正弦和余弦的相互关系公式
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2．从特殊到一般提出猜想。
猜想：设A和B互为余角，则：sinA=cosB，30°
cosA=sinB。2
3．证明猜想，形成公式。
（采取学生口述，教师板演，在此基础上归纳出互为余的
正、余弦相互关系的三种表达形式。）1 45°
互为余角的正、余弦的相互关系：1
（1）若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB，或cosA=sinB。
3．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，先根据下列条件求出∠A的正弦值和余弦值，然后说出∠B的正弦值和余弦值：
（1）a=2，b=1；（2）a=3，c=4；（3）b=2,c= ；（4）a=4 ，b=8。
4．设∠A为锐角，且sinA= ，求cosA。
选作：已知：∠A和∠B（∠A>∠B）是一个直角三角形的两个锐角，并且sinA，sinB是方程4x2-2kx+k-1=0的两个实根。
二、互为余角的正、余弦相互关系公式的教学过程
1．复习特殊角三角函数值。
（边问边按下列格式打出投影片，如图6-14）
sin30°=；cos60°=；
sin60°=；cos30°=；
sin45°=；cos45°=。
问：你能发Biblioteka Baidu什么规律？
答：sin30°=cos60°，sin60°=cos30°，sin45°=cos45°。
（2）sinα=cos（90°-α），或cosα=sin（90°-α）。图6-14 1
（3）数学语言叙述：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
练习1（口答）
sin37°=cos；cos62°=sin；
sin47°-cos43°=； =。
4．应用公式，变式练习。
正弦和余弦的相互关系公式
教学目标
1．使学生理解正、余弦相互关系的两个公式的推导过程，理解公式成立的条件，并能利用它们及其变形公式解答一些基本问题；
2．通过公式的推导过程，培养学生从特殊到一般提出猜想和发现问题的能力；
3．培养学生运用知识结构总结问题的能力。
教学重点和难点
公式的推导和应用是重点；而公式的应用又是难点。
求：（1）k的值；（2）∠A和∠B的度数。
略解：因为∠A与∠B互余，所以sinB=cosA，由根与系数关系：sinA+cosA= ，
sinA·cosA= 。由sin2A+cos2A=（sinA+cosA）2-2sinA·cosA=1得：k2-2k-2=0，即k=1- （舍），k=1+ ，由∠A>∠B，所以∠A=60°，∠B=30°。
sinB=sin（90°-A）=cosA= ，2
cosB=cos（90°-A）=sina= 。B 4 C
这里求cosA，也可用cosA= 来求。图6-16
四、小结（投影）
先提出以下问题：
（1）这节课学习了哪两个公式？它们是根据什么知识推导出来的？
（2）应用这两个公式时应注意什么问题？
五、作业（投影）
教学过程设计
一、从学生原有的认知结构提出问题A
（投影）问：直角三角形有什么性质？（图6-13）
①c＞a，c＞b
答：（1）边的关系：②a+b＞c，…b c
③a2+b2=c2。
（2）角的关系：∠A+∠B=90°。C a B
（3）边角关系：sinA=a/c，cosA=b/c，…图6-13
教师归纳指出：由此可见，在一个直角三角形中，由于三边之间，两个锐角之间和边角之间都有一定的关系，而正弦和余弦又是表示直角边和斜边的比值，因此自然要问：正弦和余弦之间有什么样的相互关系？这就是我们今天所要学习的问题。（板书课题）
1．把一列各角的正弦（余弦）改写成它的余角的余弦（正弦）：
（1）sin32°；（2）cos75°；（3）sin54°19′；（4）sin41°53′。
2．填空：
（1）已知：sin67°18′=0.922 5，则cos22°42′=。
（2）已知：cos4°24′=0。997 1，则sin85°36′=。
2．理解公式sin2A+cos2A=1和几种变形。
sin2A+cos2A=1，sin2A=1-cos2A=（1+cosA）（1-cosA），
sinA= ，cos2A=1-sin2A=（1+sinA）（1-sinA），
cosA= 。
3．解公式成立的条件。
4．应用举例，变式练习。
练习2（口答）下列等式是否成立？
解：sin4A+sin2A·cos2A+cos2A
= sin2A（sin2A+cos2A）+cos2A
= sin2A+cos2A
=1
例4已知：△ABC中，∠C=90°，AC=2 ，BC=4，如图6-16。
求sinA，cosA，sinB，cosB。
解：AB= = =6，所以
sinA= = ，cosA= = ，A
sinA= = = 。
教师指出：解题时，根据sin2A+cos2A=1，当∠A为锐角时，已知cosA可求sinA，同
样已知sinA也可以求cosA，利用上面的公式，还可以将式子化简。
例3化简：sin4A+sin2A·cos2A+cos2A。（∠A为锐角）
分析：由于原式中的指数为2和4，且底数为sinA和cosA，于是从结构上联想到“sin2A+cos2A=1”这个公式。
（1）sin230°+cos245°=1；（2）sin237°+sin253°=1；
（3）cos256°+sin256°=1；（4）sin246°+cos246°=1；
（5）sin2α+sin2（90°-α）=1。
例2已知∠A为锐角，且cosA= 。求sinA的值。
解：因为sin2A+cos2A=1，且∠A为锐角，所以
（投影）如图6-15，△ABC中，∠C=90°。
复习：a+b＞c，a2+b2=c2。
引导： >1， 。
发现：sinA+cosA>1，sin2A+cos2A=1。
由此得到sinA，cosA相互关系的两条性质：（A为锐角）
（1）sinA+cosA>1，（了解）
（2）sin2A+cos2A=1。（重点）
对于（1）要求学生了解；（2）要求学生理解和掌握。所以下面讲公式（2）的变形和应用。
例1（1）已知sinA=1/2，且∠B=90°-∠A。求cosB；
（2）已知sin35°=0.573 6，求cos55°；
（3）已知cos47°6＇=0.680 7,求sin42°54＇。
分析：观察每小题两锐角的关系均为互余两角，都可运用上述关系式。
三、sin2A+cos2A=1的教学过程
1．从学生原有的认知结构讲授“sin2A+cos2A=1”公式
猜想：设A和B互为余角，则：sinA=cosB，30°
cosA=sinB。2
3．证明猜想，形成公式。
（采取学生口述，教师板演，在此基础上归纳出互为余的
正、余弦相互关系的三种表达形式。）1 45°
互为余角的正、余弦的相互关系：1
（1）若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB，或cosA=sinB。
3．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，先根据下列条件求出∠A的正弦值和余弦值，然后说出∠B的正弦值和余弦值：
（1）a=2，b=1；（2）a=3，c=4；（3）b=2,c= ；（4）a=4 ，b=8。
4．设∠A为锐角，且sinA= ，求cosA。
选作：已知：∠A和∠B（∠A>∠B）是一个直角三角形的两个锐角，并且sinA，sinB是方程4x2-2kx+k-1=0的两个实根。
二、互为余角的正、余弦相互关系公式的教学过程
1．复习特殊角三角函数值。
（边问边按下列格式打出投影片，如图6-14）
sin30°=；cos60°=；
sin60°=；cos30°=；
sin45°=；cos45°=。
问：你能发Biblioteka Baidu什么规律？
答：sin30°=cos60°，sin60°=cos30°，sin45°=cos45°。
（2）sinα=cos（90°-α），或cosα=sin（90°-α）。图6-14 1
（3）数学语言叙述：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
练习1（口答）
sin37°=cos；cos62°=sin；
sin47°-cos43°=； =。
4．应用公式，变式练习。
正弦和余弦的相互关系公式
教学目标
1．使学生理解正、余弦相互关系的两个公式的推导过程，理解公式成立的条件，并能利用它们及其变形公式解答一些基本问题；
2．通过公式的推导过程，培养学生从特殊到一般提出猜想和发现问题的能力；
3．培养学生运用知识结构总结问题的能力。
教学重点和难点
公式的推导和应用是重点；而公式的应用又是难点。
求：（1）k的值；（2）∠A和∠B的度数。
略解：因为∠A与∠B互余，所以sinB=cosA，由根与系数关系：sinA+cosA= ，
sinA·cosA= 。由sin2A+cos2A=（sinA+cosA）2-2sinA·cosA=1得：k2-2k-2=0，即k=1- （舍），k=1+ ，由∠A>∠B，所以∠A=60°，∠B=30°。
sinB=sin（90°-A）=cosA= ，2
cosB=cos（90°-A）=sina= 。B 4 C
这里求cosA，也可用cosA= 来求。图6-16
四、小结（投影）
先提出以下问题：
（1）这节课学习了哪两个公式？它们是根据什么知识推导出来的？
（2）应用这两个公式时应注意什么问题？
五、作业（投影）
教学过程设计
一、从学生原有的认知结构提出问题A
（投影）问：直角三角形有什么性质？（图6-13）
①c＞a，c＞b
答：（1）边的关系：②a+b＞c，…b c
③a2+b2=c2。
（2）角的关系：∠A+∠B=90°。C a B
（3）边角关系：sinA=a/c，cosA=b/c，…图6-13
教师归纳指出：由此可见，在一个直角三角形中，由于三边之间，两个锐角之间和边角之间都有一定的关系，而正弦和余弦又是表示直角边和斜边的比值，因此自然要问：正弦和余弦之间有什么样的相互关系？这就是我们今天所要学习的问题。（板书课题）
1．把一列各角的正弦（余弦）改写成它的余角的余弦（正弦）：
（1）sin32°；（2）cos75°；（3）sin54°19′；（4）sin41°53′。
2．填空：
（1）已知：sin67°18′=0.922 5，则cos22°42′=。
（2）已知：cos4°24′=0。997 1，则sin85°36′=。
2．理解公式sin2A+cos2A=1和几种变形。
sin2A+cos2A=1，sin2A=1-cos2A=（1+cosA）（1-cosA），
sinA= ，cos2A=1-sin2A=（1+sinA）（1-sinA），
cosA= 。
3．解公式成立的条件。
4．应用举例，变式练习。
练习2（口答）下列等式是否成立？
解：sin4A+sin2A·cos2A+cos2A
= sin2A（sin2A+cos2A）+cos2A
= sin2A+cos2A
=1
例4已知：△ABC中，∠C=90°，AC=2 ，BC=4，如图6-16。
求sinA，cosA，sinB，cosB。
解：AB= = =6，所以
sinA= = ，cosA= = ，A
sinA= = = 。
教师指出：解题时，根据sin2A+cos2A=1，当∠A为锐角时，已知cosA可求sinA，同
样已知sinA也可以求cosA，利用上面的公式，还可以将式子化简。
例3化简：sin4A+sin2A·cos2A+cos2A。（∠A为锐角）
分析：由于原式中的指数为2和4，且底数为sinA和cosA，于是从结构上联想到“sin2A+cos2A=1”这个公式。
（1）sin230°+cos245°=1；（2）sin237°+sin253°=1；
（3）cos256°+sin256°=1；（4）sin246°+cos246°=1；
（5）sin2α+sin2（90°-α）=1。
例2已知∠A为锐角，且cosA= 。求sinA的值。
解：因为sin2A+cos2A=1，且∠A为锐角，所以
（投影）如图6-15，△ABC中，∠C=90°。
复习：a+b＞c，a2+b2=c2。
引导： >1， 。
发现：sinA+cosA>1，sin2A+cos2A=1。
由此得到sinA，cosA相互关系的两条性质：（A为锐角）
（1）sinA+cosA>1，（了解）
（2）sin2A+cos2A=1。（重点）
对于（1）要求学生了解；（2）要求学生理解和掌握。所以下面讲公式（2）的变形和应用。
例1（1）已知sinA=1/2，且∠B=90°-∠A。求cosB；
（2）已知sin35°=0.573 6，求cos55°；
（3）已知cos47°6＇=0.680 7,求sin42°54＇。
分析：观察每小题两锐角的关系均为互余两角，都可运用上述关系式。
三、sin2A+cos2A=1的教学过程
1．从学生原有的认知结构讲授“sin2A+cos2A=1”公式