2.2综合法和分析法-教学设计公开课

2.2综合法和分析法

一、教学目标

1．了解综合法与分析法证明不等式的思考过程与特点．2．会用综合法、分析法证明简单的不等式．

二、课时安排

1课时

三、教学重点

了解综合法与分析法证明不等式的思考过程与特点．四、教学难点

会用综合法、分析法证明简单的不等式．

五、教学过程

（一）导入新课

已知a＞0，b＞0,2c＞a＋b，求证：c－＜a.

【证明】要证c－＜a，

只需证明c＜a＋，

即证b－a＜2，

当b－a＜0时，显然成立；

当b－a≥0时，只需证明b2＋a2－2ab＜4c2－4ab，

即证(a＋b)2＜4c2，

由2c＞a＋b知上式成立．

所以原不等式成立．

（二）讲授新课

教材整理1 综合法

一般地，从出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做，又叫或．教材整理2 分析法

证明命题时，我们还常常从要证的出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做，这是一种执果索因的思考和证明方法．（三）重难点精讲

题型一、用综合法证明不等式

例1已知a，b，c是正数，求证：

≥abc.

【精彩点拨】由a，b，c是正数，联想去分母，转化证明b2c2＋c2a2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)，利用x2＋y2≥2xy可证．或将原

不等式变形为＋＋≥a＋b＋c后，再进行证明．

【自主解答】法一∵a，b，c是正数，

∴b2c2＋c2a2≥2abc2，b2c2＋a2b2≥2ab2c，c2a2＋a2b2≥2a2bc，∴2(b2c2＋c2a2＋a2b2)≥2(abc2＋ab2c＋a2bc)，

即b2c2＋c2a2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)．

又a＋b＋c＞0，

∴≥abc.

法二∵a，b，c是正数，

∴＋≥2＝2c.

同理＋≥2a，＋≥2b，

∴2≥2(a＋b＋c)．

又a＞0,b＞0，c＞0，

∴b2c2＋a2c2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)．

故≥abc.

规律总结：

1．综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间、不等式的左右两端之间的差异

与联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式(切入点)，这是证明的关键．

2．综合法证明不等式的主要依据：(1)不等式的基本性质；

(2)基本不等式及其变形；(3)三个正数的算术­几何平均不等式等．

[再练一题]

1．已知a＞0，b＞0，c＞0，且abc＝2.

求证：(1＋a)(1＋b)(1＋c)＞8.

【证明】∵a＞0，b＞0，c＞0，

∴1＋a≥2，当且仅当a＝1时，取等号，

1＋b≥2，当且仅当b＝1时，取等号，

1＋c≥2，当且仅当c＝1时，取等号．

∵abc＝2，

∴a，b，c不能同时取1，∴“＝”不同时成立．

∴(1＋a)(1＋b)(1＋c)＞8＝8.

即(1＋a)(1＋b)(1＋c)＞8.

题型二、综合法与分析法的综合应用

例2设实数x，y满足y＋x2＝0，且0＜a＜1，求证：log a(a x ＋b y)＜＋log a2.

【精彩点拨】要证的不等式为对数不等式，结合对数的性质，先用分析法探路，转化为要证明一个简单的结论，然后再利用综合法证明．

【自主解答】由于0＜a＜1，则t＝log a x(x＞0)为减函数．欲证log a(a x＋a y)＜＋log a2，只需证a x＋a y＞2a.

∵y＋x2＝0,0＜a＜1，

∴x＋y＝x－x2＝－＋≤.

当且仅当x＝时，(x＋y)max＝，

∴a x＋y≥a，≥a.①

又a x＋a y≥2(当且仅当x＝y取等号),②

∴a x＋a y≥2a.③

由于①，②等号不能同时成立，

∴③式等号不成立，即a x＋a y＞2a成立．

故原不等式log a(a x＋a y)＜＋log a2成立．

规律总结：

1．通过等式或不等式运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式易于证明．体现了分析法与综合法之间互为前提、互相渗透、相互转化的辩证关系．2．函数与不等式综合交汇，应注意函数性质在解题中的运用．

[再练一题]

2．已知a，b，c都是正数，求证：2≤3－.

【证明】法一要证2≤3－，只需证a＋b－2≤a＋b＋c －3，

即－2≤c－3，

移项，得c＋2≥3.

由a，b，c都为正数，得c＋2＝c＋＋≥3，∴原不等式成立．

法二∵a，b，c都是正数，

∴c＋＋≥3＝3，

即c＋2≥3，

故－2≤c－3，

∴a＋b－2≤a＋b＋c－3，

∴2≤3.

题型三、分析法证明不等式

例3已知a＞b＞0，求证：＜－＜.

【精彩点拨】本题要证明的不等式显得较为复杂，不易观察出怎样由a＞b＞0得到要证明的不等式，因而可以用分析法先变形要证明的不等式，从中找到证题的线索．

【自主解答】要证原不等式成立，

只需证＜a＋b－2＜，

即证＜(－)2＜.

只需证＜－＜，

即＜1＜，

即＜1＜.

只需证＜1＜.

∵a＞b＞0，∴＜1＜成立．

∴原不等式成立．