初等几何研究试题答案(1)(李长明版)

初等几何研究试题答案（I）

一、线段与角的相等

1. ⊙O1、⊙O2相交于A、B,⊙O1的弦BC交⊙O2于E,⊙O2的弦BD交⊙O1于F,

求证: （1）若∠DBA=∠CBA,则DF=CE;

(2) 若DF=CE,则∠DBA=∠CBA.

证明:(1)连接AC、AE、AF、AD

在⊙O1中,由∠CBA=∠DBA得AC=AF

在⊙O2中,由∠CBA=∠DBA得AE=AD

由A、C、B、E四点共圆得∠1=∠2

由A、D、B、E四点共圆得∠3=∠4

所以△ACE≌△AFD

∴DF=CE

(2)由（1）得∠1=∠2,∠3=∠4

∵DF=CE

∴△ACE≌△AFD

∴AD=AE

在⊙O2中,由AD=AE可得∠DBA=∠CBA

2. 在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90O,D是AC上的一点,AE⊥BD的延长线于E,又AE=1

BD,

2

求证:BD平分∠ABC.

证明:延长AE,BC交于点F

3. 已知在凸五边形ABCDE中,∠BAE=3α,BC=CD=DE,且∠BCD=∠CDE=180º－2α,

求证:∠BAC=∠CAD=∠DAE.

证明:连接BD,得ΔCBD是等腰三角形

且底角是∠CDB=[180º－(180º－2α)]÷2=α.

∴∠BDE=(180°－2α)-α=180º－3α

∴A、B、D、E共圆

同理A、C、D、E共圆

∴∠BAC=∠CAD=∠DAE

4. 设H为锐角△ABC的垂心,若AH等于外接圆的半径.

求证:∠BAC=60º

证明:过点B作BD⊥BC,交圆周于点D,连结CD、AD

C

∵∠DBC=90º, ∴CD是直径,则∠CAD=90º

由题,可得AH⊥BC, BH⊥AC

∴BD∥AH, AD∥BH ∴四边形ADBH是□

∴AH=BD

又∵AH等于外接圆的半径(R) ∴BD=R,而CD=2R

∴在Rt△BCD中,CD=2BD,即∠BCD=30º

∴∠BDC=60º

又∵∠BAC=∠BDC ∴∠BAC=∠BDC=60º

5. 在△ABC中,∠C=90o,BE是∠B的平分线,CD是斜边上的高,过BE、CD之交点O且平行于AB的直线分别交AC、BC于F、G,求证AF=CE. 证明:如图∵∠1＝∠3,∠1=∠2.∴∠2=∠3,∴GB = GO,

∵∠5=∠4=∠6,∴CO =CE,

∵ FG∥AB,∴AF／CF=BG／CG=GO／CG,

又∵△FCO∽△COG,∴CO／CF=GO／CG=AF／CF,

∴CO=AF,∵CO=CE,∴AF=CE.

6. 在△ABC中,先作角A、B的平分线,再从点C作上二角的平分线值平行线,并连结它们的交点D、E,若DE∥BA,求证:△ABC等腰.

证:如图所示

设AC、ED的交点为F

∵AD是∠A的平分线∴∠1=∠2

∵DE∥AB ∴∠1=∠3

∵CE∥AD ∴∠3=∠5, ∠4=∠2

∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5

则△FAD和△FCE是等腰三角形

∴AF=DF,EF=CF

∴AC=DE

同理可证 BC=DE ∴AC=BC

∴△ABC 是等腰三角形

7. 三条中线把△ABC 分成6个三角形,若这六个三角形的内切圆中有4个相等.

求证:△ABC 是正三角形．

证明:∵△AOF 、△AOE 、△COD 、△COE 、△BOF 、△BOD 面积都相等

∴S △OFB =S △OEC

即:

21BF ×r+2

1

FO ×r+21BO ×r=21CE ×r+21OE ×r+21OC ×r 21 (BF+FO+BO)×r=21

(CE+OE+OC)×r ∴BF+FO+BO=CCE+OE+OC

∴CE+OE+OC-OG-OI=CE+OE+OC-OL-OJ ∴2DH+2BH=2FK+2CK ∴2BF=2CE

又F 、E 分别为AB 、AC 之中点 ∴AB=AC

同理:AB=BC

故△ABC 是正三角形.

8. 平行四边形被对角线分成四个三角形中,若有三个的内切圆相等 证明:该四边形为菱形.

证明:又∵△AO B 、△BOC 、△COD 、△DOA 四个三角形的面积相等

()()11

22OD DC OC r OB BC OC r ∴

++⨯=++⨯ CD OC OD BC OB OC ∴++=++ OD OC DC OE OG OB OC BC OI OG ++--=++-- 2222DF CF BH CH ⇒+=+

22DC BC

DC BC

⇒=⇒=

∴四边形为菱形

9. 凸四边形被对角线分成4个三角形,皆有相等的内切圆,求证:该四边形是菱形 .

证明:连结O 1 、O 2,分别作O 1 、O 2到AC 的垂线,垂足分别为P 、M ∵在△ABC 中,BO 是☉O 1 、☉O 2的公切线 ∴BO ⊥O 1 O 2

又∵☉O1 、☉O2半径相同,且都与AC相切

∴O1 O2‖AC

∴BO⊥AC BD⊥AC

∵两个相等的内切圆☉O1 、☉O3在对顶三角形

△AOB与△COD中

∴周长C△AOB=C△COD

∴AO+BO+AB=CO+DO+CD

又∵OP=OQ=OM=ON

∴（AO+BO+AB)-(OP+OQ)=(CO+DO+CD)-(OM+ON)

∴2AB=2CD

∴AB=CD

同理AD=BC

∴四边形ABCD是平行四边形

又∵AC⊥BD

∴四边形ABCD是菱形

10. 在锐角△ABC中,BD,CE是两高,并自B作BF⊥DE于F,自C 作CG⊥DE于G,证明:EF=DG.