九年级数学下册 第二十八章解直角三角形及其应用 28.2.1 解直角三角形同步练习

课时作业(十九)

[28.2.1 解直角三角形]

一、选择题

1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a 2＋b 2＝c 2

，那么下列结论正确的是( )

A ．csinA ＝a

B ．bcosB ＝c

C ．atanA ＝b

D ．ctanB ＝b

2．如图K －19－1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，tanA ＝1

2

，则BC 的长是( )

图K －19－1

A ．2

B ．3

C ．4

D ．8 3．如图K －19－2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝8，则BC 的长是( )

图K －19－2

A.

4 3

3

B ．4

C ．8 3

D ．4 3 4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝15，则∠A 的度数为链接听课例1归纳总结( )

A ．90° B．60° C．45° D．30°

5．如图K －19－3，在△ABC 中，cosB ＝

22，sinC ＝3

5

，AC ＝5，则△ABC 的面积是( )

图K －19－3

A.

21

2

B ．12

C ．14

D ．21 6.如图K －19－4，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，若BD 是△ABC 的角平分线，BD ＝8，则△ABC 的三边长分别是( )

图K －19－4

A ．6，63，12

B ．23，6，4 3

C ．4，43，8

D ．43，12，8 3

7．如图K －19－5，⊙O 的直径AB ＝4，BC 切⊙O 于点B ，OC 平行于弦AD ，OC ＝5，则AD 的长为( )

图K －19－5

A.65

B.85

C.75

D.2 35 二、填空题

8．如图K －19－6，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝15，tanA ＝15

8

，则AB ＝________．

图K －19－6

9．如图K －19－7，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝2 3，则AB 的长为________．

图K －19－7

10．如图K －19－8，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，tan ∠ACD ＝3

4，

AB ＝5，那么CD 的长是________．

图K －19－8

三、解答题

11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，根据下列条件解直角三角形．

(1)b ＝10，∠A ＝60°；

(2)a ＝25，b ＝2 15.链接听课例1、例3归纳总结

12．如图K －19－9，AD 是△ABC 的中线，tanB ＝13，cosC ＝2

2，AC ＝ 2.

求：(1)BC 的长；

(2)sin ∠ADC 的值．

图K －19－9

13．如图K －19－10，在△ABC 中，D 是BC 上的一点，且∠DAC ＝30°，过点D 作DE ⊥AD 交AC 于点E ，AE ＝4，EC ＝2.

(1)求证：AD ＝CD ；

(2)若tanB ＝3，求线段AB 的长．

图K －19－10

14．如图K －19－11，在△ABC 中，∠C ＝150°，AC ＝4，tanB ＝1

8.

(1)求BC 的长；

(2)利用此图形求tan15°的值(精确到0.1，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，5≈2.2)．

图K －19－11

阅读理解我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边角之间是否也存在某种关系呢？如图K－19－12，在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠ACB 所对的边分别为a，b，c，过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ADC中，CD＝bsinA，AD＝bcosA，∴BD＝c－bcosA.

在Rt△BDC中，由勾股定理，得CD2＋BD2＝BC2，

即(bsinA)2＋(c－bcosA)2＝a2，

整理，得a2＝b2＋c2－2bccosA.

同理可得b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.

(注：上述三个公式对直角三角形和钝角三角形也成立，推理过程同上)

利用上述结论解答下列问题：

(1)在△ABC中，∠A＝45°，b＝2 2，c＝2，求a的长和∠C的度数；

(2)在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝45°，c＞a＞b，求c的长．

图K－19－12

详解详析

[课堂达标] 1．A 2.A

3．[解析] D ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝8，cosB ＝BC

AB

，

即cos30°＝BC

8，

∴BC ＝8×

3

2

＝4 3. 4．D

5．[解析] A 如图，过点A 作

∵在△ABC 中，cosB ＝

22

， ∴∠B ＝45°，BD ＝AD.

∵sinC ＝3

5

，AC ＝5，

∴sinC ＝35＝AD AC ＝AD

5

，

∴AD ＝3，

∴CD ＝4，BD ＝3，

则△ABC 的面积是12·AD·BC＝12×3×(3＋4)＝21

2

.

6．[解析] D ∵∠A ＝30°， ∴∠ABC ＝60°.

∵BD 是△ABC 的角平分线， ∴∠CBD ＝30°.

解Rt △BCD ，Rt △ABC ，即可得△ABC 的三边长． 7．[解析] B 如图，连接BD.

∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°. ∵OC ∥AD ， ∴∠A ＝∠BOC ， ∴cosA ＝cos ∠BOC. ∵BC 切⊙O 于点B ， ∴OB ⊥BC ，

∴cos ∠BOC ＝OB OC ＝2

5

，