数:用来描述总体的特征。
这些知识点构成了概率统计的核心内容,广泛应用于各个领域,从科学研究到日常生活决策,都起着重要的作用。
概率统计知识点总结
概率统计知识点总结概率统计是一门研究随机现象数量规律的学科,在日常生活、科学研究、工程技术等领域都有着广泛的应用。
下面就来为大家总结一下概率统计中的一些重要知识点。
一、随机事件与概率随机事件是指在一定条件下,可能出现也可能不出现的事件。
比如抛硬币时,正面朝上就是一个随机事件。
概率则是用来衡量随机事件发生可能性大小的数值。
概率的定义有古典概型和几何概型两种。
古典概型中,事件 A 的概率等于 A 包含的基本事件数除以基本事件总数。
而在几何概型中,事件 A 的概率等于 A 对应的区域长度(面积或体积)除以总区域长度(面积或体积)。
概率的性质包括:0 ≤ P(A) ≤ 1;P(Ω) = 1,其中Ω表示必然事件;P(∅)= 0,∅表示不可能事件;如果 A 和 B 是互斥事件,那么P(A∪B) = P(A) + P(B)。
条件概率是指在事件 B 发生的条件下,事件 A 发生的概率,记作P(A|B),其计算公式为 P(A|B) = P(AB) / P(B)。
二、随机变量及其分布随机变量是用来表示随机现象结果的变量。
常见的随机变量有离散型随机变量和连续型随机变量。
离散型随机变量的概率分布可以用分布列来表示,比如二项分布、泊松分布等。
二项分布描述的是 n 次独立重复试验中成功的次数,其概率质量函数为 P(X = k) = C(n, k) p^k (1 p)^(n k),其中 p 是每次试验成功的概率。
泊松分布常用于描述在一定时间或空间内稀有事件发生的次数。
连续型随机变量的概率分布用概率密度函数来描述,常见的有正态分布。
正态分布的概率密度函数为 f(x) = 1 /(σ √(2π)) e^((x μ)^2 /(2σ^2)),其中μ是均值,σ是标准差。
正态分布在自然界和社会现象中非常常见,很多随机现象都近似服从正态分布。
三、随机变量的数字特征期望是随机变量的平均值,离散型随机变量 X 的期望 E(X) =Σx P(X = x),连续型随机变量 X 的期望 E(X) =∫x f(x) dx。
概率统计中考知识点总结
概率统计中考知识点总结1. 概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性大小的数值。
在概率统计中,我们通常用P(A)表示事件A发生的概率,该概率的取值范围是0≤P(A)≤1。
当P(A)=1时,表示事件A一定发生;当P(A)=0时,表示事件A一定不会发生;当0<P(A)<1时,表示事件A可能发生,但也可能不发生。
2. 概率的加法公式当事件A和事件B互斥时,它们的概率之和等于它们发生的并集的概率,即P(A∪B)=P(A)+P(B)。
当事件A和事件B不互斥,即存在交集时,加法公式可以表示为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
3. 概率的条件概率条件概率表示在已知事件B发生的条件下,事件A发生的概率。
它的计算公式为P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。
条件概率的计算在很多实际问题中都有着重要的应用,比如医学诊断、金融风险管理等领域。
4. 概率的独立性两个事件A和B称为相互独立,如果它们的发生不会相互影响,即P(A|B)=P(A)或者P(B|A)=P(B)。
在概率统计中,独立事件的性质给予我们便利的计算条件,简化了问题的复杂性。
5. 随机变量和概率分布随机变量是取值不确定的变量,它可以是离散型的也可以是连续型的。
在概率统计中,我们通常用概率分布来描述随机变量的分布规律。
常见的概率分布包括二项分布、正态分布、泊松分布等,它们在实际问题中有着广泛的应用。
6. 统计推断统计推断是利用样本数据对总体特征进行推断和估计的过程。
在统计学中,我们通常使用点估计和区间估计来估计总体参数的值,同时利用假设检验来对统计推断进行检验。
7. 相关性和因果关系在概率统计中,我们也经常研究变量之间的相关性和因果关系。
相关性研究变量之间是如何随着变化而变化的规律,而因果关系则研究变量之间的因果关系。
这些研究成果在科学研究和实际问题中都有着重要的应用价值。
以上是概率统计中的一些重要知识点总结,概率统计在现代社会中有着广泛的应用,我们需要认真学习和掌握这些知识,以便更好地理解和应用在实际问题中。
概率和统计知识点总结
概率和统计知识点总结1. 概率的基本概念概率是描述随机现象发生可能性的数学工具。
在概率论中,我们研究的对象是随机实验,即是某种条件下可能出现的各种可能和其相应的概率。
概率的基本概念包括样本空间、事件、概率的定义和性质等。
样本空间是指随机实验的所有可能结果的集合。
事件是样本空间的子集,即是样本空间中的某一部分。
事件的概率就是事件发生的可能性。
概率的定义有频率派和贝叶斯派的不同观点,频率派认为概率是频率的极限,贝叶斯派认为概率是主观的相信程度。
概率的性质包括非负性、规范性、可加性等。
2. 常见的概率分布在概率论中,概率分布是表示随机变量取值可能性的函数。
常见的概率分布包括离散型概率分布和连续型概率分布。
离散型概率分布包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
伯努利分布描述的是一个随机变量只有两个可能取值的概率分布,二项分布表示的是n重伯努利试验的概率分布,泊松分布描述的是单位时间或单位面积内随机事件出现次数的概率分布。
连续型概率分布包括均匀分布、正态分布、指数分布等。
均匀分布描述的是在一定范围内随机变量取值均匀分布的概率分布,正态分布是一种对称的连续型概率分布,指数分布描述的是一个随机事件首次发生的时间间隔的概率分布。
3. 统计参数估计统计参数估计是利用样本数据估计总体参数的方法。
在统计学中,总体参数是描述总体特征的变量,样本是从总体中抽取的一部分数据。
参数估计包括点估计和区间估计。
点估计是用样本数据估计总体参数的具体值。
常见的点估计方法包括最大似然估计、矩估计等。
最大似然估计是通过寻找数据使得似然函数最大化的方法来估计总体参数,矩估计是利用样本矩来估计总体矩。
区间估计是用样本数据估计总体参数的区间范围。
区间估计的原理是通过置信区间来估计总体参数的范围,通常使用样本均值和标准差来构建置信区间。
4. 假设检验假设检验是统计学中用来验证总体参数的方法。
在假设检验中,我们设定一个或者两个关于总体参数的假设,然后利用样本数据进行检验。
概率统计每章知识点总结
概率统计每章知识点总结第一章:基本概念1.1 概率的概念1.2 随机变量及其分布1.3 大数定律和中心极限定理第一章主要介绍了概率统计的基本概念,包括概率的定义、随机变量的概念以及大数定律和中心极限定律。
概率是描述事物发生可能性的数学工具,是对随机事件发生规律的度量和描述。
随机变量是描述随机现象的数学模型,可以用来描述随机现象的特征和规律。
大数定律和中心极限定律则是概率统计中重要的两个定律,它们描述了大量独立随机变量的和的分布规律。
第二章:随机事件的概率计算2.1 古典概型2.2 几何概型2.3 等可能概型2.4 条件概率2.5 独立性第二章主要介绍了随机事件的概率计算方法,包括古典概型、几何概型、等可能概型、条件概率和独立性。
古典概型是指实验的样本空间是有限的且每个样本点的概率相等的情形,可以直接计算出随机事件的概率。
几何概型是指随机事件的概率与其所在的几何形状有关,需要通过几何方法来计算。
等可能概型是指实验的样本空间是有限的,但不同样本点的概率不一定相等,需要通过计算总体概率来计算随机事件的概率。
第三章:随机变量及其分布3.1 随机变量及其分布3.2 数学期望3.3 方差3.4 常用离散型随机变量的分布3.5 常用连续型随机变量的分布第三章主要介绍了随机变量及其分布的知识,包括随机变量的概念、数学期望、方差以及常用的离散型和连续型随机变量的分布。
随机变量是描述随机现象的数学模型,可以是离散型的也可以是连续性的。
数学期望和方差是描述随机变量分布特征的重要指标,它们能够描述随机变量的集中程度和离散程度。
离散型随机变量常用的分布包括伯努利分布、二项分布、泊松分布;连续型随机变量常用的分布包括均匀分布、正态分布、指数分布等。
第四章:多维随机变量及其分布4.1 二维随机变量4.2 多维随机变量4.3 边际分布4.4 条件分布4.5 独立性第四章主要介绍了多维随机变量及其分布的知识,包括二维随机变量、多维随机变量、边际分布、条件分布和独立性。
概率和统计知识点梳理
概率和统计知识点梳理
概率知识点
1.实验和事件
实验:进行观察,观察结果不确定的活动。
事件:实验中可能发生的结果,通常用字母表示。
2.样本空间和样本点
样本空间:一个实验的所有可能结果的集合。
样本点:样本空间中的每一个结果。
3.概率
概率:某事件发生的可能性大小。
概率的范围:0 ≤ P(A) ≤ 1.
概率的计算方法:P(A) = 事件A的样本点数 / 样本空间的样本点数。
4.独立事件
独立事件:某事件的发生不受其他事件的影响。
统计知识点
1.调查和统计
调查:收集数据的过程。
统计:对数据进行整理、分析、总结和展示。
2.数据的分类和整理
分类:将数据按照某个特征或属性进行分组。
整理:将数据按照一定的顺序进行排列。
3.数据的分析和总结
分析:通过图表等方式展示数据的规律和特点。
总结:根据数据的分析结果得出结论。
4.图表的使用
直方图:用于表示数据的分布情况。
条形图:用于比较不同类别的数据大小。
折线图:用于表示数据的变化趋势。
饼图:用于表示部分和整体的关系。
5.平均数和范围
平均数:用于表示一组数据的集中趋势。
范围:用于表示一组数据的离散程度。
以上是小学六年级概率和统计知识点的梳理,希望能够帮助到你!。
概统知识点总结归纳
概统知识点总结归纳一、概率1. 概率的概念概率是指某一事件发生的可能性大小。
通常用P(A)表示,其中A表示事件的名称。
概率的取值范围是[0,1],概率为0表示不可能事件,概率为1表示必然事件。
2. 概率的性质(1)0≤P(A)≤1(2)P(Ω)=1,其中Ω表示全集。
(3)互斥事件:若A与B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B)(4)相互独立事件:若A与B相互独立,则P(A∩B)=P(A)·P(B)3. 概率的计算(1)古典概率:P(A)=m/n,其中m表示事件A发生的次数,n表示试验的总次数。
(2)几何概率:P(A)=S(A)/S(Ω),其中S(A)表示事件A对应的几何区域的面积,S(Ω)表示全集对应的几何区域的面积。
(3)统计概率:P(A)=n(A)/n,其中n(A)表示事件A发生的次数,n表示试验的总次数。
二、随机变量1. 随机变量的概念随机变量是指试验结果的数量特征的变量。
随机变量可以是离散型的或连续型的。
2. 随机变量的分布(1)离散型随机变量:如果X取值有限或可数,即X可以把其所有可能的取值列举出来,那么称X为离散型随机变量。
离散型随机变量的分布可以用概率分布列或累积分布函数来描述。
(2)连续型随机变量:如果X的取值连续,即X的取值范围是一个或多个区间,那么称X为连续型随机变量。
连续型随机变量的分布可以用概率密度函数或累积分布函数来描述。
3. 随机变量的期望和方差(1)期望:随机变量X的期望E(X)表示X的平均取值。
若X是离散型随机变量,则有E(X)=Σx·P(X=x),若X是连续型随机变量,则有E(X)=∫x·f(x)dx,其中f(x)表示X的概率密度函数。
(2)方差:随机变量X的方差Var(X)表示X的取值偏离其期望值的程度。
Var(X)=E((X-E(X))^2),其中E(X)表示X的期望。
三、概率分布1. 常见的概率分布(1)离散型概率分布:0-1分布、二项分布、泊松分布等。
概率统计知识点归纳
概率统计知识点归纳概率统计是数学的一个分支,研究与描述随机现象的规律和特征。
本文将归纳概率统计的一些重要知识点,包括基本概念、概率分布、参数估计、假设检验等。
1.基本概念概率统计的基本概念包括随机试验、样本空间、事件、概率以及随机变量等。
-随机试验指的是具有不确定性的实验,其结果有多种可能性。
-样本空间是随机试验所有可能结果的集合。
-事件是样本空间的子集,表示一些结果的集合。
-概率是事件发生的可能性,用一个介于0和1之间的数值表示。
-随机变量是定义在样本空间上的函数,将每个结果映射到一个实数。
2.概率分布概率分布描述了随机变量的所有可能取值及其对应的概率。
重要的概率分布包括离散概率分布和连续概率分布。
-离散概率分布是指随机变量只能取到有限个或可数个值的分布。
常见的离散概率分布有伯努利分布、二项分布和泊松分布等。
-连续概率分布是指随机变量可以取到任意实数值的分布。
常见的连续概率分布有均匀分布、正态分布和指数分布等。
3.参数估计参数估计是通过已知样本数据来估计总体参数的过程。
常见的参数估计方法有点估计和区间估计。
-点估计是通过选择一个统计量来估计总体参数的值。
常见的点估计方法有最大似然估计、矩估计和最小二乘估计等。
-区间估计是通过给出总体参数一个区间范围来估计参数的值。
常见的区间估计方法有置信区间估计和预测区间估计等。
4.假设检验假设检验用于确定观察到的样本数据是否支持或反对一些关于总体的假设。
假设检验中包括原假设和备择假设。
-原假设是对总体参数的其中一种假设,例如总体均值等于一些值。
-备择假设是对原假设的补充,如总体均值不等于一些值。
-假设检验的步骤包括建立假设、选择显著水平、计算检验统计量、计算p值和作出决策等。
5.相关性分析相关性分析用于研究两个或多个变量之间的相关性程度。
常见的相关性分析方法有协方差和相关系数。
-协方差是衡量两个变量之间关系强弱和方向的统计量。
协方差为正表示两个变量正相关,为负表示两个变量负相关。
统计和概率知识点总结
第一章数据的收集、整理与描述1、全面调查:考察全体对象的调查方式叫做全面调查。
2、抽样调查:调查部分数据,根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。
3、总体:要考察的全体对象称为总体。
4、个体:组成总体的每一个考察对象称为个体。
5、样本:被抽取的所有个体组成一个样本。
6、样本容量:样本中个体的数目称为样本容量。
7、样本平均数:样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。
8、总体平均数:总体中所有个体的平均数叫做总体平均数,在统计中,通常用样本平均数估计总体平均数。
9、频数:一般地,我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。
10、频率:频数与数据总数的比为频率。
11、组数和组距:在统计数据时,把数据按照一定的范围分成若干各组,分成组的个数称为组数,每一组两个端点的差叫做组距。
第二章 数据的分析1、平均数:一般地,如果有n 个数,,,,21n x x x 那么,)(121n x x x n x +++= 叫做这n 个数的平均数,x 读作“x 拔”。
2、加权平均数:如果n 个数中,1x 出现1f 次,2x 出现2f 次,…,k x 出现k f 次(这里nf f f k =++ 21)。
那么,根据平均数的定义,这n 个数的平均数可以表示为n f x f x f x x k k ++=2211,这样求得的平均数x 叫做加权平均数,其中k f f f ,,,21 叫做权。
3、中位数:将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数(median);如果数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。
4、众数:一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数(mode )。
5、极差:组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差(range)。
6、在一组数据,,,,21n x x x 中,各数据与它们的平均数x 的差的平方的平均数,叫做这组数据的方差。
概率与统计基本知识点总结
概率与统计基本知识点总结1.概率理论:概率的定义:概率是描述随机事件发生可能性的数值,通常用介于0和1之间的数表示。
概率的基本性质:概率值在0到1之间,且所有可能事件的概率之和为1事件的独立性:两个或多个事件相互独立,意味着一个事件的发生不受其他事件发生与否的影响。
加法法则:若A和B是两个事件,则它们联合发生的概率等于它们各自发生的概率之和减去它们同时发生的概率。
乘法法则:对于两个独立事件A和B,它们同时发生的概率等于它们各自发生的概率之积。
条件概率:事件A在事件B发生的条件下发生的概率,表示为P(A,B)。
贝叶斯定理:根据已知的条件概率,求解另一个条件概率的计算公式。
2.随机变量与概率分布:随机变量:将随机事件的结果映射到实数上的变量。
离散型随机变量:取有限个或可数个值的随机变量。
连续型随机变量:取任意实数值的随机变量。
概率分布:描述随机变量取各个值的概率的函数。
离散型概率分布:包括离散均匀分布、二项分布、泊松分布等。
连续型概率分布:包括连续均匀分布、正态分布、指数分布等。
期望:随机变量的平均值,反映其分布的中心位置。
方差:随机变量偏离其均值的程度,反映其分布的离散程度。
3.统计推断:总体与样本:总体是指研究对象的全体,样本是从总体中抽取的一部分个体。
参数与统计量:总体的数值特征称为参数,样本的数值特征称为统计量。
抽样分布:样本统计量的概率分布。
中心极限定理:在一定条件下,样本容量足够大时,样本的均值近似服从正态分布。
置信区间:用样本统计量作为总体参数的估计范围。
假设检验:通过对样本数据的分析,判断总体参数是否满足其中一种假设。
概率统计各章节知识点总结
n k 1
Xk
P
p
X1, X 2 ,, X n ,相互独立
E( Xk ) 同分布
1
n
n k 1
Xk
P
n
X1 , X 2 ,, X n ,相互独立
X k n 近似
同分布E( X k ) D( X k ) 2 k1 n
~ N (0,1)
X n ~ B(n, p)
Xn np
近似
~ N(0,1)
f ( x, y)dxdy D是积分区域g( x, y) z与f ( x, y)
D(z)
取值非零区域的交集
第四章
随机变量的数学期望与方差
离散型随机变量
X
E( X ) xk pk
k 1
Y g( X ) E(Y ) E[g( X )]
g连续
g( xk ) pk
k 1
连续型随机变量
E( X ) xf ( x)dx
第三章 第四节 两个随机变量的函数的分布
Z g(X ,Y ) f ( X ,Y ) fZ (z) ? f Z (z) FZ (z)
1)Z X Y
fZ (z)
f (z y, y)dy
f X (z y) fY ( y)dy
2)Z max{X ,Y } Z min{X ,Y }
np(1 p)
第六章
常用统计量及抽样分布
2分布
X i ~ N (0,1) i 1,2,, n 独立
n
2
X
2 i
~
2(n)
i 1
2 (n)
E( 2 ) n D( 2 ) 2n 2 (n) 1 2(z
X ~ N (0,1), Y ~ 2 (n), 独立
概率统计知识点汇总
概率统计知识点汇总1.分类加法计数原理完成一件事有n 类不同的方案,在第一类方案中有m 1种不同的方法,在第二类方案中有m 2种不同的方法,……,在第n 类方案中有m n 种不同的方法,则完成这件事情,共有N =m 1+m 2+…+m n 种不同的方法. 2.分步乘法计数原理完成一件事情需要分成n 个不同的步骤,完成第一步有m 1种不同的方法,完成第二步有m 2种不同的方法,……,完成第n 步有m n 种不同的方法,那么完成这件事情共有N =m 1×m 2×…×m n 种不同的方法. 3.两个原理的区别分类加法计数原理与分步乘法计数原理,都涉及完成一件事情的不同方法的种数.它们的区别在于:分类加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成.4.排列与排列数公式 (1)排列与排列数从n 个不同元素中取出m m ≤n 个元素――――――――→按照一定的顺序排成一列排列―――――→所有不同排列的个数排列数(2)排列数公式A mn =n (n -1)(n -2)…(n -m +1)=n !n -m !.(3)排列数的性质 ①A nn =n !; ②0!=1. 5.组合与组合数公式 (1)组合与组合数从n 个不同元素中取出m m ≤n 个元素――――→合成一组组合――――――→所有不同组合的个数组合数(2)组合数公式C m n=A mn A m m=nn -n -n -m +m !=n !m !n -m !.(3)组合数的性质①C 0n =1; ②C mn =C n -mn ; ③C m n +C m -1n =C mn +1.6.排列与组合问题的识别方法7.二项式定理(1)定理: (a +b )n=C 0n a n+C 1n a n -1b +…+C k n a n -k b k +…+C n n b n (n ∈N *).(2)通项:第k +1项为:T k +1=C k n an -k b k.(3)二项式系数:二项展开式中各项的二项式系数为:C kn (k =0,1,2,…,n ). 8.二项式系数的性质9.概率与频率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验,观察某一事件A 是否出现,称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数,称事件A 出现的比例f n (A )=n An为事件A 出现的频率. (2)对于给定的随机事件A ,在相同条件下,随着试验次数的增加,事件A 发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定,我们可以用这个常数来刻画随机事件A 发生的可能性大小,并把这个常数称为随机事件A 的概率,记作P (A ). 10.事件的关系与运算11.理解事件中常见词语的含义:(1)A ,B 中至少有一个发生的事件为A ∪B ; (2)A ,B 都发生的事件为AB ; (3)A ,B 都不发生的事件为A -B -;(4)A ,B 恰有一个发生的事件为A B -∪A -B ; (5)A ,B 至多一个发生的事件为A B -∪A -B ∪A -B -. 12.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围:0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率:P (E )=1. (3)不可能事件的概率:P (F )=0.(4)概率的加法公式:如果事件A 与事件B 互斥,则P (A ∪B )=P (A )+P (B ). (5)对立事件的概率若事件A 与事件B 互为对立事件,则P (A )=1-P (B ).13.互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系,互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之一必须有一个发生,因此,对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件. 14.基本事件的特点(1)任意两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 15.古典概型(1)定义:具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个. ②每个基本事件出现的可能性相等.(2)古典概型的概率公式:P (A )=A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.16.几何概型(1)定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型.(2)几何概型的概率公式:P (A )=构成事件A 的区域长度面积或体积试验的 所构成的区域长度面积或体积.17.条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A 和B ,在已知事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率叫做条件概率,用符号P (B |A )来表示,其公式为P (B |A )=P AB P A =n ABn A.(2)条件概率具有的性质: ①0≤P (B |A )≤1;②如果B 和C 是两个互斥事件,则P (B ∪C |A )=P (B |A )+P (C |A ). 18.相互独立事件(1)对于事件A 、B ,若A 的发生与B 的发生互不影响,则称A 、B 是相互独立事件. (2)若A 与B 相互独立,则P (B |A )=P (B ),P (AB )=P (B |A )P (A )=P (A )P (B ).(3)若A 与B 相互独立,则A 与B ,A 与B ,A 与B 也都相互独立. (4)若P (AB )=P (A )P (B ),则A 与B 相互独立.19.离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,常用字母X ,Y ,ξ,η,…表示.所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量. 20.离散型随机变量的分布列及其性质(1)一般地,若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1,x 2,…,x i ,…,x n ,X 取每一个值x i (i =1,2,…,n )的概率P (X =x i )=p i ,则表(2)离散型随机变量的分布列的性质:①p i ≥0(i =1,2,…,n ); ②∑ni =1p i =1. 21.常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布:若随机变量X 服从两点分布,则其分布列为其中p =P (X =1)称为成功概率. (2)超几何分布在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则事件{X =k }发生的概率为P (X =k )=C kM C n -kN -MC n N ,k =0,1,2,…,m ,其中m =min{M ,n },且n ≤N ,M ≤N ,n ,M ,N ∈N *,称(3①独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次之间相互独立的一种试验,在这种试验中每一次试验只有两种结果,即要么发生,要么不发生,且任何一次试验中发生的概率都是一样的.②在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率为p ,则P (X =k )=C k n p k (1-p )n -k(k =0,1,2,…,n ),此时称随机变量X 服从二项分布,记为X ~B (n ,p),并称p 为成功概率.22.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为<1>均值:称E (1122i i n n 它反映了离散型随机变量取值的平均水平.<2>方差:称D (X )=∑ni =1 (x i -E (X ))2p i 为随机变量X 的方差,它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度,其算术平方根D X 为随机变量X 的标准差.<3>均值与方差的性质E aX +b = D aX +b =(a ,b 为常数).<4>两点分布与二项分布的均值、方差23.(1)曲线位于x 轴上方,与x 轴不相交; (2)曲线是单峰的,它关于直线x =μ对称;(3)曲线在x =μ处达到峰值1σ2π;(4)曲线与x 轴之间的面积为1;(5)当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x 轴平移;(6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散. (7)正态分布的三个常用数据(不需记忆) ① P (μ-σ<X ≤μ+σ)=0.682 6; ② P (μ-2σ<X ≤μ+2σ)=0.954 4; ③ P (μ-3σ<X ≤μ+3σ)=0.997 4. 24.简单随机抽样(1)定义:一般地,设一个总体含有N 个个体,从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本(n ≤N ),且每次抽取时各个个体被抽到的机会都相等,就称这样的抽样方法为简单随机抽样. (2)常用方法:抽签法和随机数表法. 25.系统抽样(1)步骤:①先将总体的N 个个体编号;②根据样本容量n ,当N n 是整数时,取分段间隔k =N n; ③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l ≤k ); ④按照一定的规则抽取样本.(2)适用范围:适用于总体中的个体数较多时. 26.分层抽样(1)定义:在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法是一种分层抽样.(2)适用范围:适用于总体由差异比较明显的几个部分组成时.27.三种抽样方法的比较(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差). (2)决定组距与组数. (3)将数据分组. (4)列频率分布表. (5)画频率分布直方图. 29.频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图. (2)总体密度曲线:随着样本容量的增加,作图时所分的组数增加,组距减小,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线. 30.茎叶图统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图,茎是指 的一列数,叶是从茎的旁边生长出来的数. 31.样本的数字特征(1)众数:一组数据中出现次数最多的那个数据,叫做这组数据的众数.(2)中位数:把n 个数据按大小顺序排列,处于最中间位置的一个数据叫做这组数据的中位数. (3)平均数:把a 1+a 2+…+a nn称为a 1,a 2,…,a n 这n 个数的平均数.(4)标准差与方差:设一组数据x 1,x 2,x 3,…,x n 的平均数为x ,则这组数据 标准差为s =1nx 1-x2+x 2-x2+…+x n -x2]方差为s 2=1n[(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2]32.变量间的相关关系(1)常见的两变量之间的关系有两类:一类是函数关系,另一类是相关关系;与函数关系不同,相关关系是一种非确定性关系.(2)从散点图上看,点分布在从左下角到右上角的区域内,两个变量的这种相关关系称为正相关,点分布在左上角到右下角的区域内,两个变量的相关关系为负相关. 33.两个变量的线性相关(1)从散点图上看,如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近,称两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫回归直线.(2)回归方程为y ^=b ^x +a ^,其中 ,a ^=y -b ^x .(3)通过求Q = (y i -bx i -a )2的最小值而得出回归直线的方法,即求回归直线,使得样本数据的点到它的距离的平方和最小,这一方法叫做最小二乘法. (4)相关系数:当r >0时,表明两个变量正相关; 当r <0时,表明两个变量负相关.r 的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性越强.r 的绝对值越接近于0,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系,通常|r |大于0.75时,认为两个变量有很强的线性相关性. 34.独立性检验假设有两个分类变量X 和Y ,它们的取值分别为{x 1,x 2}和{y 1,y 2},其样本频数列联表(称为2×2列联表)为:K 2=n ad -bc 2a +ba +cb +dc +d(其中n =a +b +c +d 为样本容量).。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
概率统计知识点归纳
平均数、众数和中位数
平均数、众数和中位数.要描述一组数据的集中趋势,最重要也是最常见的方法就是用这“三数”来说明.
一、正确理解平均数、众数和中位数的概念
1.平均数 平均数是反映一组数据的平均水平的特征数,反映一组数据的集中趋势.平均数的大小与一组数据里的每一个数据都有关系,任何一个数据的变化都会引起平均数的变化.
2.众数 在一组数据中出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数.一组数据中的众数有时不唯一.众数着眼于对各数出现的次数的考察,这就告诉我们在求一组数据的众数时,既不需要排列,又不需要计算,只要能找出样本中出现次数最多的那一个(或几个)数据就可以了.当一组数据中有数据多次重复出现时,它的众数也就是我们所要关心的一种集中趋势.
3.中位数 中位数就是将一组数据按大小顺序排列后,处在最中间的一个数(或处在最中间的两个数的平均数).一组数据中的中位数是唯一的.
二、注意区别平均数、众数和中位数三者之间的关系
平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量,但它们描述的角度和适用的范围又不尽相同.在具体问题中采用哪种量来描述一组数据的集中趋势,那得看数据的特点和要关注的问题.
三、能正确选用平均数、众数和中位数来解决实际问题
由于平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量,所以利用平均数、众数和中位数可以来解决现实生活中的问题.
极差、方差、标准差
极差、方差和标准差都是用来研究一组数据的离散程度的,反映一组数据的波动范围或波动大小的量.
一、极差
一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差,即极差=最大值-最小值.极差能够反映数据的变化范围,差是最简单的一种度量数据波动情况的量,它受极端值的影响较大.
二、方差
方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.它是指一组数据中各个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数,它反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大,数据的波动越大;方差越小,数据的波动越小.
求一组数据的方差可以简记先求平均,再求差,然后平方,最后求平均数.一组数据x 1、x 2、x 3、…、x n 的平均数为x ,则该组数据方差的计算公式为:
])()()[(1222212x x x x x x n
S n -++-+-= . 三、标准差
在计算方差的过程中,可以看出方差的数量单位与原数据的单位不一致,在实际的应用时常常将求出的方差再开平方,此时得到量为这组数据的标准差.
即标准差=方差.
四、极差、方差、标准差的关系
方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的量,常用来比较两组数据的波动大小.两组
数据中极差大的那一组并不一定方差也大.在实际问题中有时用到标准差,是因为标准差的单位和原数据的单位一致,且能缓解方差过大或过小的现象.
一、 随机事件的概率
1、必然事件:一般地,把在条件S 下,一定会发生的事件叫做相对于条件S 的必然事件。
2、不可能事件:把在条件S 下,一定不会发生的事件叫做相对于条件S 的不可能事件。
3、确定事件:必然事件和不可能事件统称相对于条件S 的确定事件。
4、随机事件:在条件S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件S 的随机事件。
7、概率:随机事件A 的概率是频率的稳定值,反之,频率是概率的近似值.
概率的正确解释:随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但随机性中含有规律性。
认识了这种随机中的规律性,可以比较准确地预测随机事件发生的可能性。
二、 概率的基本性质
1、事件的关系与运算
(1)包含。
对于事件A 与事件B ,如果事件A 发生,则事件B 一定发生,称事件B 包含事件A (或事件A 包含于事件B ),记作(B A ⊇⊆或A B)。
不可能事件记作∅。
(2)相等。
若B A A B ⊇⊇且,则称事件A 与事件B 相等,记作A=B 。
(3)事件A 与事件B 的并事件(和事件):某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生。
(4)事件A 与事件B 的交事件(积事件):某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生。
(5)事件A 与事件B 互斥:A B 为不可能事件,即=A B ∅,即事件A 与事件B 在任何一次试验中并不会同时发生。
(6)事件A 与事件B 互为对立事件:A B 为不可能事件,A B 为必然事件,即事件A 与事件B 在任何一次试验中有且仅有一个发生。
2、概率的几个基本性质
(1)0()1P A ≤≤.
(2)必然事件的概率为1.()1P E =.
(3)不可能事件的概率为0. ()0P F =.
(4)事件A 与事件B 互斥时,P(A B)=P(A)+P(B)——概率的加法公式。
(5)若事件B 与事件A 互为对立事件,,则A B 为必然事件,()1P A B =.
三、古典概型
1、基本事件的特点:(1)任何两个事件是互斥的;
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。
2、古典概型:(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;
(2)每个基本事件出现的可能性相等。
具有这两个特点的概率模型称为古典概型。
3、公式:()=
A P A 包含的基本事件的个数基本事件的总数
四、几何概型
1、几何概型:每个事件发生的概率只有与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例的概率模型。
2、几何概型中,事件A 发生的概率计算公式:
()P A =构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
三类概率问题的求解策略
对于一个概率题,我们首先要弄清它属于哪一类型的概率,因为不同的类型需要采取不同类型的概率公式和求解方法;其次,要审清题意,注意问题中的关键语句,因为这些关键语句往往蕴含着解题的思路和方法。
一、可能性事件概率的求解策略
对于可能性事件的概率问题,利用概率的古典定义来求可能性事件的概率时,应注意按下列步骤进行:求出基本事件的总个数n;②求出事件A 中包含的基本事件的个数m;③求出事件A 的概率,即n m
A P =)(
二、互斥事件概率的求解策略
对于互斥事件的概率问题,通常按下列步骤进行:①确定众事件彼此互斥;②众事件中有一个发生;先求出众事件分别发生的概率,然后再求其和。
对于某些复杂的互斥事件的概率问题,一般应考虑两种方法:一是“直接法”,将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和;二是用“间接法”,即先求出此事件的对立事件的概率)(A P ,再用)(1)(A P A P -=求出结果。
三、相互独立事件同时发生的概率的求解策略
对于相互独立事件同时发生的概率问题,其求解的一般步骤是:①确定众事件是相互独立的;②确定众事件会同时发生;③先求每个事件发生的概率,再求它们的积。
概率的计算方法
一、公式法 利用公式P =(随机事件)随机事件可能出现的结果数随机事件所有可能出现的结果数就可以计算随机事件的概率,这里
1=(必然事件)P ,0=(不可能事件)P ,如果A 为不确定事件,那么0<)
(A P <1. 二、列表法
例.如果每组3张牌,它们的牌面数字分别是1,2,3,那么从每组牌中各摸出一张牌,两张牌的牌面数字和为几的概率最大?两张牌的牌面数字和等于4的概率是多少?
解:利用列表法:
3 (1,3) (2,3) (3,3)
列表中两次出现1,2,3点的可能性相同,因而共有9中可能,而牌面数字和等于4的情况有(1,
3),(2,2),(3,1),3中可能,所以牌面数字和等于4的概率等于
93,即31. 三、树状图法
如上题的另一中解法,就利用用树状图法来解:
总共9种情况,每种情况发生的可能性相同,而两张牌的牌面数字和等于4的情况出现得最多,共3次,因此牌面数字和等于4的概率最大,概率为等于
93,即31. 四、面积法
几何概型的概率的求解方法往往与面积的计算相结合
例.如图,矩形花园ABCD ,AB 为4米,BC 为6米,小鸟任意落下,则小鸟落在阴影区的概率是多少?
解:矩形面积为:4×6=24(米2),
阴影部分面积为:12642
1=⨯⨯(米2), 212412==(小鸟落在阴影区)P .
3 1 1 1 2 2 2 3 (4) (5) (4) 开始 2 1 3 3 (2) (3) (3) (4) (5) (6)
A B
C D。