第2讲 随机误差的统计特性及其估算方法

2.2 测量误差的分类
2.2.1 误差的来源 1. 仪器误差 2. 影响误差 3. 方法误差和理论误差 4. 人身误差 2.2.2 测量误差的分类 据误差性质分：系统误差、随机误差和 疏失误差三类。
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系统误差
系统误差的定义：在相同条件下多次测量同一量时， 误差的绝对值和符号保持恒定，或在条件改变时按某种确 定规律而变化的误差称为系统误差。 恒值系统误差：不随某些测量条件而变化的系统误差。 造成系统误差的原因很多，常见的有：测量设备原因 （测量设备的缺陷、测量仪器不准、测量仪表的安装、放 置和使用不当等）；测量环境原因（温度、湿度、电源电 压变化、周围电磁场的影响等）；测量方法原因；测量人 员的原因（感觉器官不完善、生理上的最小分辨能力限制、 不正确的测量习惯等）。
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粗大误差（疏失误差）
粗大误差的定义：超出在规定条件下预期的误差称为 粗大误差，又称寄生误差。 造成粗大误差的主要原因：（1）主观原因：读数错误、 测量方法错误；（2）客观原因：测量条件突然变化。 粗大误差明显地歪曲了测量结果，对应的测量结果称 为坏值，应剔除不用。
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2.2.3 测量结果的评定 通常用准确度、精பைடு நூலகம்度和精确度来评定 测量结果。 1、 准确度：是指测量值与真值的接近程度。 它反映系统误差的影响。 2、精密度：是指测量值重复一致的程度。它 反映随机误差的影响。 3、精确度：它反映系统误差和随机误差综合 的影响程度。精确度高，说明准确度和精 密度都高，意味着系统误差和随机误差都 小。
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方法误差举例
电流表 R 电压表 (A) 电压表 (B) 电流表 R
图2-2 测量电阻中的电压和电流时存在的方法误差
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随机误差（偶然误差）
随机误差的定义：在实际相同条件下多次测量同一量 时，误差的绝对值和符号以不可预定的方式变化着的误差 称为随机误差。 造成随机误差的根源：由那些对测量值影响较微小，
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2.3 随机误差的统计特性及其估算方法
2.3.1 测量值的数学期望与标准差 1、 等精密度测量：在相同条件下，用相同的仪器和 方法，由同一测量者以同样细心的程度进行多次测量， 称为等精密度测量。 2、数学期望 设对某一被测量x进行测量次数为n的等精密度测 量，得到的测量值xi（i=1，2，…，n）为随机变量。 其算术平均值为 n
x=—
n
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2.3.3 均匀分布情况下的标准差 1、均匀分布的概率密度 在测量中，均匀分布是仅次于正态分布的一种重 要分布。均匀分布的概率密度曲线如图所示。 (x) K axb K (x)= 0 x<a或x>b x 0 a E b
{
x
均匀分布的概率密度
均匀分布范围在a～b之间，设 b a K dx=1
=0
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对于有限次测量，当测量次数足够多时可近似认
为 1 n = —— Σ i 0 n i=1
可见，当不存在系统误差且无粗大误差时，测量 值的数学期望可视为被测量的相对真值。
换言之，在仅有随机误差的情况下，当测量次数 足够多时，测量值的平均值接近于真值。
因此，经多次等精密度测量的算术平均值称为真 值的最佳估计值，写为 A0= x =Ex
2、加权平均值 加权平均是将非等精密度测量等效为等精密度测 量，从而求出非等精密度测量的估计值的方法。也就 是将每个权为Wi的测量值xi （或一组测量值的算术平 均值xi ）看成Wi次等精密度测量的平均值。
考虑各组数据加权后的平均值，称为加权平均值。 19
容易得出加权平均值的计算公式为 1 m xW = —— Wi xi m i=1 Wi i=1 在上例中，m=3，加权平均值为
1 3 xW = —— Wi xi 3 Wi i=1 i=1
1 =————（ 1620.5 + 120.1 + 420.3）=20.44(V) 16+1+4
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电子测量技术
第2讲 结束
课件制作: 王永才
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1 n 2 = — Σ ( xi –Ex )2 n i=1 因为i = xi Ex，可得标准差
1 n 2 = — Σ i n i=1
显然，标准差对较大的误差反映灵敏，是表征精密 度的参数， 大表示测量值分散。 13
5、算术平均值的标准差
当对测量的精密度要求很高时，可采用多组测量 的方法。即在相同条件下对同一个量值作m组划分， 每组重复n次测量，每一组数据列都有一个平均值。由 于随机误差的存在，各算术平均值并不相同，围绕真 值有一定的分散性，即算术平均值还存在误差。这时 可用算术平均值的标准差 x来评定。 容易得到：

xi
i=1，2，…，m
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例：对于电压有三组不等精密度测量值的算术 平均值 x1=20.5V，x2=20.1V，x3=20.3V，又知 x =0.05， x =0.20 ， x =0.10
1 2 3
1 1 1 则 W1 : W2 : W3= —— ：—— ：—— =16:1:4 0.052 0.202 0.102
1 x = —— Σ xi n i=1
也称样本平均值
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当测量次数 n ∞ 时，样本平均值 x 的极限 称为测量值的数学期望
也称总体平均值 3、算术平均值原理 （1）算术平均值的意义 由随机误差的抵偿性可知，当测量次数为无穷多 时，随机误差的算术平均值 i 将趋于0，即
n 1 = lim —— Σ i n∞ n i=1 n 1 Ex = lim —— Σ xi n∞ n i=1
存在系统误差时，测量值的数学期望就等于被测量的真值。
3. 某次测量的随机误差等于这次测量的测量值与测量值的 数学期望之差。即随机误差使测量值偏离数学期望。 下面用图来表示测量误差对测量结果的影响
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——————————————— x
i
Ex =A0
xi
测 量 误 差 对 测 量 结 果 的 影 响
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（2）剩余误差
各次测量值与其算术平均值之差，称为剩余误差 （又称残差）。
ui = xi x
对剩余误差求和，有
n n ui = xi n x i=1 i=1 = nxnx =0
即当n足够大时剩余误差的代数和为0。利用这一性 质可以检验所计算的算术平均值是否正确。
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结论：
1. 对于同时存在随机误差和系统误差的测量数据，只要测 量次数足够多，各次测量绝对误差的算术平均值就等于测量的 系统误差。 2. 系统误差使测量值的数学期望偏离被测量的真值。当不
不存在系统误差时

A0
i
Ex x i
—————————————— x 存在随机误差和系统误差时

x0
i
Ex x i
——————————————— x
x k（坏值）
三种误差同时存在时
i = xi Ex
= Ex A0
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4、方差与标准差
方差定义：当测量次数n ∞时测量值与数学期望 值之差的平方的统计平均值，称为方差。它表示测量数据 的分散程度。
又互不相关的多种因素共同造成。如热骚动、噪声干扰、 电磁场的微变、空气扰动、大地微振等。 随机误差的特点：1. 有界性（多次测量中，随机误差 的绝对值不会超过一定的界限）；2. 对称性（绝对值相等 的正负误差出现的机会相同）；3. 抵偿性（随机误差的算 术平均值随着测量次数n的无限增加而趋近于零）。
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则
K=1/(a-b)
2、均匀分布的数学期望与方差 Ex = (a+b)／2
2 = (b – a)2／12
= (b – a) ／12
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例：用一只150Ｖ的电压表进行测量，示值为Vx=100V， 仪表的分辨力为1V，求Ex及 的值。
解：据题意，示值可认为在99～101V之间均匀分布， 因而a=99V，b=101V，故有 Ex = (a+b)／2= 100（V）
= (b – a) ／12 0.58 （V）
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2.3.4 非等精密度测量
1、权的概念 各次（或组）的测量值可靠程度不同的测量，称为 非等精密度测量。 在非等精密度测量中，可靠程度大的测量结果在最 后测量报告中占的比重应大一些，可靠程度小的占的 比重小些。表示这种可靠程度的量称为“权”，记做 W。 在多组测量过程中，如果系统误差为0，则权的定义 常数 k Wi= —— 2