高斯小学奥数四年级上册含答案第01讲_整数计算综合
四年级高思奥数之计数综合一含答案
第22讲计数综合一内容概述巩固以前学过的各种方法，综合运用分类与分步思想、排列与组合公式及枚举法来解决较复杂的计数问题；学会使用排阵法、捆绑法、插空法解决排队问题．典型问题兴趣篇1．现有面值1元的钞票3张，面值5元的钞票1张，面值10元的钞票2张．如果从中取出一些钞票(至少取1张)，可能凑出多少种不同的总钱数?2．一本书从第1页开始编排页码，到最后一页结束时共用了1983个数码．这本书共有多少页?3．费叔叔带着小悦、冬冬、阿奇一起到圆明园游玩．他们四人站成一排照相，其中费叔叔要站在最左边或者最右边，一共有多少种不同的站法?4．有13个球队参加篮球比赛．比赛分两个组，第一组7个队，第二组6个队．各组内先进行单循环赛(即每队都要与本组中其他各队比赛一场)，然后由两组的第1名再比赛一场决定冠亚军．请问：一共需要比赛多少场?5．从5瓶不同的纯净水，2瓶不同的可乐和6瓶不同的果汁中，拿出2瓶不同类型的饮料，共有多少种不同的选法?6．从4台不同型号的等离子电视和5台不同型号的液晶电视中任意取出3台，其中等离子电视与液晶电视至少要各有1台，共有多少种不同的取法?7．从1至9中取出7个不同的数，要求它们的和是36，共有多少种不同的取法?8．用0、1、2、3、4这五个数字可以组成多少个没有重复数字的五位数?9．用两个1、一个2、一个3、一个4可以组成多少个不同的五位数?10．在所有不超过1000的自然数中，数字9一共出现了多少次?拓展篇1．把自然数1至2008依次写成一排，得到一个多位数12345678910111213…0620072008．请问：(1)这个多位数一共有多少位?(2)从左向右数，这个多位数的第2008个数字是多少?2．商场里举行抽奖活动，在一个大箱子里放着9个球．其中红色的、黄色的和绿色的球各有3个，而且每种颜色的球都分别标有1、2、3号．顾客从箱子里摸出3个球，如果3个球的颜色全相同或者各不相同，就可以中奖．已知这两种中奖方式分别被设定为一等奖和二等奖，并且一等奖比二等奖少．问：到底哪种中奖方式是一等奖，哪种是二等奖呢?3．工厂某日生产的10件产品中有2件次品，从这10件产品中任意抽出3件进行检查，问：(1)一共有多少种不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种?(3)抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种?4．如图22-1，在半圆弧及其直径上共有9个点，以这些点为顶点可画出多少个三角形?5．6名学生和4名老师分成红、蓝两队拔河，要求每个队都是3名学生和2名老师，一共有多少种分队的方法?6．10个人围成一圈，从中选出3个人．要求这3个人中恰有2人相邻，一共有多少种不同选法?7．用0、1、2、3、4、5这六个数字可以组成多少个没有重复数字的四位数?其中偶数有多少个?8．用l、2、3、4这四个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数?这些三位数的和是多少?9．用两个1、两个2、两个3可以组成多少个不同的六位数?10．5名同学站成一排，在下列不同的要求下，请分别求出有多少种站法：(1)5个人站成一排；(2)5个人站成一排，小强必须站在中间；(3)5个人站成一排，小强、大强必须有一人站在中间；(4)5个人站成一排，小强、大强必须站在两边；(5)5个人站成一排，小强、大强都没有站在边上．11．6名小朋友A、B、C、D、E、F站成一排．若A，B两人必须相邻，一共有多少种不同的站法?若A、B两人不能相邻，一共有多少种不同的站法?12．学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生．某次比赛后他们站成一排照相，请问：(1)如果要求男生不能相邻，一共有多少种不同的站法?(2)如果要求女生都站在一起，一共有多少种不同的站法?超越篇1．有6种不同颜色的小球，请问：(1)如果每种颜色的球都只有1个，从这些球中取出3个排成一列，共有多少种方法?(2)如果每种颜色的球都只有1个，从这些球中取出3个装到袋中，共有多少种方法?(3)如果每种颜色的球的数量都足够多，从这些球中取出3个排成一列，共有多少种方法?(4)如果每种颜色的球的数量都足够多，从这些球中取出3个装到袋中，共有多少种方法?2．有一些四位数的4个数字分别是2个不同的奇数和2个不同的偶数，而且不含有数字0．这样的四位数有几个?3．用l、2、3、4这四个数字组成四位数，至多允许有1个数字重复两次．例如1234、1233和2414是满足条件的，而1212、3334和3333都不满足条件．请问：一共能组成多少个满足条件的四位数?4．四年级三班举行六一儿童节联欢活动．整个活动由2个舞蹈、2个演唱和3个小品组成．请问：(1)如果要求同类型的节目连续演出，那么共有多少种不同的出场顺序?(2)如果第一个和最后一个节目不能是小品，那么共有多少种不同的出场顺序?5．在一次合唱比赛中，有身高互不相同的8个人要站成两排，每排4个人，且前后对齐．而且第二排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住．一共有多少种不同的排队方法?6．有9张同样大小的圆形纸片．其中标有数字“1”的纸片有1张；标有数字“2”的纸片有2张；标有数字“3”的纸片有3张；标有数字“4”的纸片也有3张．把这9张圆形纸片如图22-2所示放置在一起，要求标有相同数字的纸片不许靠在一起．请问：(1)如果在M处放置标有数字“3”的纸片，一共有多少种不同的放置方法?(2)如果在M处放置标有数字“2”的纸片，一共有多少种不同的放置方法?7．从三个0、四个1、五个2中挑选出五个数字，能组成多少个不同的五位数?8．8个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间(不一定相邻)，小慧和大智不能相邻，小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种?第22讲 计数综合一内容概述巩固以前学过的各种方法，综合运用分类与分步思想、排列与组合公式及枚举法来解决较复杂的计数问题；学会使用排阵法、捆绑法、插空法解决排队问题．典型问题兴趣篇1．现有面值1元的钞票3张，面值5元的钞票1张，面值10元的钞票2张．如果从中取出一些钞票(至少取1张)，可能凑出多少种不同的总钱数?答案：23种分析 ：根据题意，钱数的可能范围为1-28元，其中4元，9元，14元，19元，24元是不可能出现的。
四年级上学期数学新思维-高斯求和
四年级上学期数学新思维〔3〕----高斯求和〔一〕情景导入：德国著名数学家高斯，被誉为〞数学王子〞。
在他童年时代，他就显露出聪明的才智。
有一天教师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋…＋100＝？当全班同学都在埋头计算时，10岁的小高斯已经计算出了答案。
你知道高斯是怎样计算出来的吗？高斯是这样计算的：1 ＋2＋3＋…＋98+99+100100＋99＋98＋…＋3 + 2+ 1把上下两个数对应相加，结果上下两个对应的数的和相等，就转化为求100个101的和了。
因为求的是一个：1 ＋2＋3＋…＋98+99+100的和，所以再除以2.具有什么特点的数，可以用这种方法求它们的和呢？不妨自己举几个数来研究一下。
当相邻两个数的差相等的时候，才能保证上下两个数的和相等，才可以转化为乘法来进展计算。
我们把相邻两个数的差相等的数排成一列，就叫做等差数列。
求1＋2＋3＋…＋98+99+100也就是求等差数列：1，2，3，……99，100的和。
下面我们就来研究等差数列的特点：〔1〕2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.〔2〕1，3，5，7，9，11，13.〔3〕2，4，6，8，10.12，14.〔4〕1，4，7，10，13，16，19.〔5〕2，6，10，14，18，22，26.末项:第2项=第1项+公差第3项=第1项+2个公差第4项=第1项+3个公差………末项=首项+〔项数-1〕×公差项数:(末项-首项)÷公差+1【例1】计算：1﹢2﹢3﹢4﹢…﹢19﹢20解：1﹢2﹢3﹢4﹢…﹢19﹢20=〔1+20〕×20÷2=210【例2】计算：4﹢7﹢10﹢13﹢…﹢28﹢31解：4﹢7﹢10﹢13﹢…﹢28﹢31项数：〔31-4〕÷3+1=104﹢7﹢10﹢13﹢…﹢28﹢31=〔4+31〕×10÷2=175【例3】计算：1456－1－3－5－7－…－37－39 计算：1+3+5+7+…+37+39的时候，项数是多少？解：1456－1－3－5－7－…－37－39=1456-〔1+3+5+7+…+37+39〕=1456-〔1+39〕×20÷2=1456-4001056【例4】计算：3﹢7﹢11﹢15﹢…〔共有20项〕末项=3+19×4 3＋〔20－1〕×4=79 ＝3＋19×4＝79解：3﹢7﹢11﹢15﹢…〔共有20项〕=〔3﹢79〕×20÷2=820【例5】计算：200－199﹢198－197﹢196－195﹢…－3﹢2－1解：200－199﹢198－197﹢196－195﹢…－3﹢2－1=〔200－199〕﹢〔198－197〕﹢(196－195)﹢…+(4－3)﹢〔2－1〕=1×100=100。
四年级奥数高斯求和问题
四年级奥数高斯求和问题(总5页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-小学奥数专题——高斯求和德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1和=（首项+末项）×项数÷2。
例1、1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
四年级奥数《高斯求和》答案及解析
高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
]例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
小学四年级奥数教程——第一讲整理版
练一练：
⑴计算3＋7＋11 ＋ „＋43＋47的和 解：（47－3)÷4＋1 ＝44÷4＋1 ＝11＋1 ＝12 3＋7＋11 ＋ „＋43＋47 ＝(3＋47)×12÷2 ＝50×12÷2 ＝600÷2 ＝300
练一练：
⑵计算5＋10＋15 ＋ „＋90＋95＋100的和 解：（100－5)÷5＋1 ＝95÷5＋1 ＝19＋1 ＝20 5＋10＋15 ＋ „＋90＋95＋100 ＝(5＋100)×20÷2 ＝105×20÷2 ＝2100÷2 ＝1050
练一练：
⑴100以内所有加5后是6的倍数的数的和是多少？
分析：100以内“加5后是6的倍数的数”，换一个说法，也就是“被 6除余1的数。 在这些数中最小的是1，最大的是91，而且相邻两数都相差6。 即这些数依次是1、7、13、„91。显然，它们成等差数列，所以 可以利用等差数列求和的公式来求和。首项是1，末项是91，公差 是6 。 解：项数＝（91－1）÷6＋1 ＝90÷6＋1 ＝15＋1 ＝16 总和＝（1＋91）×16÷2 ＝92×16÷2 ＝736
练一练：
⑵1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋„＋58＋59－60 分析：计算这道题，可以变减为加，整体推算。其中，减数均 为3的倍数，共有60÷3＝20（个） 1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋„＋58＋59－60 ＝（1＋60）×60÷2－（3＋60）×20÷2×2 ＝61×60÷2－63×20÷2×2 ＝1830－1260 ＝570
例2：求5＋8＋11＋14＋„＋29＋32的和
分析：这是一个公差为3、首项为5、末项为32 的等差数列。如果按等差数列求和的公式计算，还 必须先找出项数。根据项数＝（末项－首项）÷公 差＋1，这个等差数列的项数是（32－5）÷3＋1 ＝10。
四年级高思奥数之整数计算综合含答案
第1讲整数计算综合内容概述熟练运用已学的各种方法解决复杂的整数四则运算问题；学会利用加减抵消、分组计算方法处理各种数列的计算问题。
学会处理“定义新运算”的问题，初步体会用字母表示数。
典型问题兴趣篇1. 计算：(1) 121×32÷8; (2) 4×(250÷8) (3) 25×83×32×1252. 计算：(1) 56×22+56×33+56×44 (2) 222×33+889×66.3. 计算：(1) 37×47+36×53 (2) 123×76－124×75。
4. 计算：100－99+98－97+96－95+…+12－11+10.5. 计算：50+49－48－47+46+45－44－43+…－4－3+2+1.6. 计算：(1+3+5+7+…+199+201) －(2+4+6+8+…+198+200).7. 计算：1+2+3+4+…+48+49+50+49+48+…+4+3+2+1.8. 下面是一个叫做“七上八下”的数字游戏。
游戏规则是：对一个给定的数，按照由若干个7和8组成的口令进行一连串的变换。
口令“7”是指在这个数中插入一个数字，使得新生成的数尽量大；口令“8”是指将这个数中的一个数字去掉，也要使新生成的数尽量大。
例如：给出的数是1995，口令是“8→7，”在第一个口令“8”发出后变成995，在第二个口令“7”发出后变成9995。
如果给出数“6595”以及口令“8→7→8→7→8→8”，问：变换后依次得到的6个数的和是多少？9. 规定运算“∇”为：a∇b= (a+1) ×(b－1), 请计算：(1)8∇10; (2) 10∇8.10. 规定运算“☺”为：a☺b=a×b－(a+b), 请计算：(1) 5☺8; (2) 8☺5; (3) (6☺5)4; (4)6☺ (54)拓展篇1. 计算：(1)72×27×88÷(9×11×12); (2) 31×121－88×125÷(1000÷121).2. 计算：(1) 555×445－556×444; (2) 42×137－80÷15+58×138－70÷15.3. 计算：20092009×2009－20092008×2008－20092008.4. 计算：1+2－3+4+5－6+7+8－9+……+97+98－99.5. 计算：100×99－99×98－98×97－97×96－96×95－95×94+…+4×3－3×2－2×1.6. 在不大于1000的自然数中，A 为所有个位数字为8的数之和，B 为所有个位数字为3的数之和. A 与B 的差是多少？7. 求图1-1中所有数的和.8. 已知平方差公式：22()()a b a b a b -=+⨯-，计算： 2222222220191817161521-+-+-++-9. 计算：951×949－52×48.10. 规定运算“Θ”为：a Θb=a+2b －2, 计算：(1) (8Θ7) Θ6;(2) 8Θ(7Θ6)11. 规定运算“”为：a b=(a+1) ×(b －2). 如果6 (5)=91, 那么方格内应该填入什么数？12. 规定：符号“∆”为选择两数中较大的数的运算，“∇”为选择两数中较小的数的运算，例如：3∆5=5，3∇5=3请计算：1∆2∆3∇4∆5∆6∇7∆…∇100.（运算的顺序是从左至右）超越篇1. 观察下面算式的规律：2000+1991－1988－1982+1976+1970－1964－1958+1952+1946－1940－1934+……一直这样写下去，那么最后4个自然数分别是哪4个？符号分别是加还是减？算式最终的结果为多少？2. 从1, 2, ……, 9, 10 中任意选取一个奇数和一个偶数，并将两数相乘，可以得到一个乘积，把所有这样的乘积全部加起来，总和是多少？3. 计算：1－3+6－10+15－21+28－ (4950)4. 已知平方差公式：22()()a b a b a b -=+⨯-, 计算： 222222222222100999897969594934321+--++--+++--5. a Θb 表示从a 开始依次增加的b 个连续自然数的和，例如：4Θ3=4+5+6=15, 5Θ4=5+6+7+8=26, 请计算：(1) 4Θ15 (2) 在算式（Θ7）Θ11=1056中，方框里的数应该是多少？6. 定义两种运算：a Ωb=a －b+1, a ∀b=a ×b+1, 用“Ω”、“∀”和括号填入下面的式子，使得等式成立（不能用别的计算符号）：7 3 4 5=27.现定义四种操作的规则如下：①“一分为二”：如果一个自然数是偶数，就把它除以2；如果是奇数，就先加上1， 然后除以2. 例如从16可以得到8，从27可以得到14.②“丢三落四”：如果一个自然数中包含数字 “3”或“4”，就将其划掉，例如从5304可以得到50，从408可以得到8. （不含数字3和4的自然数不能进行“丢三落四”操作） ③“七上八下”：如果一个自然数中包含数字“7”，就将所有“7”移到最左边；如果一个自然数中包含数字“8”，就将所有“8”移到最右边。
四年级奥数整数计算综合
整数计算是数学学科的基础内容之一，是学生数学能力的重要组成部分。
在四年级的奥数中，整数计算题目往往是综合性的，包括加法、减法、乘法和除法等运算，并且常常涉及到多步运算和应用问题。
下面我将列举一些常见的整数计算综合题目，并给出详细解答。
例题一：计算题小明骑着自行车从家里出发，先向东骑200米，然后向西骑300米，再向南骑400米，最后向北骑500米，小明最后停在哪里？解答：我们可以用坐标系来解答这个题目。
在北方是向上，南方是向下，东方是向右，西方是向左，这样我们可以假设小明的初始位置是原点(0,0)，向东骑行200米即向右移动200个单位，所以位置变为(200,0)，然后向西骑行300米即向左移动300个单位，所以位置变为(200-300,0)=(－100,0)，再向南骑行400米，所以位置变为(－100,0-400)=(－100,－400)，最后向北骑行500米，所以位置变为(－100,－400+500)=(－100,100)。
所以小明最后停在坐标为(-100,100)的位置。
例题二：综合应用题超市在一天内进行了货物的进销存计算，结果如下：上午9：00时存货50件，销售了80件，下午14：00时存货60件，进货了100件，晚上19:00时存货70件，售出了60件。
请问该超市最后一共进了多少件货物？最后还剩下多少件货物？解答：首先，我们需要把问题中的信息整理清楚。
上午9:00时存货50件，销售了80件，所以上午9:00时存货数量50-80=-30件。
下午14:00时存货60件，进货了100件，所以下午14:00时存货数量60+100=160件。
晚上19:00时存货70件，售出了60件，所以晚上19:00时存货数量70-60=10件。
最后，我们只需要把所有进货的数量加起来，再减去所有售出的数量，就可以得到该超市最后一共进了多少件货物。
进货数量为：100件最后，我们将最后一共进的货物数量与最后剩下的货物数量相加，即可得到该超市最后一共进了多少件货物。
3.四年级上册奥数高斯求和
3.四年级上册奥数高斯求和优质课件四年级秋季尖子班第三谈高斯议和若干个数排成一列，称为数列。
数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
数列中数的个数称为项数。
从第二项已经开始，后项与其相连的前项之高都成正比的数列称作等差数列，后项与前项的差称作公差。
这一周，我们将学习“等差数列求和”。
为了更好地掌握此类问题，我们需要记住三个公式：通项公式：第n项=首项十(项数一1)×公差项数公式：项数=(末项一首项)÷公差十1议和公式：总和=(首项十未项)×项数÷2典例精讲基准1数列1,4,7,10，……的第20项是多少？【思路指点】由数列的前几项可以看出，这个数列是等差数列。
数列的首项是1，公差是3，根据等差数列的通项公式：第n项=首项十(项数一1)×公差，可以求得第20项。
【详尽答疑】例2下列等差数列各有多少项？（1）5,9,13,17，……，89,93（2）2,5,8,11，……，98,101【思路点拨】在（1）中，首项就是5，末项就是93，公差就是4。
所以项数可以根据公式：项数=(末项一首项)÷公差十1求出。
在（2）中，首项是2，末项是101，公差是3。
所以项数可以根据公式：项数=(末项一首项)÷公差十1求得。
【详尽答疑】1优质课件例3求1+2+3+4+……+99+100的和是多少。
【思路点拨】谋上面算式的和，其实就是谋一个等差数列的和，而在这个数列中，首项就是1，末项就是100，公差就是1，从1至100共计100个数，项数就是100，所以这个称得上的和需用等差数列议和公式排序。
【详细解答】合格练1.数列2，7,12,17,22，……的第100项是多少？2.数列1,5,9,13,17，……的第25项是多少？3.某阶梯教室有20排座位，第一排有10个座位，其后每一排都比与它相邻的前一排多2个座位。
这个阶梯教室最后一排有多少个座位？4.以下各等差数列分别存有多少项？（1）9,18,27,36，……，261,270（2）5,10,15,20，……，85,90（3）4,7,10,13，……，151,1542优质课件5.快速算出下列各式的结果。
四年级奥数培优《高斯求和(一)》
高斯求和（一）约翰·卡尔·弗里德里希·高斯德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。
是近代数学奠基者之一，高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称。
高斯和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家。
一生成就极为丰硕，以他名字“高斯”命名的成果达110个，属数学家中之最。
一、例题精讲例1.观察下面三组数据，你发现了什么？（1）1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10（2）2、 4、 6、 8、 10、 12、14、 16（3）101、 98、 95、 92、 89、 86、 83（4）6、 6、 6、 6、 6、 6、 6例2.等差数列的初步认识我们把第一个数称为（首项），最后一项称为（末项）相邻两个数的差相等，所以这个差叫（公差）。
数列（1）的公差是（），数列（2）的公差是（），数列（3）的公差是（），数列（4）的公差是（），因为相邻两数的差都（），这样的数列就是等差数列。
数列中数的个数称为（项数），数列（3）的项数是（）个。
例3.下列数列不是等差数列的是（）。
A. 7、 8、 7、 8、 7、 8、 7、 8、 7B. 0、 5、 10、 15、 20、 25、 30、 35C. 50、 48、 46、 44、 42、 40、 38例4.花园里的玫瑰花如下图排列，请你快速算出花的数量？例5.通过例4的学习，我们小结等差数列求和的公式是：请你利用公式计算：（1）2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＋18＝（2）25＋21＋17＋13＋9＋5＋1＝例6.在下图中，每个小等边三角形的边长是1根火柴棒，面积是15平方厘米。
（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴摆成？二、课堂小测7. 5＋9＋13＋17＋21＋25＋29＋33＋378. 5＋9＋13＋17＋21＋29＋33＋379. 3＋6＋9＋12＋15＋18＋21＋24＋22＋20＋18＋16＋14＋12＋10＋810. 将正方形叠成山形（如图），叠1层一共用1个正方形，叠2层一共用4个正方形。
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第一讲整数计算综合同学们已经学过了四则混合运算，在这里我们先简单复习一下四则混合运算的各种运算律，包括交换律、结合律、分配律、去括号和添括号的法则等等．一、交换律：加法交换律：a b b a⨯=⨯．+=+；乘法交换律：a b b a例如：123234234123+=+；123234234123⨯=⨯．二、结合律：加法结合律：()()a b c a b c++=++；乘法结合律：()()a b c a b c⨯⨯=⨯⨯．例如：()()123234345123234345++=++；()()101112101112⨯⨯=⨯⨯．三、分配律：乘法分配律：()()a b c a c b ca b c a c b c⎧+⨯=⨯+⨯⎪⎨-⨯=⨯-⨯⎪⎩；()()c a b c a c bc a b c a c b⎧⨯+=⨯+⨯⎪⎨⨯-=⨯-⨯⎪⎩．例如：()234123523451235-⨯=⨯-⨯；()523412352345123⨯-=⨯-⨯．除法分配律：()()a b c a c b ca b c a c b c⎧+÷=÷+÷⎪⎨-÷=÷-÷⎪⎩．例如：()1004010100104010-÷=÷-÷；避免错误使用：()1836183186÷+≠÷+÷．四、去（添）括号：1.加、减法去（添）括号：括号前面是“+”，去（添）括号后不变号；括号前面是“-”，去（添）括号后要变号．例如：()234345123234345123+-=+-，()345234123345234123--=-+．2.乘、除法去（添）括号：括号前面是“⨯”，去（添）括号后不变号；括号前面是“÷”，去（添）括号后要变号．例如：()858858⨯÷=⨯÷，()9331393313÷÷=÷⨯．五、带符号搬家：同级运算时，可以带符号搬家，改变运算顺序．注意：加、减法同为第一级运算，乘、除法同为第二级运算．例如：2411645924159164-+=+-；165295165529⨯÷=÷⨯．四则混合计算时要先算乘除法、后算加减法，同级运算按照从左到右的顺序计算，有括号时先算括号内的．由这些性质出发，我们能总结出很多种巧算的方法，比如凑整．．法、提公因数．．．．法等等．（1）125718⨯⨯；（2）1242431⨯÷；（3）287287⨯÷⨯．「分析」按照从左往右的顺序依次计算会很麻烦，可不可以改变运算顺序使得计算非常简便呢？练习1计算：（1）251234543214⨯⨯；（2）962524⨯÷．同级运算时，可以通过添（去）括号改变运算顺序．例题2（1）2226432÷⨯；（2）()1234132÷÷；（3）()12521607815⨯⨯÷÷⨯． 「分析」通过除法我们可以把数变小，进而使得计算更加简便．添去括号时要注意符号哦！练习2计算：（1）()72278891112⨯⨯÷⨯⨯；（2）()2512121154⨯÷÷⨯÷．提取公因数是最常用、最重要的巧算方法之一，很多时候还需要我们自己构造公因数．例题3（1）2223388966⨯+⨯；（2）213258683237⨯+⨯+⨯；（3）122123125211⨯+⨯+⨯．「分析」部分有公因数就先提一提吧！没有公因数时可以试着去构造哦！倍数关系往往是构造公因数的关键．练习3计算：23546256915⨯+⨯+⨯（1）()+++÷；（2）96417641284163236404÷+÷+÷；（3）156536206÷+÷-÷．「分析」除法中，我们就把“提取公因数”改称“提取公除数”吧！练习4计算：（1）52713737÷+÷+÷-÷．÷-÷+÷；（2）115111515235例题5（1）151612÷⨯．⨯÷；（2）642835「分析」除数太大，除不开？拆一拆！例题6（1）56474644⨯-⨯．⨯+⨯；（2）55455644「分析」本题的两小题中都没有公因数，但是有些因数很接近，我们能不能构造公因数呢？比如（1）题中的47可以看成46加1，接下来怎么办？课堂内外数学以外的括号括号，又称括弧号或夹注号Array在数学中，括号主要是用来规定运算次序的符号，主要分为四大类，包括大括号“{ }”、中括号“[ ]”、小括号“( )”以及比较少用的括线“─”．而数学以外，括号主要用于作注释之用．写文章写到某个地方，为了让读者了解得更透彻，有时需要加个注释．这种注释，要用括号表明．注释的性质是多种多样的．但是小括号内只能对前面的语句进行附加说明，不能引入新的内容．用作注释的括号主要包括：方括号“[ ]”、六角括号“〔〕”、方头括号“【】”和书名号“<>”等形式．它们各自用途不同，不可混淆．方括号“[ ]”用来标示行文中的补缺或订误、国际音标、参考文献等．六角括号“〔〕”用来标示公文编号中的发文年份，作者国籍、朝代等． 方头括号“【】”又称“鱼尾号”，常用来标示工具书的条目．最早出现的括号是小括号“( )”，于1544年出现．直至17世纪，中括号“[ ]”才出现于英国瓦里斯﹝1616─1703﹞的著作中，至于括线则由1591年韦达﹝1540─1603﹞首先采用，而大括号“{ }”则约在1593年由韦达首先引入；至1629年，荷兰的基拉德采用了全部括号，18世纪后开始在世界通用．进入计算机时代，括号又有了新的任务，各种编程语言中都会大量地用到 小括号“（）”和大括号“{}”．作业1. 计算：（1）752425⨯÷；（2）46132623÷⨯÷．2． 计算：（1）()50277725119⨯⨯÷⨯⨯；（2）()11047125100478⨯-÷⨯⨯．3. 计算：132926191139⨯+⨯+⨯．4. 计算：49131071311013÷-÷+÷．5. 计算：502745⨯÷．第一讲整数计算综合1.例题1答案：71000；96；49详解：（1）12571812587110007171000⨯⨯=⨯⨯=⨯=；（2）1242431124312442496⨯÷=÷⨯=⨯=；（3）28728728287749⨯÷⨯=÷⨯⨯=．2.例题2答案：111；96；12000详解：（1）()÷⨯=÷÷=÷=；222643222264322222111（2）()1234132123413233296÷÷=÷⨯=⨯=；（3）()⨯⨯÷÷⨯12521607815=⨯⨯÷⨯÷12521607815()()()=⨯⨯÷⨯÷=．12582176015120003.例题3答案：66000；5800；1100详解：（1）()222338896611166889666611188966000⨯+⨯=⨯+⨯=⨯+=；（2）213258683237⨯+⨯+⨯()()=⨯++⨯=⨯+⨯=⨯+=；3221375868325858685832685800（3）122123125211⨯+⨯+⨯()=⨯++⨯=⨯+⨯122123521112445211()481152111148521100=⨯+⨯=⨯+=．4.例题4答案：31；100；8详解：（1）()+++÷=÷+÷+÷+÷=+++=；1632364041643243644044891031（2）()964176412849617612844004100÷+÷+÷=++÷=÷=；（3）()÷+÷-÷=+-÷=÷=．156536206155320648685.例题5答案：20；80详解：（1）()()1516121516341531645420⨯÷=⨯÷÷=÷⨯÷=⨯=；（2）()()÷⨯=÷÷⨯=÷⨯÷=⨯=．642835644735644357165806.例题6答案：4656；11详解：（1）()⨯+⨯=⨯++⨯=⨯+⨯+⨯5647464456461464456465614644()465644564600564656=⨯++=+=；（2）()⨯-⨯=-⨯-⨯=⨯-⨯-⨯5545564456145564456451455644()=⨯--=-=．564544455645117.练习1答案：12345432100；100简答：（1）25123454321425412345432112345432100⨯⨯=⨯⨯=；（2）962524962425425100⨯÷=÷⨯=⨯=．8.练习2答案：144；110简答：（1）()⨯⨯÷⨯⨯72278891112()()()=⨯⨯÷÷÷=÷⨯÷⨯÷=⨯⨯=7227889111272122798811638144（2）()2512121154⨯÷÷⨯÷=⨯÷÷÷⨯2512121154()()()=÷⨯÷⨯÷=．25512111421109.练习3答案：2300简答：()⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯=⨯++= 235462569152352350234523550452300 10.练习4答案：6；20简答：（1）()527137375213374276÷-÷+÷=-+÷=÷=；（2）()⨯+÷+÷-÷=++-÷=÷=．11511151523511111123510052011.作业1答案：72；4简答：（1）75242575252432472⨯÷=÷⨯=⨯=；（2）()()÷⨯÷=÷⨯÷=⨯=．461326234623261322412.作业2答案：42；4700简答：（1）()⨯⨯÷⨯⨯=⨯⨯÷÷÷5027772511950277725119()()()=÷⨯÷⨯÷=；5025279771142（2）()1104712510047811047125100478⨯-÷⨯⨯=⨯-÷⨯⨯=⨯-⨯÷⨯=⨯-⨯=⨯=．1104712581004711047104710047470013.作业3答案：1300简答：()⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯=⨯++=．132926191139132913383313132938331300 14.作业4答案：4简答：()÷-÷+÷=-+÷=÷=．4913107131101349107110135213415.作业5答案：30简答：()()⨯÷=⨯÷÷=÷⨯÷=．50274550275950527930。