2020年新教材必修1第一章 1.3 第2课时补 集

第2课时补集

学习目标 1.了解全集的含义及其符号表示.2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集.3.会用Venn图、数轴进行集合的运算．

知识点全集与补集

1．全集

(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．

(2)记法：全集通常记作U.

思考全集一定是实数集R吗？

答案不一定．全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.

2．补集

自然语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁U A

符号语言∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}

图形语言

预习小测自我检验

1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁U A＝______________.

答案{3,4,5}

解析∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，∴∁U A＝{3,4,5}．

2．已知全集U＝R，A＝{x|x<2}，则∁U A＝______.

答案{x|x≥2}

解析∵全集为R，A＝{x|x<2}，∴∁U A＝{x|x≥2}．

3．设全集为U，M＝{1,2}，∁U M＝{3}，则U＝________.

答案{1,2,3}

解析U＝M∪(∁U M)＝{1,2}∪{3}＝{1,2,3}．

4．已知全集U＝R，A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x>0}，则∁U(A∩B)＝________. 答案{x|x≤0或x>2}

解析A∩B＝{x|02}．

一、全集与补集

例1(1)已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∁U B＝{1,4,6}，则集合B＝________. (2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁U A＝________.

答案(1){2,3,5,7}(2){x|x<－3，或x＝5}

解析(1)方法一A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，

∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．

又∁U B＝{1,4,6}，

∴B＝{2,3,5,7}．

方法二借助Venn图，如图所示．

由图可知B＝{2,3,5,7}．

(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，

如图所示．由补集定义可得∁U A＝{x|x<－3，或x＝5}．

反思感悟求集合补集的基本方法及处理技巧

(1)基本方法：定义法．

(2)两种处理技巧：

①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；

②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．

跟踪训练1(1)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，则∁U A等于()

A．{x|0

C．{x|0

答案 C

解析∵U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，

∴∁U A＝{x|0

(2)设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，则(∁U A)∩(∁

B)＝________.

U

答案{x|x是直角三角形}

解析根据三角形的分类可知，∁U A＝{x|x是直角三角形或钝角三角形}，∁U B＝{x|x是直角三角形或锐角三角形}，

所以(∁U A)∩(∁U B)

二、交、并、补的综合运算

例2已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2

B)，∁U(A∪B)．

U

解如图所示．

∵A＝{x|－2

∴∁U A＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，

∁U B＝{x|x<－3，或2

A∩B＝{x|－2

故(∁U A)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，

A∩(∁U B)＝{x|2

∁U(A∪B)＝{x|x<－3，或3≤x≤4}．

反思感悟解决集合交、并、补运算的技巧

(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错．

(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．

跟踪训练2已知全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A＝{2,4,5,8}，B＝{1,3,5,8}，求∁U(A∪B)，∁U(A∩B)，(∁U A)∩(∁U B)，(∁U A)∪(∁U B)．

解方法一∵A∪B＝{1,2,3,4,5,8}，

U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，

∴∁U(A∪B)＝{6,7,9}．

∵A∩B＝{5,8}，

∴∁U(A∩B)＝{1,2,3,4,6,7,9}．

∵∁U A＝{1,3,6,7,9}，∁U B＝{2,4,6,7,9}，

∴(∁U A)∩(∁U B)＝{6,7,9}，

(∁U A)∪(∁U B)＝{1,2,3,4,6,7,9}．

方法二作出Venn图，如图所示，由图形也可以直接观察出来结果．

三、与补集有关的参数的范围问题

例3设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2

解方法一(直接法)：由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，得∁U A＝{x|x<－m}．

因为B＝{x|－2