如何解带绝对值的方程

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谈谈如何解含绝对值的方程

绝对值概念在初中代数,乃至初等数学中,均占有相当重要的地位。解含绝对值的方程在初中数学竞赛中经常出现,同学们往往感到困惑,难于解答。下面举例说明解这类方程的几种常用方法。

一.运用基本公式:若,则解方程

例1.解方程

解:去掉第一重绝对值符号,得

移项,得或

所以

所以原方程的解为:

例2.解方程

解:因为

所以

解方程(1),得

解方程(2),得

又因为,所以

所以原方程的解为

二.运用绝对值的代数意义解方程

例3.方程的解的个数是()

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4或4以上

解:方程可化为

所以

所以方程的解有无数个,故选(D)。

三.运用绝对值的非负性解方程

例4.方程的图像是()

A. 三条直线:

B. 两条直线:

C. 一点和一条直线:(0,0),

D. 两个点:(0,1),(-1,0)

解:因为

所以

所以原方程的图象为两个点(0,1),(-1,0)

故选(D)。

四.运用绝对值的几何意义解方程

例5.解方程

解:设,由绝对值的几何意义知

所以

又因为

所以

从数轴上看,点落在点与点的内部(包括点与点在内),

即原方程的解为。

五.运用方程的图象研究方程的解

例6.若关于x的方程有三个整数解,则a的值是()

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

解:作的图象,如图1所示,由于方程解的个数就是直线与的图象的交点个数,把直线平行于x轴上、下移动,通过观察

得仅当时方程有三个整数解。故选(B)。

图1同时,我们还可以得到以下几个结论:(1)当时,方程没有解;

(2)当或时,方程有两个解;(3)当时,方程有4个解。

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