常用逻辑用语典型例题

常用逻辑用语

1．命题及其真假判断

(1)可以判断真假的陈述句为命题、反问句也是命题，但疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．

[例1]下列语句哪些是命题，是命题的判断其真假．

①方程x2－2x＝0的根是自然数；

②sin(α＋β)＝sinα＋sinβ(α，β是任意角)；

③垂直于同一个平面的两个平面平行；

④函数y＝12x＋1是单调增函数；

⑤非典型肺炎是怎样传染的？

⑥奇数的平方仍是奇数；

⑦好人一生平安！

⑧解方程3x＋1＝0；

⑨方程3x＋1＝0只有一个解；

⑩3x＋1＝0.

[解析]①②③④⑥⑨都是命题，其中①④⑥⑨为真命题．

[点评]⑤是疑问句，⑦是感叹句，⑧是祈使句都不是命题，⑩中由于x的值未给，故无法判断此句的真假，因而不是命题．

[误区警示]含有未知数的等式、不等式，当式子成立与否与未知数的值有关时，它不是命题．

(2)复合命题的真假判断是个难点，当直接判断不易着手时，可转为判断它的等价命题——逆否命题，这是一种重要的处理技巧．

[例2]判断命题：“若a＋b≠7，则a≠3，且b≠4”的真假．

[解析]其逆否命题为：“若a＝3或a＝4，则a＋b＝7”．显然这是一个假命题，

∴原命题为假．

2．四种命题的关系

(1)注意：若p，则q，不能写作“p⇒q”，因为前者真假未知，而“p⇒q”是说“若p，则q”是一个真命题．

(2)原命题与其逆否命题等价，原命题的逆命题与原命题的否命题也等价．从而四种命题中有两对同真同假．

(3)互逆或互否的两个命题不等价，其真假没有联系．

[例3]写出下列各命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判定其真假：

(1)∀n∈N，若n是完全平方数，则∈N；

(2)∀a，b∈R，如果a＝b，则a2＝ab；

(3)如果x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；

(4)如果a，b都是奇数，则ab必是奇数．

(5)对于平面向量a，b，c，若a·b＝a·c，则b＝c.

[解析](1)逆命题：∀n∈N，若n∈N，则n是完全平方数．(真)

否命题：∀n∈N，若n不是完全平方数，则n∉N.(真)

逆否命题：∀n∈N，若n∉N，则n不是完全平方数．(真)

(2)逆命题：∀a，b∈R，若a2＝ab，则a＝b.(假)

否命题：∀a，b∈R，若a≠b，则a2≠ab.(假)

逆否命题：∀a，b∈R，若a2≠ab，则a≠b.(真)

(3)逆命题：若(x－3)(x－7)＝0，则x＝3或7.(真)

否命题：若x≠3且x≠7，则(x－3)(x－7)≠0.(真)

逆否命题：若(x－3)(x－7)≠0，则x≠3且x≠7.(真)

(4)逆命题：若ab是奇数，则a、b都是奇数．(假)

否命题：若ab不全是奇数，则ab不是奇数．(假)

逆否命题：若ab不是奇数，则a、b不全是奇数．(真)

(5)逆命题：对于平面向量a、b、c，若b＝c，则a·b＝a·c.(真)

否命题：对于平面向量a、b、c，若a·b≠a·c，则b≠c.(真)

[误区警示]①“p或q”的否定为“綈p且綈q”；“p且q”的否定为“綈p或綈q”．

②实数xy＝0，则有x＝0或y＝0，向量a、b满足a·b＝a·c不能得出b＝c.

3．量词与复合命题

(1)逻辑联结词“且”、“或”、“非”与集合的“交”、“并”、“补”有着密切的联系，借助集合的运算可以帮助对逻辑联结词的理解．

逻辑联结词“且”、“或”还可借助电路的“串联”、“并联”来类比理解，如图．

含有逻辑联结词的复合命题真假判断，要以真值表为标准．

[例4]分析下列命题的构成，并用“∧”、“∨”或“綈”表示出来：

(1)x＋1是x3＋x2－x－1与x3＋1的公因式；

(2)方程x2＝1的解是x＝±1；

(3)点(3,4)不在圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0上；

(4)3≥3.

[例4]分析下列命题的构成，并用“∧”、“∨”或“綈”表示出来：

(1)x＋1是x3＋x2－x－1与x3＋1的公因式；

(2)方程x2＝1的解是x＝±1；

(3)点(3,4)不在圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0上；

(4)3≥3.

[解析](1)p∧q形式，其中p：x＋1是x3＋x2－x－1的因式，q：x＋1是x3＋1的因式．

(2)p∨q形式，其中p：方程x2＝1的一个解是x＝1，q：方程x2＝1的一个解是x＝－1.

(3)綈p形式，其中p：点(3,4)在圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0上．

(4)p∨q形式，其中p：3>3，q：3＝3.

[误区警示]若把方程x2＝1的解是x＝±1，写成简单命题p：x2＝1的解是x＝1，q：x2＝1的解是x＝－1，p∨q形式，就错了，从真值表判断，p，q都是假命题，但原命题为真命题．

[例5]写出下列命题的否定，并判断真假．

(1)p：有些三角形是直角三角形．

(2)p：方程2x＋1＝0有一负实根．

(3)p：三角形的两边之和大于第三边．

(4)p：存在实数q<0，使方程x2＋2x＋q＝0无实根．

[解析](1)綈p：“没有一个三角形是直角三角形”．(假)

(2)綈p：“方程2x＋1＝0无负实根”．(假)

(3)綈p：“存在某个三角形，两边之和小于或等于第三边”．(假)

(4)綈p：“对任意实数q<0，方程x2＋2x＋q＝0都有实数根”．(真)

4．充要条件

(1)若“p⇒q”，则p是q的充分条件，q是p的必要条件，即：有了p成立，则一定有