高等数学中的数学建模思想与实例殷俊锋同济大学数学系(课堂PPT)
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《数学建模》课件
第一章课程概述§1.1 数学模型与数学建模一．基本概念数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。
其产生以及许多重大发展都是和现实世界的生产活动和其他相应学科的需要密切相关的；同时，作为认识和改造世界的强有力的工具，又促进了科学技术和生产建设的发展。
特别在当今时代，由于计算机软硬件的迅速发展和普及，数学方法被广泛应用于生产实践、社会管理的各个领域和层面。
对具体的应用问题或问题类进行合理的简化假设以及适当的抽象并最终表述为某种数学结构，即我们在这里讨论的数学模型，是现代生产实践与社会生活实现优化决策和科学管理的必要环节。
而数学建模则是指根据实际需要或最终管理目标，对现实问题构建数学模型，对模型进行分析求解，并最终将模型解翻译为决策方案应用于实际的一个由诸多环节组成的一个完整过程。
为理解现实对象与数学模型的关系，以下给出数学建模的一个流程图：二．（引例1）椅子的平稳放置问题将（四脚）椅子置于不平的地面，通常只有三只脚着地，放不稳；然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了——这是我们在日常生活中遇到的一件很普通的事实。
这一现象是偶然的呢，还是有其必然性呢？三．（引例2）商人过河设有三名商人，各带一个随从，欲乘一小船渡河，小船只能容纳两人，须由他们自己划行。
随从们密约，在河的任何一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。
而如何乘船渡河的大权掌握在商人们的手中。
商人们怎样才能安全渡河呢？椅子的平稳放置问题将（四脚）椅子置于不平的地面，通常只有三只脚着地，放不稳；然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了——这是我们在日常生活中遇到的一件很普通的事实。
这一现象是偶然的呢，还是有其必然性呢？以下的模型给出了肯定的回答。
一．模型假设：1．椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一点，四脚的连线呈正方形；2．地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没台阶）。
即地面可视为数学上的连续曲面；3．对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置上至少有三只脚同时着地。
同济大学版本高数精品课件全册
1+ x
理解为：
f
(
∆
)
=
1− 1+
∆ ∆
（五）函数与图像
2、图像：平面点= 集 C {(x= , y) y f (x), x∈D}。
了解函数的直
例：画函数 y = x 的图像.
观手段！
y
一元函数的图像通常是二
维平面上的一条一维曲线.
注： 由曲线求取对应的函
数往往不易，由函数画图
o
x 像相对容易.
例如， 1 + 2 =3 1 − 2 =−1
负数的引入有实 际意义！如：记 帐有赢利亏欠， 温度有零上零 下…
2. Z(整数环)
对加法、减法都封闭; 对除法不能封闭。
例如， 1 ÷ 2 =0.5
3. Q(有理数域)
对加法、减法、乘法、除法都封闭；有理数域尽管稠密但不 连续，还有客观事物不能用有理数表示。
课后自测
1、 写出所有三角函数和反三角函数的定义域，并画出函数图像。
2、
已知函数
y
=
f
(x)
=
12+
x, x,
0≤ x ≤1 x >1
求
f
(
1 2
)
及
f
(
1 t
)
,
并写出定义域及值域 。
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理
一、有界性与最大值最小值定理
二、预备知识
1、基本初等函数 (4) 三角函数
余弦函数 y = cos x 正切函数 y = tan x
余切函数 y = cot x
正割函数 y = sec x 余割函数 y = csc x
理解为：
f
(
∆
)
=
1− 1+
∆ ∆
（五）函数与图像
2、图像：平面点= 集 C {(x= , y) y f (x), x∈D}。
了解函数的直
例：画函数 y = x 的图像.
观手段！
y
一元函数的图像通常是二
维平面上的一条一维曲线.
注： 由曲线求取对应的函
数往往不易，由函数画图
o
x 像相对容易.
例如， 1 + 2 =3 1 − 2 =−1
负数的引入有实 际意义！如：记 帐有赢利亏欠， 温度有零上零 下…
2. Z(整数环)
对加法、减法都封闭; 对除法不能封闭。
例如， 1 ÷ 2 =0.5
3. Q(有理数域)
对加法、减法、乘法、除法都封闭；有理数域尽管稠密但不 连续，还有客观事物不能用有理数表示。
课后自测
1、 写出所有三角函数和反三角函数的定义域，并画出函数图像。
2、
已知函数
y
=
f
(x)
=
12+
x, x,
0≤ x ≤1 x >1
求
f
(
1 2
)
及
f
(
1 t
)
,
并写出定义域及值域 。
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理
一、有界性与最大值最小值定理
二、预备知识
1、基本初等函数 (4) 三角函数
余弦函数 y = cos x 正切函数 y = tan x
余切函数 y = cot x
正割函数 y = sec x 余割函数 y = csc x
第一课同济大学高等数学上预备知识ppt课件
例 设 X 1 ,2 ,3 ,Y 2 ,4 ,6 ,8 ,
T
X Y,
x
2 x,
则T 是 X 到 Y 的映射.
例 设 X 1 ,1 ,Y , ,
X Y
T
x
tan
2
x
则T 是 X 到 Y 的映射.
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
例 试说明函数 f x 1 sin 1 在 x 0 的任何空心邻
xx
域内是无界函数.
解 只要证明在 x 0 的任何空心邻域内，无论对怎样的
正数 M 0，总是存在该邻域内一点 x 0 ，使得
f x0 M.
1
现设
M
0，取
x0
2n
/
，
2
其中取
n
1
2
M
2
的正整数，
并且使得 x 0 在空心邻域内，
例：设 X R ,Y 1 ,1 ,Z 0 ,1 ,
X Y,
T1
x
sin
x,
Y Z,
T2
y
y2,
则复合映射T2 T1为
X Z, T x(sinx)2.
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
同济大学高等数学(第七版)上册第一章函数 PPT课件
16 x2 0
(1) (2)
y 2x ln x 16 x2
y log5 (x2 1)
ln x 0 x [1, 4) (4, )
x0
x2 1 0 x (, 1) (1, )
函数定义可简单地归结为构成函数的两个要素： • 定义域 D f ： 自变量的变化范围。 • 对应法则 f ：自变量与因变量的对应规则。
y y f (x)
f (x)
f (x)
-x o x
x
偶函数图形关于y轴对称,如：y=kx2
设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为奇函数;
y
y f (x)
-x f (x)
f (x)
o
xx
奇函数的图形关于原点对称，如：y=kx
奇、偶函数经四则运算后仍可在一定条件 下保持相应的奇、偶性。
解： D( 7) 1, 5
D(1 2) 0,
D(D( x)) 1,
(5) 取最值函数
y max{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
y min{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
例.
已知函数
y
f
(
x)
2 1
x, x,
y
y f (x)
f (x2 )
f (x1)
o
x
I
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f ( x)在区间I上是单调减少的;
数学建模讲座PPT_ppt课件
数学建模讲座 PPT
讲座内容
关于数学建模
80年代以来在发达国家兴起并引起巨大凡响的 数学建模竞赛是适应世界性高科技发展及人才需求 而出现的新生事物。 在国家教育部高教司的领导和支持下，提出在 全国普通高校开展数学建模竞赛，旨在“培养学生 解决时间问题的能力和创造精神，全面提高学生的 综合素质”。
不是开玩笑，这就是数学建模。从不同度思考一个 问题，想尽所有的可能，正所谓智者千虑，绝无一 失，这才是数学建模的高手。
数学建模的意义
1 体现了数学的应用价值 2 有利于学生理论联系实际能力的培养 3 有利于培养学生的科研素养 4 有利于增加同学参加课外学术活动的 经验并在评优时更有竞争力。
数学建模的乐趣
论 文
数学建模论文的一般结构
• • • • • • • • • 摘要 问题重述与分析 问题假设 符号说明 模型建立与求解 模型检验 结果分析 模型的进一步讨论 模 问题的重述 基本假设与符号说明 问题的分析与模型的准备
论文的模块设计
模型的建立 模型的求解 模型的检验 模型的灵敏度与稳定性分析 模型的科学性及现实意义 模型的使用说明 模型的进一步讨论与改进 模型评价与推广
1.可以认识一群人； 2.可以消磨一下无聊的时光； 3.可以学会喝咖啡，提高生活品味；
获奖后： 1.加个奖励分拿个奖学金； 2.加个分，保个研； 3.各种其他好处。
数学建模需要能力？？？？
1）分析题意的能力
2）超找资料的能力 3）建立数学模型的能力 4）问题的转化能力 5）现学现用的能力 6）编程能力 7）论文写作能力
论文的模块设计
参考文献 附录
数学建模竞赛网上资源
• 中国数学建模网: • 数学中国网: • 中国大学生数学建模竞赛网:
讲座内容
关于数学建模
80年代以来在发达国家兴起并引起巨大凡响的 数学建模竞赛是适应世界性高科技发展及人才需求 而出现的新生事物。 在国家教育部高教司的领导和支持下，提出在 全国普通高校开展数学建模竞赛，旨在“培养学生 解决时间问题的能力和创造精神，全面提高学生的 综合素质”。
不是开玩笑，这就是数学建模。从不同度思考一个 问题，想尽所有的可能，正所谓智者千虑，绝无一 失，这才是数学建模的高手。
数学建模的意义
1 体现了数学的应用价值 2 有利于学生理论联系实际能力的培养 3 有利于培养学生的科研素养 4 有利于增加同学参加课外学术活动的 经验并在评优时更有竞争力。
数学建模的乐趣
论 文
数学建模论文的一般结构
• • • • • • • • • 摘要 问题重述与分析 问题假设 符号说明 模型建立与求解 模型检验 结果分析 模型的进一步讨论 模 问题的重述 基本假设与符号说明 问题的分析与模型的准备
论文的模块设计
模型的建立 模型的求解 模型的检验 模型的灵敏度与稳定性分析 模型的科学性及现实意义 模型的使用说明 模型的进一步讨论与改进 模型评价与推广
1.可以认识一群人； 2.可以消磨一下无聊的时光； 3.可以学会喝咖啡，提高生活品味；
获奖后： 1.加个奖励分拿个奖学金； 2.加个分，保个研； 3.各种其他好处。
数学建模需要能力？？？？
1）分析题意的能力
2）超找资料的能力 3）建立数学模型的能力 4）问题的转化能力 5）现学现用的能力 6）编程能力 7）论文写作能力
论文的模块设计
参考文献 附录
数学建模竞赛网上资源
• 中国数学建模网: • 数学中国网: • 中国大学生数学建模竞赛网:
同济大学 高等数学 第一册 函数 课件
证明: 证明: 任 x1， 2 ∈(0,+∞ 且 1 < x2， ) x 取 x 则
f ( x1 ) − f ( x 2 )
= x −x
2 1
2 2
= (x1 − x2 )( x1 + x2 )< 0
∴ f ( x1 ) < f ( x 2 )
∴ y = x 2在(0， ∞ )单调增加。 + 单调增加。
x 2 +1
2
y = 1 − x2
y = eu , u =
u
x2 + 1
2
y = e , u = v , v = x + 1.
注意：一个函数要作为复合函数， 注意：一个函数要作为复合函数，必须 仅仅依赖 选择合适的中间变量 中间变量u，使得y仅仅 选择合适的中间变量 ，使得 仅仅依赖 仅仅依赖于x. 于u，而u仅仅依赖于 ， 仅仅依赖于
用来描述某一点的附近。 用来描述某一点的附近。
数集 { x x − a < δ }称为点 a的 δ 邻域 ,
表示以点 a为中心 、以δ为半径的开区间 . δ δ
x a+δ 记作 U ( a , δ ) = { x a − δ < x < a + δ }. a
a−δ
点 a的去心的 δ 邻域 ,
记作 U (a , δ ) = { x 0 < x − a < δ }.
y
y = f ( x)
y
f ( x2 )
y = f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
x
o
I
x
图形：单调增加函数的图形从左到右往上升. 图形：单调增加函数的图形从左到右往上升. 单调减少函数的图形从左到右往下降. 单调减少函数的图形从左到右往下降.
f ( x1 ) − f ( x 2 )
= x −x
2 1
2 2
= (x1 − x2 )( x1 + x2 )< 0
∴ f ( x1 ) < f ( x 2 )
∴ y = x 2在(0， ∞ )单调增加。 + 单调增加。
x 2 +1
2
y = 1 − x2
y = eu , u =
u
x2 + 1
2
y = e , u = v , v = x + 1.
注意：一个函数要作为复合函数， 注意：一个函数要作为复合函数，必须 仅仅依赖 选择合适的中间变量 中间变量u，使得y仅仅 选择合适的中间变量 ，使得 仅仅依赖 仅仅依赖于x. 于u，而u仅仅依赖于 ， 仅仅依赖于
用来描述某一点的附近。 用来描述某一点的附近。
数集 { x x − a < δ }称为点 a的 δ 邻域 ,
表示以点 a为中心 、以δ为半径的开区间 . δ δ
x a+δ 记作 U ( a , δ ) = { x a − δ < x < a + δ }. a
a−δ
点 a的去心的 δ 邻域 ,
记作 U (a , δ ) = { x 0 < x − a < δ }.
y
y = f ( x)
y
f ( x2 )
y = f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
x
o
I
x
图形：单调增加函数的图形从左到右往上升. 图形：单调增加函数的图形从左到右往上升. 单调减少函数的图形从左到右往下降. 单调减少函数的图形从左到右往下降.
数学建模的一般步骤和案例ppt课件
h
截面椭圆示意图
V [1a b a ( h b )2 b h h 2 a b a r c s in h b ] L
2b
b
理想和现实的比较结果及处理方法 1、利用MATLAB拟合此曲线方程，可得： V 0 . 0 8 4 h 3 0 . 1 5 1 h 2 0 . 0 5 8 h 0 . 0 0 2
数学建模的一般步骤和案例
最新版整理ppt
1
建模是一种十分复杂的创造性劳动，现实世界中的事 物形形色色，五花八门，不可能用一些条条框框规定 出各种模型如何具体建立，这里只是大致归纳一下建 模的一般步骤和原则：
模型准备：首先要了解问题的实际背景，明确题目的 要求，收集各种必要的信息．
模型假设：为了利用数学方法，通常要对问题做必要 的、合理的假设，使问题的主要特征凸现出来，忽略 问题的次要方面。
解析地或近似地求解该数学问题
解释、验证 通 通不过 过
投入使用
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4
A题 储油罐的变位识别与罐容表标定 通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套
的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内 油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的 对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
2、线性回归方式得到修正系数 m1.035
3、计算得到的数据与实际测量数据吻合较好，相对误差始终很小，实际数据稍小可能是由于 探针，进出油罐管道等占一定体积及罐壁厚度造成的，为简化模型，本文忽略这部分影响。
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8
油位 探针
注油口
出油管
1.2m
油浮子
1.2m
同济版 高等数学(上册) 第一章课件
第一章 函数、连续与极限
正弦函数
y sin x
y sin x
19
1. 基本初等函数
第一章 函数、连续与极限
余弦函数
y cos x
y cos x
20
1. 基本初等函数
第一章 函数、连续与极限
y tan x
的定义域是
上是奇函数（见图1-24）； y cot x 上是奇函数（见图1-25）；
a A 表示 a 不是集 A 的元素（读作 a 不属
于 A ）. 集合按照元素的个数分为有限集和无限集 ，不含任何元素的 集合称为空集，记为 .
3
集合之间的关系及运算
定义 . 设有集合
第一章 函数、连续与极限
A, B ,
记作
若
x A 必有
x B , 则称 A A B.
是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 若
注： 在本书中所讨论的数集除特别说明外均为实数集.
5
1. 集合及其运算 集合的基本运算有四种：并、交、差、补. 设 A, B 是两个集合.
第一章 函数、连续与极限
由同时包含于 A 与 B 的元素构成的集合（见图 1-2），称为 A 与 B 的交集（简称交），记作 A B ，即 A B {x | x A 且 x B} ； 由包含于
y
y x (α 是常数) Z y x 当 时， 的定义域是 R ； 当 Z 时，y x 的定义域是 R\{0}
(１) 幂函数: （见图1-17）；
1 1 当 时，y x 2 x 的定义域是 [0, ) ； 1 21 1 当 时，y x 2 的定义域是 (0, ) , 2 x
数学建模常用方法介绍ppt课件
遗传算法一般步骤
1. 完成了预先给定的进 化代数 2. 种群中的最优个体在 连续若干代后没有改进 3. 平均适应度在连续若 干代后基本没有改进
竞赛中的群体思维方法
✓平等地位、相互尊重、充分交流 ✓杜绝武断评价 ✓不要回避责任 ✓不要对交流失去信心
竞赛中的发散性思维方法
➢ 借助于一系列问题来展开思路
与模糊数学相关的问题（二）
模糊聚类分析—根据研究对象本身的属性构造 模糊矩阵，在此基础上根据一定的隶属度来 确定其分类关系
模糊层次分析法—两两比较指标的确定
模糊综合评判—综合评判就是对受到多个因素 制约的事物或对象作出一个总的评价，如产 品质量评定、科技成果鉴定、某种作物种植 适应性的评价等，都属于综合评判问题。由 于从多方面对事物进行评价难免带有模糊性 和主观性，采用模糊数学的方法进行综合评 判将使结果尽量客观从而取得更好的实际效 果
3. 合并距离最近的两类为一个新类 4. 计算新类与当前各类的距离（新类与当
前类的距离等于当前类与组合类中包含 的类的距离最小值），若类的个数等于 1，转5，否则转3 5. 画聚类图 6. 决定类的个数和类。
统计方法（判别分析）
➢ 判别分析—在已知研究对象分成若干类型，并已取 得各种类型的一批已知样品的观测数据，在此基础 上根据某些准则建立判别式，然后对未知类型的样 品进行判别分类。
这个问题与什么问题相似？ 如果将问题分解成两个或几个部分会怎样？ 极限情形（或理想状态）如何？ 综合问题的条件可得到什么结果？ 要实现问题的目标需要什么条件？
➢ 借助于下意识的联想（灵感）来展开思路
抓住问题的个别条件或关键词展开联想或猜想 综合所得到的联想和猜想，得到一些结论 进一步思考找出新思路和方法
数学建模思想及案例分析PPT课件
16
如何准备
三个人都需要 –学习－交流－再学习 –以往年论文为线索，逐篇学习交流 –不要浅谈辙止，要深入 –有问题要追根问底 –把自己当成一个科研工作者
17
如何准备
程序员 –了解Matlab的各种功能 –熟悉m文件结构 –读文章时认认真真编写每个程序 –注意提高编程效率
18
学习总结
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
到生活中去
3
什么是数学模型（二）
问题
问题
新问题
提炼归纳得 到数学结论
延伸，推导
数学方法
解决问题 解决问题
解决问题
4
怎样建立一个数学模型
数学建模所需具备的能力
细心观察 平时积累 扎实基础 高效编程 流畅文笔
在身边寻找问题，勤于思考 学习他人如何数学建模 扎实，娴熟的数学基础 高效，可靠的程序保障求解过程 条理清晰，点到为止
20
好的科技论文具备的要素
行文流畅
简明扼要
条理清晰
结构明朗
切忌拖沓
注意对象
10
什么样的模型是一个好模型（一）
正确性 简要性 创新性 稳定性
11
正确性
模型的正确性是模型存在的基础
建模的目的在于正确的解决实际问题
宁可牺牲创新性，也要保证正确性。 正确性的标准
能够较好的解决或合理的解释实际问题
本质的正确性
简要性包含两层意思：
对实际问题进行简化，是实际问题的一个近似。 抓住主要矛盾，去掉次要矛盾，抓本质
物理定律的提出是模型简要性的典范例子
如何准备
三个人都需要 –学习－交流－再学习 –以往年论文为线索，逐篇学习交流 –不要浅谈辙止，要深入 –有问题要追根问底 –把自己当成一个科研工作者
17
如何准备
程序员 –了解Matlab的各种功能 –熟悉m文件结构 –读文章时认认真真编写每个程序 –注意提高编程效率
18
学习总结
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
到生活中去
3
什么是数学模型（二）
问题
问题
新问题
提炼归纳得 到数学结论
延伸，推导
数学方法
解决问题 解决问题
解决问题
4
怎样建立一个数学模型
数学建模所需具备的能力
细心观察 平时积累 扎实基础 高效编程 流畅文笔
在身边寻找问题，勤于思考 学习他人如何数学建模 扎实，娴熟的数学基础 高效，可靠的程序保障求解过程 条理清晰，点到为止
20
好的科技论文具备的要素
行文流畅
简明扼要
条理清晰
结构明朗
切忌拖沓
注意对象
10
什么样的模型是一个好模型（一）
正确性 简要性 创新性 稳定性
11
正确性
模型的正确性是模型存在的基础
建模的目的在于正确的解决实际问题
宁可牺牲创新性，也要保证正确性。 正确性的标准
能够较好的解决或合理的解释实际问题
本质的正确性
简要性包含两层意思：
对实际问题进行简化，是实际问题的一个近似。 抓住主要矛盾，去掉次要矛盾，抓本质
物理定律的提出是模型简要性的典范例子
同济大学第五高数PPT课件
N1 q)k
M2x N2 ( x2 px q)k1
Mk x Nk x2 px q
其中Mi , N i 都是常数(i 1,2,, k).
特殊地：k
1,
分解后为
x
Mx N 2 px
q
;
第20页/共45页
真分式化为部分分式之和的待定系数法
例1
x2
x3 5x 6
x3 ( x 2)( x 3)
数或反三角函数为 u.
第6页/共45页
例5 求积分 sin(ln x)dx.
解 sin(ln x)dx xsin(ln x) xd[sin(ln x)]
x sin(ln
x)
x
cos(ln
x)
1 x
dx
x sin(ln x) x cos(ln x) xd[cos(ln x)]
x[sin(ln x) cos(ln x)] sin(ln x)dx
t
3
1
t
2
t
6 t
dt
1e2 e3 e6
6
t(1
t
1 )(1
t2
dt )
6 t
1
3
t
3t 1 t
3
2
dt
第26页/共45页
6 t
1
3
t
3t 1 t
3
2
dt
6ln t 3ln(1 t) 3
2
d
(1 t 2 1 t2
)
3
1
1
t
2
dt
6ln t 3ln(1 t) 3 ln(1 t 2 ) 3arctan t C 2
f ( x)dx ex2 C ,
《高等数学》(同济六版)教学★第9章.多元函数微分法及其应用ppt课件
定义域为圆域 (x, y) x2 y2 1
图形为中心在原点的上半球面.
又如, z sin(xy), (x, y) R 2
说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D
的图形一般为空间曲面 .
三元函数 u arcsin(x2 y2 z2 )
定义域为 单位闭球
z
o 1y
2
19
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• 二重极限 lim f (x, y) 与累次极限 lim lim f (x, y)
x x0
xx0 y y0
y y0
不同.
如果它们都存在, 则三者相等. 仅知其中一个存在, 推不出其它二者存在.
例如,
显然
lim lim f (x, y) 0,
x0 y0
但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 .
在空间中,
U ( P0 , ) (x, y, z )
PP0 δ 称为点 P0 的邻域.
(圆邻域)
(球邻域)
说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成 U ( P0 ).
点 P0 的去心邻域记为
0 PP0 δ
3
机动 目录 上页 下页 返回 结束
在讨论实际问题中也常使用方邻域, 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
内总有E 中的点 , 则
称 P 是 E 的聚点.
聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为
E 的边界点 )
所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
6
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(3) 开区域及闭区域
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
• E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
图形为中心在原点的上半球面.
又如, z sin(xy), (x, y) R 2
说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D
的图形一般为空间曲面 .
三元函数 u arcsin(x2 y2 z2 )
定义域为 单位闭球
z
o 1y
2
19
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• 二重极限 lim f (x, y) 与累次极限 lim lim f (x, y)
x x0
xx0 y y0
y y0
不同.
如果它们都存在, 则三者相等. 仅知其中一个存在, 推不出其它二者存在.
例如,
显然
lim lim f (x, y) 0,
x0 y0
但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 .
在空间中,
U ( P0 , ) (x, y, z )
PP0 δ 称为点 P0 的邻域.
(圆邻域)
(球邻域)
说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成 U ( P0 ).
点 P0 的去心邻域记为
0 PP0 δ
3
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在讨论实际问题中也常使用方邻域, 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
内总有E 中的点 , 则
称 P 是 E 的聚点.
聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为
E 的边界点 )
所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
6
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(3) 开区域及闭区域
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
• E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
高等数学中的数学建模思想与实例殷俊锋同济大学数学系
(a, b), 使 F ( ) f ( ) 0,
即 f ( ) .
思考性在于构造函数 12
例3 椅子能在不平的地面上放稳吗？
问题：把椅子往不平的地面上一放，通常只有 三只脚着地放不稳，然而只需稍挪动几次就可以使四 脚同时着地，试用数学语言来解释该现象。
问题分析： 通常 ~ 三只脚着地 放稳 ~ 四只脚着地
全文参见《学生手册》或选课网
数学建摸竞赛202和1/8数/10学竞赛是学校认可的学科竞赛
7
数学建模--探索和发现的喜悦
爱因斯坦曾说过：“科学结论几乎是以完成的形式出现在读者面前， 读者体验不到探索和发现的喜悦，感觉不到思想形成的生动过程， 数学尤为突出。”
建模观指导下的高等数学概念教学应该是将教学过程看做师生进 行建模、识模、用模的过程。它强调以学生为主体对概念进行精练、 抽象、深化、迁移等活动，注重对知识的理解和掌握，重视思想方 法的提练和形成，使概念在建构中理解，在理解中应用，在应用中 内化，从而使概念学习生动化、系统化。
2021/8/10
8
融入过程的一些思考
1，加强教学设计，积极主动探索
2，合理有机融入，自觉充当配角
3，力求浅显趣味，适合学生能力
4，改革教学模式，教学手段多样
5，启迪心智，学会欣赏
2021/8/10
9
介值定理
定义: 如果 x0使 f ( x0 ) 0, 则 x0称为函数 f ( x)的零点.
定理(零点定理) 设函数 f ( x)在闭区间 a, b
至少有一根.
证 令 f ( x) x3 4x2 1, 则f ( x)在[0,1]上连续,
又 f (0) 1 0, f (1) 2 0, 由零点定理,
(a, b), 使 f ( ) 0, 即 3 4 2 1 0,
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3. 地面相对平坦,使椅子在任 意位置至少三只脚同时着地.
模型构成
先用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
• 椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性
用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置 B ´ B
• 四只脚着地 椅脚与地面距离为零
A´
距离是的函数
四个距离
两个距离
(四只脚) 正方形
对称性
C
f(b ) b .证 明 (a ,b ),使 f(得 ) .
证 令 F (x ) f(x ) x ,则 F(x)在 [a,b]上连 , 续
而 F (a )f(a ) a 0,
F (b ) f(b ) b 0, 由零点定理,
(a,b),使 F () f() 0 ,
即 f().
思考性在于构造函数
且 g(0)=0， f(0) > 0.
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
模型求解
下面给出一种简单的证明方法 将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0.
高等数学中的数学建模思想与实例
殷俊锋 同济大学数学系
内容提要
1. 背景 2. 应用实例 3. 一些思考
提高高教质量30条
2012年3月22日至23日，教育部出台《全面提高高等教育质 量的若干意见》（简称30条）：夯实办学的核心理念；巩固 本科教学基础地位；创新人才培养模式；开展教学方法大改 革；强化实践育人环节
至少.有一根
证 令 f(x ) x 3 4 x 2 1 ,则 f(x)在 [0,1]上连 , 续
又 f(0)10 , f(1 ) 20 , 由零点定理,
(a,b),使 f()0, 即 34 210 ,
方x3 程 4x210在 (0,1)内至少 . 有
思考性在于取端点
例2 设f函 (x )在 数 [a 区 ,b ]上 间 ,连 且 f(a ) 续 a ,
全文参见《学生手册》或选课网
数学建摸竞赛和数学竞赛是学校认可的学科竞赛
数学建模--探索和发现的喜悦
爱因斯坦曾说过：“科学结论几乎是以完成的形式出现在读者面前， 读者体验不到探索和发现的喜悦，感觉不到思想形成的生动过程， 数学尤为突出。”
建模观指导下的高等数学概念教学应该是将教学过程看做师生进 行建模、识模、用模的过程。它强调以学生为主体对概念进行精练、 抽象、深化、迁移等活动，注重对知识的理解和掌握，重视思想方 法的提练和形成，使概念在建构中理解，在理解中应用，在应用中 内化，从而使概念学习生动化、系统化。
Hale Waihona Puke 例3 椅子能在不平的地面上放稳吗？
问题：把椅子往不平的地面上一放，通常只有 三只脚着地放不稳，然而只需稍挪动几次就可以使四 脚同时着地，试用数学语言来解释该现象。
问题分析： 通常 ~ 三只脚着地 放稳 ~ 四只脚着地
1. 四条腿一样长，椅脚与地面
模 点接触，四脚连线呈正方形; 型 2. 地面高度连续变化，可视 假 为数学上的连续曲面; 设
上连续，且 f (a)与 f (b)异号(即 f (a) f (b) 0), 那末至少有一点 (a b)，使 f () 0.
即方f(程 x)0在 (a,b)内至少存在 . 一个
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大
值 M与最小值 m之间的任何值. 例1 证明 x3 方 4x2程 10在区 (0,1)内 间
A
O
x
C´
D´
D
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f() B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
正方形ABCD 绕O点旋转
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
地面为连续曲面
f() , g()是连续函数
椅子在任意位置 至少三只脚着地
对任意, f(), g()
至少一个为0
数学 问题
已知： f() , g()是连续函数 ; 对任意， f() • g()=0 ;
人才培养
1. 大学以培养人才为根本
把人才培养作为提高质量的首要工作
2. 培养什么样的人才
知识、能力和品格协调发展，判断力，自主学习能力，创新能力 提出问题和解决问题的能力，动手实践能力，团队合作能力，领导力
3. 怎么样培养人才
注重教学过程大于教学内容，注重培养科学思维方法、动手实践能力 教学设计、情景式教学，启发式、探究式、讨论式、参与式教学
4. 质量评价体系
课程、教材、信息化和资源共享、教学团队和师资培训、 教学方法、教学手段、科学评价教学质量
大学数学课程能做什么？
1. 教学对象
公共基础数学课程都在第一年，宏观品格育成 志向多样、兴趣广泛、思维活跃、完成从高中到大学的转变 教学理念更新、教学思想转变、知识传授和能力培养
2. 教学内容和方法
中学紧，大学松，知识点却成倍增加 少讲，多问，苏格拉底式教学，促进思考，
3. 教学目标和手段
卓越工程师科学思维方法的养成，教学设计、情景式教学 学生主体，老师主导，激发兴趣，启发思考 思维活跃，文献检索能力强，表述清楚，后劲更足
本科生创新能力培养
2012年5月修订经主管校长批准《本科生创新能力与拓展学 分认定管理办法》，促进高素质创新型人才（卓越人才）的 培养，对学科竞赛、科研论文和创新项目给予学分认定。
融入过程的一些思考
1，加强教学设计，积极主动探索 2，合理有机融入，自觉充当配角 3，力求浅显趣味，适合学生能力 4，改革教学模式，教学手段多样 5，启迪心智，学会欣赏
介值定理
定义: 如x果 0使 f(x0)0, 则 x0称为函数 f(x)的零 . 点
定理(零点定理) 设函数 f ( x)在闭区间 a, b
2011年5月 同济大学大学生数学竞赛校内赛启动 2012年5月 同济大学数学建摸竞赛校内赛启动 2012年10月 数学系本科生创新项目启动实施
学分认定---选摘
（一）各类竞赛获奖（以学校认可的学科竞赛为准）
参加同一竞赛按照所获得最高奖项获得学分。集体参赛的所有学生 均可获得相同的成绩和学分。 1．获校级一等奖记3学分、二等奖记2学分。 2．省部级一等奖记5学分、省部级二等奖记4学分、省部级三等奖记 3学分。 3．国家级一等奖记6学分、国家级二等奖记5学分，国家级三等奖记 4学分。 4．国际级学科竞赛（经学校认可为准），参照国家级执行。 5．其他非学术组织、行业协会举办的行业类学科竞赛（经学校认可 为准），获三等奖以上（含三等）记2学分。
模型构成
先用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
• 椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性
用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置 B ´ B
• 四只脚着地 椅脚与地面距离为零
A´
距离是的函数
四个距离
两个距离
(四只脚) 正方形
对称性
C
f(b ) b .证 明 (a ,b ),使 f(得 ) .
证 令 F (x ) f(x ) x ,则 F(x)在 [a,b]上连 , 续
而 F (a )f(a ) a 0,
F (b ) f(b ) b 0, 由零点定理,
(a,b),使 F () f() 0 ,
即 f().
思考性在于构造函数
且 g(0)=0， f(0) > 0.
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
模型求解
下面给出一种简单的证明方法 将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0.
高等数学中的数学建模思想与实例
殷俊锋 同济大学数学系
内容提要
1. 背景 2. 应用实例 3. 一些思考
提高高教质量30条
2012年3月22日至23日，教育部出台《全面提高高等教育质 量的若干意见》（简称30条）：夯实办学的核心理念；巩固 本科教学基础地位；创新人才培养模式；开展教学方法大改 革；强化实践育人环节
至少.有一根
证 令 f(x ) x 3 4 x 2 1 ,则 f(x)在 [0,1]上连 , 续
又 f(0)10 , f(1 ) 20 , 由零点定理,
(a,b),使 f()0, 即 34 210 ,
方x3 程 4x210在 (0,1)内至少 . 有
思考性在于取端点
例2 设f函 (x )在 数 [a 区 ,b ]上 间 ,连 且 f(a ) 续 a ,
全文参见《学生手册》或选课网
数学建摸竞赛和数学竞赛是学校认可的学科竞赛
数学建模--探索和发现的喜悦
爱因斯坦曾说过：“科学结论几乎是以完成的形式出现在读者面前， 读者体验不到探索和发现的喜悦，感觉不到思想形成的生动过程， 数学尤为突出。”
建模观指导下的高等数学概念教学应该是将教学过程看做师生进 行建模、识模、用模的过程。它强调以学生为主体对概念进行精练、 抽象、深化、迁移等活动，注重对知识的理解和掌握，重视思想方 法的提练和形成，使概念在建构中理解，在理解中应用，在应用中 内化，从而使概念学习生动化、系统化。
Hale Waihona Puke 例3 椅子能在不平的地面上放稳吗？
问题：把椅子往不平的地面上一放，通常只有 三只脚着地放不稳，然而只需稍挪动几次就可以使四 脚同时着地，试用数学语言来解释该现象。
问题分析： 通常 ~ 三只脚着地 放稳 ~ 四只脚着地
1. 四条腿一样长，椅脚与地面
模 点接触，四脚连线呈正方形; 型 2. 地面高度连续变化，可视 假 为数学上的连续曲面; 设
上连续，且 f (a)与 f (b)异号(即 f (a) f (b) 0), 那末至少有一点 (a b)，使 f () 0.
即方f(程 x)0在 (a,b)内至少存在 . 一个
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大
值 M与最小值 m之间的任何值. 例1 证明 x3 方 4x2程 10在区 (0,1)内 间
A
O
x
C´
D´
D
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f() B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
正方形ABCD 绕O点旋转
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
地面为连续曲面
f() , g()是连续函数
椅子在任意位置 至少三只脚着地
对任意, f(), g()
至少一个为0
数学 问题
已知： f() , g()是连续函数 ; 对任意， f() • g()=0 ;
人才培养
1. 大学以培养人才为根本
把人才培养作为提高质量的首要工作
2. 培养什么样的人才
知识、能力和品格协调发展，判断力，自主学习能力，创新能力 提出问题和解决问题的能力，动手实践能力，团队合作能力，领导力
3. 怎么样培养人才
注重教学过程大于教学内容，注重培养科学思维方法、动手实践能力 教学设计、情景式教学，启发式、探究式、讨论式、参与式教学
4. 质量评价体系
课程、教材、信息化和资源共享、教学团队和师资培训、 教学方法、教学手段、科学评价教学质量
大学数学课程能做什么？
1. 教学对象
公共基础数学课程都在第一年，宏观品格育成 志向多样、兴趣广泛、思维活跃、完成从高中到大学的转变 教学理念更新、教学思想转变、知识传授和能力培养
2. 教学内容和方法
中学紧，大学松，知识点却成倍增加 少讲，多问，苏格拉底式教学，促进思考，
3. 教学目标和手段
卓越工程师科学思维方法的养成，教学设计、情景式教学 学生主体，老师主导，激发兴趣，启发思考 思维活跃，文献检索能力强，表述清楚，后劲更足
本科生创新能力培养
2012年5月修订经主管校长批准《本科生创新能力与拓展学 分认定管理办法》，促进高素质创新型人才（卓越人才）的 培养，对学科竞赛、科研论文和创新项目给予学分认定。
融入过程的一些思考
1，加强教学设计，积极主动探索 2，合理有机融入，自觉充当配角 3，力求浅显趣味，适合学生能力 4，改革教学模式，教学手段多样 5，启迪心智，学会欣赏
介值定理
定义: 如x果 0使 f(x0)0, 则 x0称为函数 f(x)的零 . 点
定理(零点定理) 设函数 f ( x)在闭区间 a, b
2011年5月 同济大学大学生数学竞赛校内赛启动 2012年5月 同济大学数学建摸竞赛校内赛启动 2012年10月 数学系本科生创新项目启动实施
学分认定---选摘
（一）各类竞赛获奖（以学校认可的学科竞赛为准）
参加同一竞赛按照所获得最高奖项获得学分。集体参赛的所有学生 均可获得相同的成绩和学分。 1．获校级一等奖记3学分、二等奖记2学分。 2．省部级一等奖记5学分、省部级二等奖记4学分、省部级三等奖记 3学分。 3．国家级一等奖记6学分、国家级二等奖记5学分，国家级三等奖记 4学分。 4．国际级学科竞赛（经学校认可为准），参照国家级执行。 5．其他非学术组织、行业协会举办的行业类学科竞赛（经学校认可 为准），获三等奖以上（含三等）记2学分。