奥数-排列组合讲义-第二讲

排列与组合

经典精讲

1.排列的定义:从n 个不同元素中,任取m 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.

2.组合的定义:从n 个不同元素中,任取m 个元素,并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.

3.排列数公式:

4.组合数公式:

5.组合数的两个性质

m n n m n C C -= 规定：10=n C

11-++=m n

m n m n C C C 排列与组合的区别与联系:与顺序有关的为排列问题,与顺序无关的为组合问题.

例1. 从分别写有1、3、5、7、9的五张卡片中任取两张，作成一道两个一位数的乘法

题，问：

①有多少个不同的乘积？

②有多少个不同的乘法算式？

解： ①要考虑有多少个不同乘积.由于只要从5张卡片中取两张，就可以得到一个乘积，因为乘法的交换率，有多少个乘积只与所取的卡片有关，而与卡片取出的顺序无关，所以这是一个组合问题.

由组合数公式得到，共有 个不同的乘积.

②要考虑有多少个不同的乘法算式，它不仅与两张卡片上的数字有关，而且与取到两张卡片的顺序有关，所以这是一个排列问题.

由排列数公式，共有P 25＝ 5×4＝20种不同的乘法算式.

点评：看准是排列还是组合，剩下的就是简单计算了。

例2. 如下图，问：①下左图中，共有多少条线段？②下右图中，共有多少个角？ )!

(!)

1()2)(1(m n n m n n n n A m n -=+---=L )!(!!!)

1()2)(1(m n m n m m n n n n A A C m m m n m n -=+---==L

解：①在线段AB上共有7个点（包括端点A、B）.注意到，只要在这七个点中选出两个点，就有一条以这两个点为端点的线段，而与选这两个端点的顺序无关，所以，这是一个组合问题

由组合数公式知，共有

条不同的线段；

②从O点出发的射线一共有11条，它们是OA， OP1，OP2，OP3，…，OP9，OB.注意到每两条射线可以形成一个角，所以，只要看从11条射线中取两条射线有多少种取法，就有多少个角.显然，是组合问题，共有C211种不同的取法，所以，可组成C211个角.

由组合数公式知，共有

点评：在几何计数当中也用到了很多排列组合的方法。

此题可拓展常用的数线段，数三角形，数正方形、数长方形的公式和方法

例3. 国家举行足球赛，共15个队参加.比赛时，先分成两个组，第一组8个队，第二组7个队.各组都进行单循环赛（即每个队要同本组的其他各队比赛一场）.然后再由各组的前两名共4个队进行单循环赛，决出冠亚军.问：①共需比赛多少场？②如果实行主客场制（即A、B两个队比赛时，既要在A队所在的城市比赛一场，也要在B队所在的城市比赛一场），共需比赛多少场？

解：①实行单循环赛，比赛的所有场次包括三类：第一组中比赛的场次，第二组中比赛的场次，决赛时比赛的场次.总的场次计算要用加法原理。

第一组中8个队，每两队比赛一场，8个队里边选2两个队，是组合问题，所以共比赛C28场；第二组中7个队，每两队比赛一场，所以共比赛C27场；决赛中4个队，每两队比赛一场，所以共比赛C24场.

实行单循环赛共比赛

②由于是实行主客场制，每两个队之间要比赛两场，比赛场次是①中的2倍.

另外，还可以用排列的知识来解决.由于主客场制不仅与参赛的队有关，而且与比赛所在的城市（即与顺序）有关.所以，第一组共比赛P28场，第二组共比赛P27场，决赛时共比赛P24场.

实行主客场制，共需比赛2×（C28＋C27＋C24）＝110（场）.

或解为：P28＋P27＋P24＝8×7＋7×6＋4×3＝56＋42＋12＝110（场）.

例4. 某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营，问共有多少种选法？如果在42

人中选3人站成一排，有多少种站法？

提示1：首先根据不同情况分清楚看是用排列还是组合，然后再根据排列组合公式进行求解。

提示2。要在42人中选3人去参加夏令营，那么，所有的选法只与选出的同学有关，而

与三名同学被选出的顺序无关.所以，共有C 343种不同的选法. 要在42人中选出3人站成

一排，那么，所有的站法不仅与选出的同学有关，而且与三名同学被选出的顺序有关.所以，

共有P 342种不同的站法.

提示3。

由组合数公式，共有

种不同的选法

由排列数公式，共有P 342＝42×41×40＝68880种不同的站法.

例5. 从8人的数学兴趣小组中选2个

（1）分别担任正副组长，有多少种不同的选法？

（2）共同参加一次数学竞赛，有多少种不同的选法？

提示1：：注意分清排列问题和组合问题

提示2：（1）选出正副组长，有正副之分，也就是从8人中选2人后，要进一步确认正副组长，因此是个排列问题

（2）题选人参加数学竞赛没有顺序，因此是个组合问题。

提示3：（1）利用排列公式，共有28A =8×7=56种选法。

（2）利用组合公式，共有28C =8721

⨯⨯=28种选法。

例6. 在一个圆周上有10个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同

的：

（1）直线段

（2）三角形

（3）四边形？

提示1：首先观察是组合问题还是排列问题，那就要看你取的点是否与顺序有关？ 提示2：很明显，你要画的三个图形都与取出点的顺序无关，所以三个问题都应该是组合问题。由于10个点都在圆周上，因此任意三点都不共线，故只要在10个点中任取2点，就可画出一条线段；在10个点中任取3个点，就可画出一个三角形；在10个点中任取4个点就可画出一个四边形。

提示3：由组合数公式：

（1）2

101094521

C ⨯==⨯，可画出45条线段； （2）3101098120321C ⨯⨯==⨯⨯，可画120个三角形；