如何解带绝对值的方程
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谈谈如何解含绝对值的方程
绝对值概念在初中代数,乃至初等数学中,均占有相当重要的地位。解含绝对值的方程在初中数学竞赛中经常出现,同学们往往感到困惑,难于解答。下面举例说明解这类方程的几种常用方法。
一.运用基本公式:若,则解方程
例1.解方程
解:去掉第一重绝对值符号,得
移项,得或
所以
所以原方程的解为:
例2.解方程
解:因为
所以
即
或
解方程(1),得
解方程(2),得
又因为,所以
所以原方程的解为
二.运用绝对值的代数意义解方程
例3.方程的解的个数是()
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4或4以上
解:方程可化为
所以
所以方程的解有无数个,故选(D)。
三.运用绝对值的非负性解方程
例4.方程的图像是()
A. 三条直线:
B. 两条直线:
C. 一点和一条直线:(0,0),
D. 两个点:(0,1),(-1,0)
解:因为
而
所以
所以原方程的图象为两个点(0,1),(-1,0)
故选(D)。
四.运用绝对值的几何意义解方程
例5.解方程
解:设,由绝对值的几何意义知
所以
又因为
所以
从数轴上看,点落在点与点的内部(包括点与点在内),
即原方程的解为。
五.运用方程的图象研究方程的解
例6.若关于x的方程有三个整数解,则a的值是()
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
解:作的图象,如图1所示,由于方程解的个数就是直线与的图象的交点个数,把直线平行于x轴上、下移动,通过观察
得仅当时方程有三个整数解。故选(B)。
图1同时,我们还可以得到以下几个结论:(1)当时,方程没有解;
(2)当或时,方程有两个解;(3)当时,方程有4个解。