初等几何研究试题答案(1)(李长明版)

初等几何研究试题答案（I）一、线段与角的相等1. ⊙O1、⊙O2相交于A、B,⊙O1的弦BC交⊙O2于E,⊙O2的弦BD交⊙O1于F,求证: （1）若∠DBA=∠CBA,则DF=CE;(2) 若DF=CE,则∠DBA=∠CBA.证明:(1)连接AC、AE、AF、AD在⊙O1中,由∠CBA=∠DBA得AC=AF在⊙O2中,由∠CBA=∠DBA得AE=AD由A、C、B、E四点共圆得∠1=∠2由A、D、B、E四点共圆得∠3=∠4所以△ACE≌△AFD∴DF=CE(2)由（1）得∠1=∠2,∠3=∠4∵DF=CE∴△ACE≌△AFD∴AD=AE在⊙O2中,由AD=AE可得∠DBA=∠CBA2. 在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90O,D是AC上的一点,AE⊥BD的延长线于E,又AE=1BD,2求证:BD平分∠ABC.证明:延长AE,BC交于点F3. 已知在凸五边形ABCDE中,∠BAE=3α,BC=CD=DE,且∠BCD=∠CDE=180º－2α,求证:∠BAC=∠CAD=∠DAE.证明:连接BD,得ΔCBD是等腰三角形且底角是∠CDB=[180º－(180º－2α)]÷2=α.∴∠BDE=(180°－2α)-α=180º－3α∴A、B、D、E共圆同理A、C、D、E共圆∴∠BAC=∠CAD=∠DAE4. 设H为锐角△ABC的垂心,若AH等于外接圆的半径.求证:∠BAC=60º证明:过点B作BD⊥BC,交圆周于点D,连结CD、ADC∵∠DBC=90º, ∴CD是直径,则∠CAD=90º由题,可得AH⊥BC, BH⊥AC∴BD∥AH, AD∥BH ∴四边形ADBH是□∴AH=BD又∵AH等于外接圆的半径(R) ∴BD=R,而CD=2R∴在Rt△BCD中,CD=2BD,即∠BCD=30º∴∠BDC=60º又∵∠BAC=∠BDC ∴∠BAC=∠BDC=60º5. 在△ABC中,∠C=90o,BE是∠B的平分线,CD是斜边上的高,过BE、CD之交点O且平行于AB的直线分别交AC、BC于F、G,求证AF=CE. 证明:如图∵∠1＝∠3,∠1=∠2.∴∠2=∠3,∴GB = GO,∵∠5=∠4=∠6,∴CO =CE,∵ FG∥AB,∴AF／CF=BG／CG=GO／CG,又∵△FCO∽△COG,∴CO／CF=GO／CG=AF／CF,∴CO=AF,∵CO=CE,∴AF=CE.6. 在△ABC中,先作角A、B的平分线,再从点C作上二角的平分线值平行线,并连结它们的交点D、E,若DE∥BA,求证:△ABC等腰.证:如图所示设AC、ED的交点为F∵AD是∠A的平分线∴∠1=∠2∵DE∥AB ∴∠1=∠3∵CE∥AD ∴∠3=∠5, ∠4=∠2∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5则△FAD和△FCE是等腰三角形∴AF=DF,EF=CF∴AC=DE同理可证 BC=DE ∴AC=BC∴△ABC 是等腰三角形7. 三条中线把△ABC 分成6个三角形,若这六个三角形的内切圆中有4个相等.求证:△ABC 是正三角形．证明:∵△AOF 、△AOE 、△COD 、△COE 、△BOF 、△BOD 面积都相等∴S △OFB =S △OEC即:21BF ×r+21FO ×r+21BO ×r=21CE ×r+21OE ×r+21OC ×r 21 (BF+FO+BO)×r=21(CE+OE+OC)×r ∴BF+FO+BO=CCE+OE+OC∴CE+OE+OC-OG-OI=CE+OE+OC-OL-OJ ∴2DH+2BH=2FK+2CK ∴2BF=2CE又F 、E 分别为AB 、AC 之中点 ∴AB=AC同理:AB=BC故△ABC 是正三角形.8. 平行四边形被对角线分成四个三角形中,若有三个的内切圆相等 证明:该四边形为菱形.证明:又∵△AO B 、△BOC 、△COD 、△DOA 四个三角形的面积相等()()1122OD DC OC r OB BC OC r ∴++⨯=++⨯ CD OC OD BC OB OC ∴++=++ OD OC DC OE OG OB OC BC OI OG ++--=++-- 2222DF CF BH CH ⇒+=+22DC BCDC BC⇒=⇒=∴四边形为菱形9. 凸四边形被对角线分成4个三角形,皆有相等的内切圆,求证:该四边形是菱形 .证明:连结O 1 、O 2,分别作O 1 、O 2到AC 的垂线,垂足分别为P 、M ∵在△ABC 中,BO 是☉O 1 、☉O 2的公切线 ∴BO ⊥O 1 O 2又∵☉O1 、☉O2半径相同,且都与AC相切∴O1 O2‖AC∴BO⊥AC BD⊥AC∵两个相等的内切圆☉O1 、☉O3在对顶三角形△AOB与△COD中∴周长C△AOB=C△COD∴AO+BO+AB=CO+DO+CD又∵OP=OQ=OM=ON∴（AO+BO+AB)-(OP+OQ)=(CO+DO+CD)-(OM+ON)∴2AB=2CD∴AB=CD同理AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形又∵AC⊥BD∴四边形ABCD是菱形10. 在锐角△ABC中,BD,CE是两高,并自B作BF⊥DE于F,自C 作CG⊥DE于G,证明:EF=DG.证明:设O,M分别是BC,FG的中点,所以OM∥BF,因为BF⊥FG, 所以OM⊥FG,又因为∠BEC=∠BDC=90所以BCDE四点在以BC为直径的圆上,因为OM⊥DE,所以OM平分ED,所以FM-EM=MG-MD即EF=DG.11. △ABC中,M是BC的中点,I是内心,BC与内切圆相切与K. 求证:直线IM平分线段AK.证明:作出∠A的旁切圆O,设它与BC边和AB,BC的延长线分别切于D,E,F,（如图）连接AD交内接圆于L,则因内接圆和旁切圆以A为中点成位似,则:IL⊥BC,即K,I,L共线于是原题借中位线可如下转化MI平分AK,∴M平分DK∴BD=KC后者利用圆I与圆O两条外公切线相等∴EG=FH∴BD+BK=CD+CK则反推过去,得到IM平分线段AK.12．在△ABC中,M是BC的中点,I是内心,A H⊥BC于H,AH交MI 于E,求证:AE与内切圆半径相等.证明:如图所示作△ABC的内切圆,∴切点分别交于BC于点K、AB于点F、AC于点G,连接KL与AC∴KL是直径,又∵M为BC的中点,I为内心,则A L∥ＭＩ又∵A H⊥BC∴A H∥LK又∵点E点I分别都在AH、LK上∴A E∥LI∴四边形AEIL为平行四边形∴A E＝LI命题得证.13. 在矩形ABCD中,M是AD的中点,N是BC的中点,在CD的延长线取P点,记Q为PM与AC的交点,求证:∠QNM＝∠MNP证明:利用矩形的中心设O是矩形ABCD的中心,则O也是MN的中点,延长QN交OC的延长线于R,如图,则O 又是PR的中点,故NC 平分∠PNR.,而NM ⊥NG . ∴NM 平分∠PNQ14. 给定以O 为顶点的角,以及与此角两边相切于A 、B 的圆周,过A 作OB 的平行线交圆于C,连结OC 交圆于E,直线AE 交OB 于K,求证:OK=KB.证明:如图所示,过C 作圆的切线交OB 延长线于D. ∵OD,OA,CD 都是圆的切线,且A C ∥CD ∴四边形ACDO 是等腰梯形,∠DOA=∠D ∵∠BOC=∠ACO,∠ACO=∠OAK ∴∠BOC=∠OAK ∵∠DOA=∠D ∴△AOK ～△ODC ∵21=OD CD ∴21=AO KO ∵OA=OB ∴OB=OA=2KO,即OK=KB15. 在等腰直角∆ABC 的两直角边CA,CB 上取点D 、E 使CD=CE,从C 、D 引AE 得垂线,并延长它们分别交AB 于K 、L,求证:KL=KB.EDC B证明:延长AC至E'使CE'=CE,再连BE'交AE的延长线于H.∵∆ABC是等腰直角三角形∴AC=BC ,∠ACB=∠BCE'=90°又∵CE=CE' ∴∆BCE'≌∆ACE∴∠CAE=∠CBE'∵∠AEC=∠BEH ∴∆BHE∽∆ACE∴∠BHE=∠ACB=90°∵DL∥CK∥E'B及DC=CE'∴KL=LB.16. 点M在四边形ABCD内,使得ABMD为平行四边形,试证:若∠CBM=∠CDM,则∠ACD=∠BCM.证:作AN∥BC且AN=BC,连接DN、NC∵ABMD为平行四边形,AN∥BC且AN=BC∴ABCN、DMCN为平行四边形,AD=BM∴DN=CM、AN=BC∴△ADN≌△BMC∴∠1=∠3,∠2=∠4,∠6=∠7∵∠1=∠2∴∠3=∠4∴A、C、N、D共圆（视角相等）∴∠5=∠7（同弧AD）∴∠5=∠6即∠ACD=∠BCM1∠BDC,求证:△ABC是等17.已知∠ABC=∠ACD=60°,且∠ADB=90°-2腰的.证明:延长CD使得BD＝DE,并连结AE1∠BDC∵∠ADB＝90°－2∴2∠ADB＋∠BDC＝180°又∠BDC＋∠ADB＋∠ADE＝180°∴∠ADB＝∠ADE又∵BD＝DE,AD＝AD∴△ADB≌△ADE∴∠ABD＝∠AED＝60°,AB＝AE又∵∠ACD＝60°∴△ACE为正三角形∴AC＝AE∴AB＝AC∴△ABC为等腰三角形18.⊙O1、⊙O2半径皆为r,⊙O1平行四边形`过的二顶A、B,⊙O 2过顶点B、C,M是⊙O1、⊙O2的另一交点,求证△AMD的外接圆半径也是r. 证明: 设O为MB的终点连接CO并延长⊙O1于E则由对称知O为CE的中点∵O平分MBO平分CE∴MEBC是平行四边形∴∴ME∥BC∥AD∴MEAD亦是平行四边形∴△MAE≌△AMD∴△AMD的外接圆半径也为r19. 在凸五边形ABCDE中,有∠ABC=∠ADE,∠AEC=∠ADB,求证:∠BAC=∠DAE.证明:连接BD,CE,设它们相交于F,如图,∵∠AEC=∠ADB.∴A,E,D,F四点共圆.∴∠DAE=∠DFE.又∠ABC=∠ADE=∠AFE.∴A,B,C,F四点共圆.∴∠BAC=∠BFC.又∠DFE=∠BFC.∴∠BAC=∠DAE.20. 在锐角△ABC中,过各顶点作其外接圆的切线,A、C处的两切线分别交B处的切线于M、N,设BD是△ABC的高（D为垂足）,求证:BD 平分∠MDN.证明:如上图,m、n分别表示过M、N的切线长,再自M作MM’⊥AC 于M’, 作NN’⊥AC于N’,则有∵∠N＝∠B＝∠NCN’∴△MAM’∽△NCN’∴AM’/’CN’=AM/CN=m/n又∵MM’∥BD∥NN’∴M’D/DN’=MB/BN=m/n由等比性质知m/n=(M’D－AM’)/(DN’-CN’)=AD/DC∴△ADM∽△CDN∴DM/DN=m/n即DM/m=DN/n∴BD平分∠MDN21.已知:AD、BE、CF是△ABC的三条高.求证:DA、EB、FC是△DEF 的三条角平分线.证明:连结DF、FE、DE∵C F⊥AB AD⊥BC∴B、D、H、F共圆∴∠1＝∠3∵AD⊥BC BE⊥AC∴B、D、E、A共圆∴∠2=∠3 ∴∠2=∠1 ∴AD 平分∠EDF同理,CF 平分∠EFDBE 平分∠FED即证:DA 、EB 、FC 是△DEF 的三条角平分线22.已知AD 是△ABC 的高,P 是AD 上任意一点,连结BP-CP,延长交AC 、AB 于E 、F,证DA 平分∠EDF.证:过E 、F 两点分别作EH 、FG ,使EH ⊥BC,FG ⊥BC,且交CF 、BE 于I 、J∵EH ⊥BC,AD ⊥BC,FG ⊥BC ∴EH ∥AD ∥FG∴EI EH =AP AD =FJ FG ∴FJ EIFG EH =又∵GDHDPJ EP = ∴△EIP ∽△JFPBCADEFIJP∴PJEPFJ EI =∴△EHD ∽FGD∴∠DFJ =∠DEI ∴∠FDB=∠EDC 即∠ADF=∠ADE 即DA 平分∠EDF23.圆内三条弦PP 1、QQ 1、RR 1、两两相交,PP 1与QQ 1交于B,QQ 1与RR 1交于C,RR 1与PP 1交于A,已知:AP=BQ=CR,AR 1=BP 1=CQ 1,求证:ABC 是正三角形.解:设AP=BQ=CR=m,AR 1=BP 1=CQ 1,则由相交弦定理得｛m(c+n)=n(b+m) m(a+n)=n(c+m)m(b+n)=n(a+m)即ma=nc mb=na mc=nb 三式相加得m=n所以a=b=c 即△ABC 是正三角形24.H 为∆ABC 的垂心,D 、E 、F 分别为BC 、CA 、AB 的中点,一个以H 为心的圆交DE 于P 、Q,交EF 于R 、S,交FD 于T 、V .求证:CP=CQ=AR=AS=BT=BU证明:连结AS 、AR 、RH由相交弦定理知:AH ·HA`=BH ·HB`=CH ·HC` AS 2=AR 2=AK 2+KR 2设O H 的半径为r, 在∆KRH 中,KR 2=r 2-HK 2∴AS 2=r 2+（AK+KH ）·（AK-HK ）=r 2+AH ·(AK-HK)在∆ABC 中,F 、E 为AB 、AC 的中点,且AA ⊥`BC ∴AK=KA`∴AS 2=AR 2=r 2+AH ·HA`同理:BT 2=BU 2=r 2+BH ·HB` CP 2=CQ 2=r 2+CH ·HC`BCHDE FRS T QK C`A `B ` A25、在锐角三角形ABC 中,AD 、BE 、CF 是各边上的高,P 、Q 分别在线段DF 、EF 上,且∠PAQ 与∠DAC 同向相等. 求证:AP 平分∠FPQ证明:作出△APQ 的外接圆,延长PF 交圆于R,分别连结 RA 、RQ 由图可知,AQPR 内接于圆 ∴∠PRQ=∠PAQ=∠DAC=21∠DFE 由外角定理得,∠PRQ+∠FQR=∠DFE ∴FC ∥RQ ∴AF ⊥RQ FR=FQ ∴AF 垂直平分RQ ∴∠ARQ=∠AQR 又AQPR 内接于圆∴∠APQ=∠ARQ ∠APR=∠AQR ∴∠APQ=∠APR ∴AP 平分∠FPQ00090)2()1(,45,30,15.26=∠==∠=∠=∠=∠=∠=∠∆∆BAC ABAC CQP BRP CPQ BPR ARQ AQR PQR C B A PQR 求证：之外，且在、、是任意三角形，27．已知:凹四边形ABCD中,︒B∠45A.求证:AC=BD.D==∠=∠证明: 如图,延长DC交AB于点E,延长BC交AD于点F.∵︒DA=∠45=∠∴且︒DEAE=,AED=∠90又︒B∠45=。