第十三章 线性相关分析
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Z u / 2 / n 3 1.5334 1.96 / 16 3 =0.9898~2.0770
1
1
e 1 e 1 ~ 22.0770 0.76~0.97 20.9898 e 1 e 1
20.9898
22.0770
第五节 直线回归与相关应用的注意事项
1．根据分析目的选择变量及统计方法
2
lYY Y ( Y ) / n 6239.8658 314.66 /16 51.6836 ，
2 2 2
lXY XY ( X )(Y ) / n 1121.7746 56.50 314.66/16 10.6315
r
l XY l XX lYY
第十三章 线性相关分析
第一节 线性相关的概念
一、概念：相关系数（correlation coefficient）又 称Pearson积差相关系数，用来说明具有直线关系的两 变量间相关的密切程度与相关方向。
以符号r 表示样本相关系数， 符号 表示其总体相关系数。
相关系数没有单位，其值为-1 r 1。r值为正 表示正相关，r值为负表示负相关， r绝对值反 应两变量间相关关系的密切程度，绝对值越大说 明相关关系越密切， r的绝对值等于1为完全相 关，r=0为零相关。
第二节 相关系数的假设检验
r 0 t Sr
r 1 r n2
2
, n2
（13-2）
例13-3 （续例13-1） 根据样本相关系数， 对总体相关系数=0进行假设检验。 解： 1. t检验法 检验步骤如下： （1）建立假设，确定检验水准 。 H0: =0（变量间不存在线性相关关系）； H1: 0（变量间有线性相关关系）；
tr t0.01/ 2,14 ，则 P<0.01，按
0 . 0 5 水准拒绝 H0，接受 H1，可
认为体重指数和收缩压之间存在正相关关系。
2. 查表法 根据自由度 14 ，查附表13相关系数r界值 t 表， 0.01/ 2,14 2.977 ，r t0.01/ 2,14 ，本例r =0.91，所以P<0.01， t 水准拒绝H0，接受H1，与 t 检验结论相同。 0.05 按
估计方法。
3．资料的要求
直线相关分析要求 X与Y 服从双变量正态分布； 直线回归要求至少对于每个 X 相应的 Y 要服从正 态分布，X可以是服从正态分布的随机变量也可以是 能精确测量和严格控制的非随机变量； * 对于双变量正态分布资料，根据研究目的可选择 由 X 估计 Y 或者由 Y 估计 X ，一般情况下两个回归方 程不相同）。
无关联的两种现象勉强作回归或相关分析。
相关关系不一定是因果关系，可能仅是表面上 的伴随关系，或两个变量同时受另一因素的影响， 如小孩的身高和小树的树高同时受时间的影响，在 校儿童的鞋的大小和阅读技能同时受年龄的影响。
不能只根据相关系数r的绝对值的大小来推断两 事物现象之间有无相关以及相关的密切程度，而必 须对r进行相关系数的假设检验。另外，不要把相 关系数的显著性误解为两事物或现象相关的强度， 例如对于相关系数的假设检验来说，P<0.01比 P<0.05更有理由认为相关关系成立，但并不能得出 前者比后者相关关系更密切的结论，相关关系的强 度是用r的绝对值来反映的。
2．进行相关、回归分析前应绘制散点图—第一步
（1） 散点图可考察两变量是否有直线趋势； （2） 可发现异常点（outlier）。 散点图对异常点的识别与处理需要从专业知识和现有
数据两方面来考虑，结果可能是现有回归模型的假设错
误需要改变模型形式，也可能是抽样误差造成的一次偶 然结果甚至过失误差。需要认真核对原始数据并检查其 产生过程认定是过失误差，或者通过重复测定确定是抽 样误差造成的偶然结果，才可以谨慎地剔除或采用其它
0.05
检验步骤
（2）计算检验统计量 本例n=16， r=0.91，按公式（13-2） 0.9110 tr 8.2653 2 1 0.9110 / 16 2
（3）查 t 界值表，确定 P 值，下结论。按自由度 14 ，查 t 界值 表，得 t 0 .0 1 / 2 ,1 4 2 . 9 7 7 ，
直线相关用于说明两变量之间直线关系的方向和 密切程度，X与Y没有主次之分； 直线回归则进一步地用于定量刻画应变量Y对自变
量X在数值上的依存关系，其中应变量的定夺主要依
专业要求而定，可以考虑把易于精确测量的变量作为
X，另一个随机变量作Y，例如用身高估计体表面积。
两个变量的选择一定要结合专业背景，不能把毫
10.6315 0.91 2.6350 51.6836
三、应用线性相关系数r时应注意的问题：
1. r只表示两个服从正态分布的随机变量之间 线性关系的密切程度和相关方向，r=0只能说X与Y 之间无线性关系，并不能说X与Y之间无任何关系。 2. 相关关系并不一定是因果关系。相关分析的 任务就是对相关关系给以定量的计算和描述。
第四节 相关系数的可信区间
统计推断包括假设检验和区间估计，前面已学过相关系 数的假设检验，假设检验只是回答了总体相关系数 是否 存在的问题，如果想知道的 大致范围，就需要计算的 可 信区间。 由于r呈非正态分布，故不能直接用r求可信区间，而 是首先对r作Z转换，以消除这种偏态
Z tanh r
1
1 1 r Z ln 2 1 r
式中为tanh为双曲正切函数，tanh-1为反双曲正切函数， SZ为Z的标准误。
转换后的Z统计量服从方差为1/(n 3)的正态分布，用下式计算 Z统计量总体均数的100（1- ）%可信区间。当 0.05 时， 即为95%可信区间。
Z u
X 56.50 , Y 314.66 , X
公式 13-1 中，可得:
2 2
2
202.1506, Y 2 6239.8658 ， XY 1121.7746 ，n=16。代入
l XX X ( X ) / n 202.1506 56.50 /16 2.6350 ，
/2
/ n 3, Z u / 2 / n 3
Z u / 2 / n 3
最后，对此区间的上下限作反变换，
r tanh Z
wenku.baidu.com
e 1 r 2z e 1
2z
例13-4 （续例13-1） 例13-2中，求得样本相关系数r=0.9110， 求 的 95%可信区间。
Z tanh r tanh 0.9110 1.5334
4．结果解释及正确应用
反应两变量关系密切程度或数量上影响大小的统
计量应该是回归系数或相关系数的绝对值，而不是 假设检验的P值。 P值越小只能说越有理由认为变量间的直线关系
存在，而不能说关系越密切或越“显著”。另外，
直线回归用于预测时，其适用范围一般不应超出样
本中自变量的取值范围。
二、 计算公式 样本相关系数的计算公式为
r
( X X )(Y Y ) ( X X ) (Y Y )
2
2
l XY l XX lYY
（13-1）
例13-2 （续例13-1）计算表13-1中体 重指数和收缩压的相关系数。
解： 1．绘制散点图，观察两变量之间是否有线性趋势。 从图13-1 可见，体重指数与收缩压之间呈线性趋势，且方向相同，为正 相关。 2．计算相关系数。从表13-1的合计栏中，已得出基本数据：
1
1
e 1 e 1 ~ 22.0770 0.76~0.97 20.9898 e 1 e 1
20.9898
22.0770
第五节 直线回归与相关应用的注意事项
1．根据分析目的选择变量及统计方法
2
lYY Y ( Y ) / n 6239.8658 314.66 /16 51.6836 ，
2 2 2
lXY XY ( X )(Y ) / n 1121.7746 56.50 314.66/16 10.6315
r
l XY l XX lYY
第十三章 线性相关分析
第一节 线性相关的概念
一、概念：相关系数（correlation coefficient）又 称Pearson积差相关系数，用来说明具有直线关系的两 变量间相关的密切程度与相关方向。
以符号r 表示样本相关系数， 符号 表示其总体相关系数。
相关系数没有单位，其值为-1 r 1。r值为正 表示正相关，r值为负表示负相关， r绝对值反 应两变量间相关关系的密切程度，绝对值越大说 明相关关系越密切， r的绝对值等于1为完全相 关，r=0为零相关。
第二节 相关系数的假设检验
r 0 t Sr
r 1 r n2
2
, n2
（13-2）
例13-3 （续例13-1） 根据样本相关系数， 对总体相关系数=0进行假设检验。 解： 1. t检验法 检验步骤如下： （1）建立假设，确定检验水准 。 H0: =0（变量间不存在线性相关关系）； H1: 0（变量间有线性相关关系）；
tr t0.01/ 2,14 ，则 P<0.01，按
0 . 0 5 水准拒绝 H0，接受 H1，可
认为体重指数和收缩压之间存在正相关关系。
2. 查表法 根据自由度 14 ，查附表13相关系数r界值 t 表， 0.01/ 2,14 2.977 ，r t0.01/ 2,14 ，本例r =0.91，所以P<0.01， t 水准拒绝H0，接受H1，与 t 检验结论相同。 0.05 按
估计方法。
3．资料的要求
直线相关分析要求 X与Y 服从双变量正态分布； 直线回归要求至少对于每个 X 相应的 Y 要服从正 态分布，X可以是服从正态分布的随机变量也可以是 能精确测量和严格控制的非随机变量； * 对于双变量正态分布资料，根据研究目的可选择 由 X 估计 Y 或者由 Y 估计 X ，一般情况下两个回归方 程不相同）。
无关联的两种现象勉强作回归或相关分析。
相关关系不一定是因果关系，可能仅是表面上 的伴随关系，或两个变量同时受另一因素的影响， 如小孩的身高和小树的树高同时受时间的影响，在 校儿童的鞋的大小和阅读技能同时受年龄的影响。
不能只根据相关系数r的绝对值的大小来推断两 事物现象之间有无相关以及相关的密切程度，而必 须对r进行相关系数的假设检验。另外，不要把相 关系数的显著性误解为两事物或现象相关的强度， 例如对于相关系数的假设检验来说，P<0.01比 P<0.05更有理由认为相关关系成立，但并不能得出 前者比后者相关关系更密切的结论，相关关系的强 度是用r的绝对值来反映的。
2．进行相关、回归分析前应绘制散点图—第一步
（1） 散点图可考察两变量是否有直线趋势； （2） 可发现异常点（outlier）。 散点图对异常点的识别与处理需要从专业知识和现有
数据两方面来考虑，结果可能是现有回归模型的假设错
误需要改变模型形式，也可能是抽样误差造成的一次偶 然结果甚至过失误差。需要认真核对原始数据并检查其 产生过程认定是过失误差，或者通过重复测定确定是抽 样误差造成的偶然结果，才可以谨慎地剔除或采用其它
0.05
检验步骤
（2）计算检验统计量 本例n=16， r=0.91，按公式（13-2） 0.9110 tr 8.2653 2 1 0.9110 / 16 2
（3）查 t 界值表，确定 P 值，下结论。按自由度 14 ，查 t 界值 表，得 t 0 .0 1 / 2 ,1 4 2 . 9 7 7 ，
直线相关用于说明两变量之间直线关系的方向和 密切程度，X与Y没有主次之分； 直线回归则进一步地用于定量刻画应变量Y对自变
量X在数值上的依存关系，其中应变量的定夺主要依
专业要求而定，可以考虑把易于精确测量的变量作为
X，另一个随机变量作Y，例如用身高估计体表面积。
两个变量的选择一定要结合专业背景，不能把毫
10.6315 0.91 2.6350 51.6836
三、应用线性相关系数r时应注意的问题：
1. r只表示两个服从正态分布的随机变量之间 线性关系的密切程度和相关方向，r=0只能说X与Y 之间无线性关系，并不能说X与Y之间无任何关系。 2. 相关关系并不一定是因果关系。相关分析的 任务就是对相关关系给以定量的计算和描述。
第四节 相关系数的可信区间
统计推断包括假设检验和区间估计，前面已学过相关系 数的假设检验，假设检验只是回答了总体相关系数 是否 存在的问题，如果想知道的 大致范围，就需要计算的 可 信区间。 由于r呈非正态分布，故不能直接用r求可信区间，而 是首先对r作Z转换，以消除这种偏态
Z tanh r
1
1 1 r Z ln 2 1 r
式中为tanh为双曲正切函数，tanh-1为反双曲正切函数， SZ为Z的标准误。
转换后的Z统计量服从方差为1/(n 3)的正态分布，用下式计算 Z统计量总体均数的100（1- ）%可信区间。当 0.05 时， 即为95%可信区间。
Z u
X 56.50 , Y 314.66 , X
公式 13-1 中，可得:
2 2
2
202.1506, Y 2 6239.8658 ， XY 1121.7746 ，n=16。代入
l XX X ( X ) / n 202.1506 56.50 /16 2.6350 ，
/2
/ n 3, Z u / 2 / n 3
Z u / 2 / n 3
最后，对此区间的上下限作反变换，
r tanh Z
wenku.baidu.com
e 1 r 2z e 1
2z
例13-4 （续例13-1） 例13-2中，求得样本相关系数r=0.9110， 求 的 95%可信区间。
Z tanh r tanh 0.9110 1.5334
4．结果解释及正确应用
反应两变量关系密切程度或数量上影响大小的统
计量应该是回归系数或相关系数的绝对值，而不是 假设检验的P值。 P值越小只能说越有理由认为变量间的直线关系
存在，而不能说关系越密切或越“显著”。另外，
直线回归用于预测时，其适用范围一般不应超出样
本中自变量的取值范围。
二、 计算公式 样本相关系数的计算公式为
r
( X X )(Y Y ) ( X X ) (Y Y )
2
2
l XY l XX lYY
（13-1）
例13-2 （续例13-1）计算表13-1中体 重指数和收缩压的相关系数。
解： 1．绘制散点图，观察两变量之间是否有线性趋势。 从图13-1 可见，体重指数与收缩压之间呈线性趋势，且方向相同，为正 相关。 2．计算相关系数。从表13-1的合计栏中，已得出基本数据：