材料力学内力图绘制详解

一、由外力直接绘制轴力图

例 如图(a)所示为一绳子受力图，右端固定，试绘制该绳的轴力图。

解 根据外力直接绘制轴力图（见图(b)），绘图分析过程及步骤如下。

从左向右绘制，始终取右边部分为研究体。在截面A 有集中力F 1，使研究体拉伸变形，故轴力在此截面向正方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 1大小，此时 F N =（0+500）N=500 N ；在AB 段没有外力，故轴力不变；在截面B 有集中力F 2，使研究体受拉伸变形，故轴力在此截面向正方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 2大小,此时F N =（500+420）

（b ）

(a)

N=920 N；在BC段没有外力，故轴力不变；在截面C有集中力F3，使研究体受压缩变形，故轴力在此截面向负方向发生突变，轴力突变大小为集中力F3大小，此时F N=(920-280)N=640 N；在CD段没有外力，故轴力不变；在截面D有集中力F4，使研究体受压缩变形，故轴力在此截面向负方向发生突变，轴力突变大小为集中力F4大小，此时F N=(640-800)N=-160 N；在DE 段没有外力，故轴力不变；在截面E有集中力，由于轴力曲线与轴线围成封闭图形，故轴力突变为0。

例有一根阶梯轴受力如图(a)所示，试绘制阶梯轴的轴力图。

图

解从右向左绘制，始终取左变部分为研究体。根据外力直接绘制轴力图（见图(b)），绘图分析过程及步骤如下：

在截面A有集中力F1，使研究体压缩变形，故轴力在此截面向负方向发生突变，轴力突变大小为集中力F1大小,此时F N=（0-10）kN=-10 kN；在AB段有均匀分布载荷，使研究体受拉伸变形，故轴力以斜直线规律向正方向渐变，轴力渐变大小为均匀分布载荷大小，此时F N=（-10+10×2）kN=10 kN；在截面B没有力，故此截面轴力没有变化；在BC段没有外力，故轴力不变；在截面C有集中力F2，使研究体受拉伸变形，故轴力在此截面向正方向发生突变，轴力突变大小为集中力F2大小，此时F N=（10+10）kN=20 kN；在CD段没有外力，故轴力不变；在截面D有集中力，由于轴力曲线与轴线围成封闭图形，故轴力突变为0.

二、由外力直接绘制扭矩图

例如图（a）所示圆轴，左端固定、右端自由，受到三个集中力偶作用，试绘制其内力图。

图

解 从右向左绘制，始终取左部分为研究体。根据外力偶直接绘制扭矩图，绘制分析过程及步骤如下：

在截面A 有集中力偶M 1，变形方向由右手螺旋法则判断，拇指背离截面，故扭矩在此截面向正方向发生突变，扭矩突变大小为集中力偶M 1大小，此时m kN 1)10(•=+=x M ；在AB 段无外载荷，故扭矩不变；在截面B 有集中力偶M 2，变形方向由右手螺旋法则判断，拇指指向截面，故扭矩在此截面向负方向发生突变，扭矩突变大小为集中力偶M 2大小此时 M x =1-2=-1m kN •；在BC 段无外载荷，故扭矩不变；在截面C 有集中力偶M 3，变形方向由右手螺旋法则判断，拇指背离截面，故扭矩在此截面向正方向发生突变，扭矩突变大小为集中力偶M 3大小m kN 2)31(•=+-=x M ；在CD 段有无外载荷，故扭矩不变；在截面D 有集中力，由于扭矩曲线与轴线围成封闭图形，故扭矩突变为零。扭矩图如图（b ）所示。

三、由外力直接绘制剪力图和弯矩图

剪力、弯矩与分布载荷间的关系

载荷 F e 图

M 图

无外力

不变

F Q =0，M 不变；F Q ≠0，M 以斜直线变化，从起始点到终点，大小

为F Q 与x 轴围成的面积，变化方向

F Q 为正，向正向渐变，否则向负

例 如图(a)所示，简支梁AB ，在C 点承受集中载荷F =6 kN 作用,跨度l =3 m ，m 2 a ，试绘制梁的内力图。

解 （1）求支座反力。取整段梁为研究对象，受力分析如图(b)，由平衡条件得

0)(A =∑F M ⇒0B =⋅-⋅a F l F

解得

kN 4B =F

0=∑y F ⇒0B A =-+F F F

解得

kN 2A =F

（2）由外力直接绘制内力图。

从A 截面开始，有一向上的集中力F A ，故在此截面剪力向上突变，突变大小等于F A ,弯矩没有变化；AC 段没有外力，故剪力在该段没有变化，由于剪力大于零，故在该段弯矩以斜直线规律向正向变化，从截面A 到截面C 弯矩变化大小为AC 段剪力与x 轴围成的面积即

m kN 4A •=•a F ；在截面C 有一向下的集中载荷F ，故在此截面剪力向下突变F ，弯矩没

有变化；在CB 段没有外力，故剪力在该段没有变化，由剪力小于零，则该段弯矩以斜直线规律向负向变化，从截面C 到截面B 弯矩变化大小为CB 段剪力与x 轴围成的面积即

m kN 4)(B •=-•a l F 变为0。

例 如图(a)所示外伸梁，试计算其内力并画出内力图。

图

解 （1）先求支座反力。取整段梁研究，其受力如图(a)，由平衡条件得

∑=-⋅+⋅⇒=020)(2

A B AB q AB F BC F F M

∑=⋅--+⇒=00B A y

AB q F F F F

解得

kN 35,kN 15B A ==F F

（2）由外力直接绘制内力图。

从截面A 开始，有一向上的集中力F A ，故在此截面剪力向上突变，突变大小等于F A ,弯矩没有变化；AB 段有向下的均布力系，故剪力在该段以斜直线规律向下渐渐变化，从截面A 到截面B 剪力值变化q AB ⋅，弯矩以开口向上的抛物线规律渐渐变化，在剪力为零的截面D 弯

矩为极值，从截面A 到截面D 变化值为小三角形面积

m kN 625.52

251515

215•=+⨯

⨯，从截面D 到截面B 变化大三角形面积

m kN 625.152

251525

225•=+⨯

⨯；在截面B 有一向上的集中力F B ，故在该截面剪力向上突变，突变大小等于F B 的大小，弯矩没有变化；BC 段没有外力，故剪力在该段没有变化，由于剪力大于零，故该段弯矩以斜直线规律向正向变化，从截面C 到截面B 弯矩变化大小为BC 段剪力与x 轴围成的面积。所绘内力图如图(b)、(c)所示。 （3）检查图形是否封闭。

例 如图(a)所示外伸梁，集中力F =10 kN ，均布载荷集度q =10 kN/m ，试利用剪力、弯矩与载荷集度的微分关系绘制出梁的剪力图、弯矩图。