初一数学行程问题

行程问题、相遇问题和追及问题的解题技巧

一、行程问题、相遇问题和追及问题的核心公式：

行程问题最核心的公式“速度=路程÷时间”。

由此可以演变为相遇问题和追及问题。其中：

相遇时间=相遇距离÷速度和，

追及时间=追及距离÷速度差。

速度和=快速+慢速速度差=快速-慢速

二、相遇距离、追及距离、速度和（差）及相遇（追及）时间的确定

第一：相遇时间和追及时间是指甲乙在完成相遇（追及）任务时共同走的时间。

第二：在甲乙同时走时，它们之间的距离才是相遇距离（追及距离）分为：

相遇距离——甲与乙在相同时间内走的距离之和；S=S1+S2

甲︳→ S1 →∣← S2 ←︳乙

A C B

追及距离——甲与乙在相同时间内走的距离之差

甲︳→ S1 ←∣乙→ S2 ︳

A B C

在相同时间内S甲=AC ， S乙=BC 距离差 AB =S甲- S乙

第三：在甲乙同时走之前，不管是甲乙谁先走，走的方向如何？走的距离是多少？都不影响相遇时间和追及时间，只是引起相遇距离和追及距离的变化，具体变化都应视情况从开始相距的距离中加减。简单的有以下几种情况：

三、例题：（一）相遇问题

（1）A、B两地相距1000千米，甲车从A地开出，每小时行120千米，乙车从B地开出，每小时走80千米。若两车从A、B两地同时开出，相向而行，T小时相遇，

则可列方程为 T =1000/（120+80）。

甲︳→ S1 →∣← S2 ←︳乙

A C B

解析一：

①此题为相遇问题；

②甲乙共同走的时间为T小时；

③甲乙在同时走时相距1000千米，也就是说甲乙相遇的距离为1000千米；

④利用公式：相遇时间=相遇距离÷速度和根据等量关系列等式 T =1000/（120+80）

解析二：

甲乙相距的距离是由甲乙在相同的时间内共同走完的。相距的距离=甲车走的距离+乙车走的距离

根据等量关系列等式 1000=120*T+80*T

（2）A、B两地相距1000千米，甲车从A地开出，每小时行120千米，乙车从B地开出，每小时走80千米。若甲车先从A地向B开出30分钟后，甲乙两车再相向而行，T小时相遇，

则可列方程为1000-120*30/60=（120+80）*T

甲︳→ S1 →∣→︳←︳乙

A C D B

解析一：

①此题为相遇问题；

②甲乙共同走的时间为T小时；

③由于甲车先向乙走30分钟，使甲乙间的实际距离变短，甲乙在同时走时实际相距（1000-120*30/60）千米，也就是说甲乙相遇的距离实为940千米；

④利用公式：相遇时间=相遇距离÷速度和

根据等量关系列等式 T=（1000-120*30/60）/（120+80）

解析二：

甲车先走20分钟到C点，这时甲乙两车实际相距距离CB为（1000-120*30/60）千米，CB 间的距离是由甲乙在相同的时间内共同走完的。相遇距离=（开始两车相距的距离-甲车先走的距离），相遇距离=（甲车的速度+乙车的速度）*T

（1000-120*30/60）=（120+80）*T

（3）A、B两地相距1000千米，甲车从A地开出，每小时行120千米，乙车从B地开出，每小时走80千米。若乙车先从B地向A开出20分钟后，甲乙两车再相向而行，T小时相遇，则可列方程为1000-120*20/60=（120+80）*T

甲︳→∣相遇←乙︳→乙先走←︳乙

A D C B

5

解析一：

①此题为相遇问题；

②甲乙共同走的时间为T小时；

③甲乙在同时走时相距AC（1000-120*20/60）千米，也就是说甲乙相遇的距离实为960千米；

④利用公式：相遇时间=相遇距离÷速度和

根据等量关系列等式 T=（1000-120*20/60）/（120+80）

（4）A、B两地相距1000千米，甲车从A地开出，每小时行120千米，乙车从B地开出，每小时走80千米。若甲车先从A地背向B开出10分钟后到C（或乙车先从B地背向A开出10分钟后到D），甲乙两车再相向而行，T小时相遇，则可列方程为

T=（1000+120*10/60）/（120+80）

︳←︳甲乙︳︳

C A B D

解析一：

①此题为相遇问题；

②甲乙共同走的时间为T小时；

③由于甲车先背向乙走了10分钟，使甲乙间的实际距离变长，甲乙在同时向相而行时实际相距（1000+120*10/60）千米，也就是说甲乙相遇的距离实为1020千米；

④利用公式：相遇时间=相遇距离÷速度和

根据等量关系列等式T=（1000+120*10/60）/（120+80）

解析二：

乙车先背向甲而行同甲

5）A、B两地相距1000千米，甲车从A地开出，每小时行120千米，乙车从B地开出，每小时走80千米。若甲车先从A背向乙走10分钟到C，乙车也从B背向甲走30分钟到D 后，甲乙两车再相向而行，T小时相遇，

则可列方程为T=（1000+120*10/60+80*30/60）/（120+80）

︳←︳甲乙︳→︳

C A B D

解析一

①此题为相遇问题；

②甲乙共同走的时间为T小时；

③由于甲乙两车先分别背向而行走了10分钟和30分钟，使甲乙间的实际距离变长，甲乙在同时走时实际相距

（1000+120*10/60+80*30/60）千米，也就是说甲乙相遇的距离实为CD=1060千米；

④利用公式：相遇时间=相遇距离÷速度和根据等量关系列等式

T=（1000+120*10/60+80*30/60）/（120+80）

归纳总结：不管甲乙两车在同时走之前谁先行（或同时行），只要是相向而行，就会造成实际相遇距离变短，在确定相遇距离时，需用原始相距距离减去某车先行距离；

只要是相背而行，就会造成实际相遇距离变长，在确定相遇距离时，需用原始相距距离加上某车先行距离；

二）追及问题

（1）A、B两地相距1000千米，甲车从A地开出，每小时行120千米，乙车从B地开出，每小时走80千米。若甲乙两车同时开出，同向而行，甲（快车）在乙（慢车）后面，T小时后快车追上乙车，可列方程为 T=1000/（120-80）

解析一：

甲︳→ S1 ∣乙→︳

A B C

①此题为追及问题；

②甲乙共同走的时间为T小时；

③在甲乙同时走时相距1000千米，也就是说甲乙追及的距离为1000千米；

④利用公式：追及时间=追及距离÷速度差。根据等量关系列等式T=1000/（120-80）

解析二：

①甲乙在同时出发前相距1000千米为甲追上乙多走的距离，应确定为追及距离

②②甲每小时比乙多走了（120-80）千米，

③求追及时间，实际上是求1000千米中有T个（120-80）

（2）若甲乙两车同时从A地出发，甲车的速度为每小时行120千米，乙车的速度为每小时走80千米。乙（慢车）在（甲）快车后面，同向而行，T小时后甲与乙相距900千米，则可列方程为 T=900/（120-80）

解析一：

①此题为追及问题；

②甲乙共同走的时间为T小时；

③由于甲乙速度不同，造成甲乙经T小时后相距900千米，也就是说甲乙追及的距离为900千米；

③利用公式：追及时间=追及距离÷速度差。

④利用公式：追及时间=追及距离÷速度差。根据等量关系列等式T=900/（120-80）

（3）若甲乙两车在长方形的跑道上同时从A地同向而行，甲车的速度为每小时行120千米，乙车的速度为每小时走80千米。已知长方形跑道的周长为500千米，T小时后甲与乙相遇，则可列方程为T=500/（120-80）

解析一：Array①此题为追及问题；

②甲乙共同走的时间为T小时；