树德中学高2017级二诊模拟考试数学(理科)试题

2 -x
3
x,
4
1 -= -=
树德中学高 2017 级二诊模拟考试数学（理科）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.总分150 分，考试时间120 分钟.
第Ⅰ卷（选择题共60 分）
一、选择题（本题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.函数f (x)=
1
+ ln (x+1)的定义域为（）
A. (2 , +∞)
B. (-1 , 2)
C. (-1 , 2)
D.
2.复数z =
i
2 -i
（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.已知等差数列{a
n
} 满足:a1 =2 ，公差d ≠ 0 ，且a1, a2 , a5 成等比数列，则d = （）
A．1 B．2 C．3 D．4
4.已知命题p ：x R, 使sin x
1
x 成立．则p 为（）
2
A．x R, 使sin x
C．x R, 使sin x
1
x 成立B．
2
1
x 成立D．
2
sin x
sin x
1
x 均成立
2
1
x 均成立
2
x2 y2
5. C : -=1(a > 0, b> 0) y (5, 0)
已知双曲线a2 b2 的一条渐近线方程为且其右焦点为，
则双曲线C 的方程为（）
A.
x2
-
y2
= B.
x2
-
y2
= 1x2 y2
C.1
x2 y2
D.1
9 16 16 9 3 4 4 3
6.函数f (x)=
x +1
log
x +1 a
x (0 <a <1)的图象的大致形状是( )
7.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（）
A．12 种B．24 种C．36 种D．48 种
8.执行如图所示的程序框图，当输出的S = 2 时，则输入的S 的值为( )
A.-2
B.-1
C.-
1
2
D.
1
2
(2, +∞) 1, 2
x R,
x R,
e 1 n
9. 如图,用一边长为
4π 个蛋巢，将体积为
3
的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一
的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中
心(球心)与蛋巢底面的距离为（ ）
A. 2
2
B.
3 2
C.
2 +1 2
D.
3 + 1 2
10. 设O 为坐标原点, P 是以 F 为焦点的抛物线 y 2
= 4x 上任意一点, M 是线段 PF 上的点，且 PM = MF , 则直线
OM 的斜率的最大值为( )
A ．1
B ． 1
C ．
2 D.
5
2 2
2
11. 下列命题为真命题的个数是（ ）
（其中π , e 为无理数）
① > 3
；
2
②lnπ < 2
；
3
③ ln 3 < 3
.
e
A. 0
B.1
C. 2
D. 3
12. 在锐角∆ABC 中，a ,b , c 分别是角 A , B ,C 所对的边，∆ABC 的面积 S = 2 ，且满足a c os B = b (1+ c os A ) ，
则(c + a - b )(c + b - a ) 的取值范围是（ ）
A. (
8
- 8,8
)
B. (0,8)
C.
⎛ 8 3 - 8
,8 3 ⎫
D. ⎛ 8 3 - 8 ,8⎫
3
⎪
3 ⎪ ⎝
⎭
⎝ ⎭
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.已知向量 AB = (1, 2), AC = (-3,1), 则 AB ⋅ BC = ．
14. 设 f
( x ) , g ( x ) 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且 f ( x ) + g ( x ) = (x +1)2 - 2x +1 ， 则 f (1) - g (1) =
15. 直线l 是圆C 1 : ( x +1)
2
+ y 2 = 1与圆C : ( x + 4)2
+ y 2 = 4 的公切线，并且l 分别与 x 轴正半轴, y 轴正半轴相
交于 A , B 两点，则∆AOB 的面积为
16.已知函数 f ( x ) = e x ( x +1)2
, 令 f ( x ) = f '( x ), f
n +1 ( x ) = f ' (
x )(n ∈ N * )
, 若 f ( x )
= e x
(a x
2
+ b x + c
)
,[m ] 表示不超过实数 m 的最大整数，记数列⎧ 2a n
⎫
的前 n 项和为 S , 则
n
n
n
n
⎨ 2c - b ⎬ n
[3S 2020 ] =
⎩ n n ⎭
2 2
2
n n n ⎝ ⎭
n ∈ N
三、解答題（共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17 21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22,23 题为选考题，考生根据要求作答）
17. 已知数列
{a }的前 n 项和为 S ，且满足2S = n - n 2
( n
∈ N * ). （1）求数列{a n }的通项公式；
⎧2a n , (n = 2k -1) （2）设b = ⎪
2 （ k ∈ N * ），数列{b }的前n 项和T . n ⎨ , (n = 2k ) n
n ⎪(1- a )(1 - a ) ⎩ n n +2
⎛ 1 ⎫
n
1 若T 2n = a 4 ⎪ - + b 对 * 恒成立，求实数a , b 的值. 2n + 2
18. 如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形， AD //BC ，
AB ⊥ AD ， AD = 2AB = 2BC = 2 ， ∆PCD 是正三角形， PC ⊥ AC ， E 是 PA 的中点.
（1） 证明： AC ⊥ BE ；
（2） 求直线 BP 与平面 BDE 所成角的正弦值.
19. 在庆祝澳门回归祖国 20 周年之际，澳门特别行政区政府为了解人们对回归 20 年的幸福指数，随机选择了 100
位市民进行了调查，将他们的年龄（单位：岁）分成 6 段：［20,30），［30,40），［40,50），［50,60），［60,70），［70,80］，并绘制了如图所示的频率分布直方图. （1）现从年龄在［20,30），［30,40），［40,50）范围内的人员中，按分层抽样的方法抽取 8 人，再从这 8 人中随机选取 3 人进行座谈，用ξ 表示年龄在［30,40）范围内的人数，求ξ 的分布列和数学期望； （2）若将．样．本．的．频．率．视．作．概．率．，用随机抽样的方法从该地区抽取 20 名市民进行调查，其中有 k 名市民年龄在［30,50）范围内的概率为
P ( X = k )(k = 0,1, 2, , 20), 当 P ( X = k )最大时，求 k 的值.
MN 5 + 1 ⎩ 2
20. 已知椭圆
x 2 y 2
C : = 1(a ＞b ＞0) 的焦距为2 3 ，斜率为 1 的直线与椭圆交于 A , B 两点，若线段 AB 的中
a 2
b 2
2 点为 D ，且直线OD 的斜率为- .
2
（1） 求椭圆C 的方程；
（2） 若过左焦点 F 斜率为 k 的直线l 与椭圆交于点 M , N , P 为椭圆上一点，且满足OP ⊥ MN ，问：
1 + 1
OP 2
是否为定值？若是，求出此定值，若不是，说明理由.
21. 已知函数 f (x ) = ln x - xe
x
+ ax (a ∈ R ) .
（1） 若函数 f (x ) 在[1, +∞)上单调递减，求实数 a 的取值范围； （2） 若 a = 1，求 f (x ) 的最大值.
22. 选修 4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为
⎧x = 2 + 2cos θ (θ 为参数)，以原点为极点，轴 x 的非负半轴
1
⎨
y = 2sin θ
为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 ρ 2
= 4 .
cos 2a + 4sin 2a
（1） 求曲线C 1 的极．坐．标．方．程．以及曲线C 2 的直．角．坐．标．方．程．；
（2） 若直线l : y = kx 与曲线C 1 、曲线C 2 在第一象限交于 P ,Q 两点，且 OP = 2 OQ ，点 M 的坐标为(2，0) ，
求∆MPQ 的面积.
23. 选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f (x ) = x -1 + x + 2 ，记 f (x ) 的最小值为m .
（1） 解不等式 f (x ) ≤ 5；
（2） 若正实数 a ， b 满足
1 + 1 = ，求证：
2 + 3
a b a 2 b 2
≥ 2m .。