近世代数基础PPT课件
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近世代数是一门十分活跃又发展 迅速的学科，它的概念众多、内容丰富， 作为一门基础课，又限于教学时数，教 学时只能择其最基础的概念和基本的内 容。因此，有的课本就名曰《近世代数 基础》。
6
高度的抽象是近世代数的显著特点，它的基 本概念：群、环、域，对初学者也是很抽象的概念， 因此，在本课程的学习中，大家要多注意实例,以加 深对概念的正确理解。
13
直到1824年一位年青的挪威数学家 N.Abel (1802-1829) 才证明五次和五次以上的一般代数方 程没有求根公式。但是人们仍然不知道什么条件之 下一个已知的多项式能借助加、减、乘、除有理运 算以及开方的方法求出它的所有根,什么条件之下不 能求根。
最终解决这一问题的是一位法国年青数学家 E.Galois(1811—1832)，Galois引入了扩域以及群 的概念，并采用了一种全新的理论方法发现了高次 代数方程可解的法则。在Galois之后群与域的理论 逐渐成为现代化数学研究的重要领域，这是近世代 数产生的一个最重要的来源。
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5.《近世代数》，吴品山，人民教育出版社，1979。 6.《抽象代数学》，谢邦杰，上海科学技术出版社， 1982。 7.《抽象代数基础》，刘云英，北京师范大学出版 社，1990年。 8. <<近世代数>>,杨子胥,高等教育出版社,2003年.
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在学习《近世代数》这门课之前， 有必要了解一下有关近世代数的由来， 这有利于这门课程的学习。
18
Kummer方法的前提是形如a+bη的复整数也象 整数一样具有唯一的素因子分解，其中a与b是通 常整数。并不是对于每个整数n,复整数a+bη都具 有唯一分解性，Kummer把这种复整数的因子分解 称为理想数的分解。
来说四元数的发现使人们对于数系的代数性质的认识提高了
一大步。四元数代数也成为抽象代数研究的一个新的起点，
它是近世代数的另一个重要理论来源。
返回
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（3）Kummer理想数的发现
17世纪初法国数学家费马(P.Fermat 1601-1665） 研究整数方程时发现当n≥3时，方程 xn+yn=zn 没有正整数解，费马认为他能够证明这个 定理，但是其后的三百多年中人们研究发现这是一 个非常困难的问题，这一问题被后来的研究者称为 费马问题或费马大定理，此定理直到1995年才被英 国数学家A.Wiles证明。对费马问题的研究在三个半 世纪内从未间断过，欧拉、高斯等著名数学家都对 此作出过重要贡献。但最重大的一个进展是由 E.Kummer作出的。
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Kummer的想法是：如果上面的方程有 正整数解，假定η是一个n次本原单位根，那 么 xn+yn=zn 的等式两边可以作因子分解 zn=(x+y)(x+ηy)…(x+ηn-1y),象整数中的因子分 解一样，如果等式右边的n个因子两两互素， 那么每个因子都应是另外一个“复整数”的n 次方幂,进行适当的变换之后有可能得到更小 的整数x1,y1,z1使 xn+yn=zn 成立，从而导致矛 盾。如果上面等式右边的n个因子有公因式， 那么同除这个公因式再进行上面同样的讨论。
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加罗华
阿贝尔
返回
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(2)Hamilton四元数的发现
长期以来人们对于虚数的意义存在不同的看法，后来发
现可以把复数看成二元数(a,b)=a+bi，其中i2= -1。二元数按
(a,b)±(c,d)=(a±c,b±d)，(a,b)(c,d)=(ad+bc,ac-bd)的法则进行
代数运算，二元数具有直观的几何意义；与平面上的点一一
对应。这是数学家高斯提出的复数几何理论。二元数理论产
生的一个直接问题是：是否存在三元数？经过长时间探索，
力图寻求三元数的努力失败了。但是爱尔兰数学家
W.Hamilton(1805-1865)于1843年成功地发现了四元数。四元
数系与实数系、复数系一样可以作加减乘除四则运算，但与
以前的数系相比，四元数是一个乘法不交换的数系。从这点
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序：课 程 说 明
2
近世代数不仅在数学中占有及其重要的 地位，而且在其它学科中也有广泛的应用， 如理论物理、计算机学科等.其研究的方法和 观点，对其他学科产生了越来越大的影响。
群、环、域、模是本课程的基本内容.
3
集合论初步与高等代数（线性代数）是学 习本课程的准备知识。本课程学习以后可以继 续研读：群论、环论、模论、李群、李代数、 计算机科学等。
近 世 代 数
Biblioteka Baidu概 述
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1． 近世代数理论的三个来源 (1) 代数方程的解 (2) Hamilton四元数的发现 (3) Kummer理想数的发现
下一页
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（1） 代数方程的解 两千多年之前古希腊时代数学家就能够利用开
方法解二次方程 ax2+bx+c=0 。16世纪初欧洲文 艺复兴时期之后，求解高次方程成为欧洲代数 学研究的一个中心问题。1545年意大利数学家 G.Cardano(1501-1576)在他的著作《大术》（ Ars Magna）中给出了三、四项多项式的求根公 式，此后的将近三个世纪中人们力图发现五次 方程的一般求解方法，但是都失败了。
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《近世代数》课程的讲授为一个学期 ，共72 学时，内容包括第1章到第4章的内容。
《近世代数》是理论性较强的课程，由于教学 时数所限，本课程的理论推证体例较少，因此必须 通过做练习题来加深对概念的理解和掌握，熟悉各 种公式和定理的运用，从而达到消化、掌握所学知 识、体会《近世代数》的思想和方法的目的.由此可知， 独立完成作业是学好本课程的重要手段.
近世代数的习题，因抽象也都有一定的难度， 但习题也是巩固和加深理解不可缺少的环节，因此， 应适当做一些习题，为克服做习题的困难，应注意 教材内容和方法以及习题课内容。
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（中文）近世代数 （英文）Abstract Algebra
教材1：<<近世代数基础>>，张 禾瑞 ，高等教育出版，1978年 修订本。 教材２：<<近世代数>>,徐德余、唐
再良等编著，川大出版社，２００６ 年９月．
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主要参考书
1．B．L．瓦德瓦尔登著：代数学Ⅰ、Ⅱ卷，科 学出版社1964年版
2．N．贾柯勃逊著：抽象代数1、2、3卷，科学 出版社1987年出版
3．刘绍学著：近世代数基础，高等教育出版社 1999年出版
4．石生明著：近世代数初步、高等教育出版社 2002年出版
近世代数是一门十分活跃又发展 迅速的学科，它的概念众多、内容丰富， 作为一门基础课，又限于教学时数，教 学时只能择其最基础的概念和基本的内 容。因此，有的课本就名曰《近世代数 基础》。
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高度的抽象是近世代数的显著特点，它的基 本概念：群、环、域，对初学者也是很抽象的概念， 因此，在本课程的学习中，大家要多注意实例,以加 深对概念的正确理解。
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直到1824年一位年青的挪威数学家 N.Abel (1802-1829) 才证明五次和五次以上的一般代数方 程没有求根公式。但是人们仍然不知道什么条件之 下一个已知的多项式能借助加、减、乘、除有理运 算以及开方的方法求出它的所有根,什么条件之下不 能求根。
最终解决这一问题的是一位法国年青数学家 E.Galois(1811—1832)，Galois引入了扩域以及群 的概念，并采用了一种全新的理论方法发现了高次 代数方程可解的法则。在Galois之后群与域的理论 逐渐成为现代化数学研究的重要领域，这是近世代 数产生的一个最重要的来源。
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5.《近世代数》，吴品山，人民教育出版社，1979。 6.《抽象代数学》，谢邦杰，上海科学技术出版社， 1982。 7.《抽象代数基础》，刘云英，北京师范大学出版 社，1990年。 8. <<近世代数>>,杨子胥,高等教育出版社,2003年.
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在学习《近世代数》这门课之前， 有必要了解一下有关近世代数的由来， 这有利于这门课程的学习。
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Kummer方法的前提是形如a+bη的复整数也象 整数一样具有唯一的素因子分解，其中a与b是通 常整数。并不是对于每个整数n,复整数a+bη都具 有唯一分解性，Kummer把这种复整数的因子分解 称为理想数的分解。
来说四元数的发现使人们对于数系的代数性质的认识提高了
一大步。四元数代数也成为抽象代数研究的一个新的起点，
它是近世代数的另一个重要理论来源。
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（3）Kummer理想数的发现
17世纪初法国数学家费马(P.Fermat 1601-1665） 研究整数方程时发现当n≥3时，方程 xn+yn=zn 没有正整数解，费马认为他能够证明这个 定理，但是其后的三百多年中人们研究发现这是一 个非常困难的问题，这一问题被后来的研究者称为 费马问题或费马大定理，此定理直到1995年才被英 国数学家A.Wiles证明。对费马问题的研究在三个半 世纪内从未间断过，欧拉、高斯等著名数学家都对 此作出过重要贡献。但最重大的一个进展是由 E.Kummer作出的。
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Kummer的想法是：如果上面的方程有 正整数解，假定η是一个n次本原单位根，那 么 xn+yn=zn 的等式两边可以作因子分解 zn=(x+y)(x+ηy)…(x+ηn-1y),象整数中的因子分 解一样，如果等式右边的n个因子两两互素， 那么每个因子都应是另外一个“复整数”的n 次方幂,进行适当的变换之后有可能得到更小 的整数x1,y1,z1使 xn+yn=zn 成立，从而导致矛 盾。如果上面等式右边的n个因子有公因式， 那么同除这个公因式再进行上面同样的讨论。
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加罗华
阿贝尔
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(2)Hamilton四元数的发现
长期以来人们对于虚数的意义存在不同的看法，后来发
现可以把复数看成二元数(a,b)=a+bi，其中i2= -1。二元数按
(a,b)±(c,d)=(a±c,b±d)，(a,b)(c,d)=(ad+bc,ac-bd)的法则进行
代数运算，二元数具有直观的几何意义；与平面上的点一一
对应。这是数学家高斯提出的复数几何理论。二元数理论产
生的一个直接问题是：是否存在三元数？经过长时间探索，
力图寻求三元数的努力失败了。但是爱尔兰数学家
W.Hamilton(1805-1865)于1843年成功地发现了四元数。四元
数系与实数系、复数系一样可以作加减乘除四则运算，但与
以前的数系相比，四元数是一个乘法不交换的数系。从这点
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序：课 程 说 明
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近世代数不仅在数学中占有及其重要的 地位，而且在其它学科中也有广泛的应用， 如理论物理、计算机学科等.其研究的方法和 观点，对其他学科产生了越来越大的影响。
群、环、域、模是本课程的基本内容.
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集合论初步与高等代数（线性代数）是学 习本课程的准备知识。本课程学习以后可以继 续研读：群论、环论、模论、李群、李代数、 计算机科学等。
近 世 代 数
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（1） 代数方程的解 两千多年之前古希腊时代数学家就能够利用开
方法解二次方程 ax2+bx+c=0 。16世纪初欧洲文 艺复兴时期之后，求解高次方程成为欧洲代数 学研究的一个中心问题。1545年意大利数学家 G.Cardano(1501-1576)在他的著作《大术》（ Ars Magna）中给出了三、四项多项式的求根公 式，此后的将近三个世纪中人们力图发现五次 方程的一般求解方法，但是都失败了。
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《近世代数》课程的讲授为一个学期 ，共72 学时，内容包括第1章到第4章的内容。
《近世代数》是理论性较强的课程，由于教学 时数所限，本课程的理论推证体例较少，因此必须 通过做练习题来加深对概念的理解和掌握，熟悉各 种公式和定理的运用，从而达到消化、掌握所学知 识、体会《近世代数》的思想和方法的目的.由此可知， 独立完成作业是学好本课程的重要手段.
近世代数的习题，因抽象也都有一定的难度， 但习题也是巩固和加深理解不可缺少的环节，因此， 应适当做一些习题，为克服做习题的困难，应注意 教材内容和方法以及习题课内容。
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（中文）近世代数 （英文）Abstract Algebra
教材1：<<近世代数基础>>，张 禾瑞 ，高等教育出版，1978年 修订本。 教材２：<<近世代数>>,徐德余、唐
再良等编著，川大出版社，２００６ 年９月．
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主要参考书
1．B．L．瓦德瓦尔登著：代数学Ⅰ、Ⅱ卷，科 学出版社1964年版
2．N．贾柯勃逊著：抽象代数1、2、3卷，科学 出版社1987年出版
3．刘绍学著：近世代数基础，高等教育出版社 1999年出版
4．石生明著：近世代数初步、高等教育出版社 2002年出版