2017松江区高三一模数学试卷及答案解析

上海市松江区2017届高三一模数学试卷
2016.12
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 设集合2
{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M
N =
2. 已知a 、b R ∈，i 是虚数单位，若2a i bi +=-，则2
()a bi += 3. 已知函数()1x
f x a =-的图像经过(1,1)点，则1
(3)f -=
4. 不等式|1|0x x ->的解集为
5. 已知(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，则函数()f x a b =⋅的最小正周期为
6. 里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道，在由2名中国运动员和6 名外国运动员组成的小组中，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为
7. 按下图所示的程序框图运算：若输入17x =，则输出的x 值是
8. 设230123(1)n n
n x a a x a x a x a x +=++++⋅⋅⋅+，若
231
3
a a =，则n = 9. 已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么 这个圆锥的侧面积是 2
cm
10. 设(,)P x y
是曲线1C =上的点，1(4,0)F -，2(4,0)F ，则12||||PF PF + 的最大值为
11.
已知函数13
()28,
3x
x f x x ≤≤=->⎪⎩，若()()F x f x k x =-
在其定义域内有3个
零点，则实数k ∈
12. 已知数列{}n a 满足11a =，23a =，若1||2n n n a a +-=*
()n N ∈，且21{}n a -是递增数
列，2{}n a 是递减数列，则21
2lim n n n
a a -→∞=
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 已知a 、b R ∈，则“0ab >”是“
2b a
a b
+>”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
14. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在截面1A DB 上，则线段AP 的最小值为（ ） A.
13 B. 1
2
C.
D.
15. 若矩阵11122122a a a a ⎛⎫
⎪⎝⎭
满足：11a 、12a 、21a 、22{0,1}a ∈，
且
1112
2122
0a a a a =，则这样的互不相等的矩阵共有（ ）
A. 2个
B. 6个
C. 8个
D. 10个
16. 解不等式11()022x x -+>时，可构造函数1
()()2
x f x x =-，由()f x 在x R ∈是减函数
及()(1)f x f >，可得1x <，用类似的方法可求得不等式263
arcsin arcsin 0x x x x +++>
的解集为（ ）
A. (0,1]
B. (1,1)-
C. (1,1]-
D. (1,0)-
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB a ==，E 是棱PC 的中点； （1）求证：PC BD ⊥；
（2）求直线BE 与PA 所成角的余弦值；
18. 已知函数21
()21
x x a f x ⋅-=+（a 为实数）；
（1）根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；
（2）若对任意的1x ≥，都有1()3f x ≤≤，求a 的取值范围；
19. 松江天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”， 兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高，如图，记O 点为塔基、P 点为塔尖、 点P 在地面上的射影为点H ，在塔身OP 射影所在直线上选点A ，使仰角45HAP ︒
∠=， 过O 点与OA 成120︒
的地面上选B 点，使仰角45HBP ︒
∠=（点A 、B 、O 都在同一水平 面上），此时测得27OAB ︒
∠=，A 与B 之间距离为33.6米，试求：
（1）塔高；（即线段PH 的长，精确到0.1米） （2）塔的倾斜度；（即OPH ∠的大小，精确到0.1︒
）
20. 已知双曲线2222:1x y C a b
-=经过点(2,3)，两条渐近线的夹角为60︒
，直线l 交双曲线
于A 、B 两点；
（1）求双曲线C 的方程；
（2）若l 过原点，P 为双曲线上异于A 、B 的一点，且直线PA 、PB 的斜率PA k 、PB k 均 存在，求证：PA PB k k ⋅为定值；
（3）若l 过双曲线的右焦点1F ，是否存在x 轴上的点(,0)M m ，使得直线l 绕点1F 无论怎 样转动，都有0MA MB ⋅=成立？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由；
21. 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称为“H 型数列”；
（1）若数列{}n a 为“H 型数列”，且113a m =
-，21
a m
=，34a =，求实数m 的范围； （2）是否存在首项为1的等差数列{}n a 为“H 型数列”，其前n 项和n S 满足2
n S n n <+
*()n N ∈？若存在，请求出{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由；
（3）已知等比数列{}n a 的每一项均为正整数，且{}n a 为“H 型数列”； 若2
3
n n b a =
，n c =5
(1)2n n a n -+⋅，当数列{}n b 不是“H 型数列”时， 试判断数列{}n c 是否为“H 型数列”，并说明理由；
参考答案
一. 填空题
1. {1}
2. 34i -
3. 2
4. (0,1)(1,)+∞
5. π
6.
1
4
7. 143 8. 11
9. 10. 10
11. 12. 12
-
二. 选择题
13. B 14. C 15. D 16. A
三. 解答题 17.（1）略；（2
18.（1）1a =-，偶函数；1a =，奇函数；a R ∈且1a ≠±，非奇非偶函数； （2）[2,3]；
19.（1）18.9米；（2）6.9°；
20.（1）2
2
13
y x -=；（2）3；（3）(1,0)-； 21. （1）2132132,42a a a a m -=>-=->,解得：m ∈1
(,0)(,)2-∞+∞
（2）由定义可知，公差2d >,2
12(1)21
n n S n n n d n n d n =+-<+⇒<-
2
221
d d n <+⇒≤-,与2d >矛盾，∴不存在
（3）由题意1,*a q N ∈ ，且1q >
21121111(1)22
(1)2(1)33
(1)3
a a a q
b b a q a q a q -=->-=
-≤⇒-≤-= 111)3,2,32n n a q a -===⋅，48
1
n c n =
+单调递减， 2182c c -=-<，不是“H 型数列”
1
1822)1,4,4,1
n
n n n a q a c n -⋅====+
令1122828()21(1)(2)n n n n n n n d c c n n n n ++⋅⋅=-=-=++++，1218
23d c c =-=> 令12182(1)82822
0(2)(3)(1)(2)2(1)(3)n n n n n n n n n n e d d n n n n n n n ++⋅⋅+⋅⋅⋅++=-=
-=⋅>+++++++ {}n d 单调递增，∴12n n c c +->，{}n c 是“H 型数列”
综上，1
4n n a -=，{}n c 是“H 型数列”
123n n a -=⋅，{}n c 不是“H 型数列”。