曲线的切线及瞬时速度

如图设该物体在时刻t0的位置是ｓ(t0)＝OA0,在时 刻t0 +Δt 的位置是s(t0+ Δt)=OA1,则从t0 到 t0 +Δt 这段时间内,物体的位移是:
s OA1 OA0 s(t 0 t ) s( t 0 )
在时间段( t0+ Δ t)－ t0 = Δ t 内，物体的平均 速度为: __ s( t 0 t ) s( t 0 ) s
例2:物体作自由落体运动,运动方程为： 1 gt 2 s 2 2.求： 其中位移单位是m,时间单位是s, g=10m/s (1) 物体在时间区间[3,3+△t]上的平均速度； (2) 物体在t=3(s)时的瞬时速度. 1 1 g 2 2 (1)Δs g(3 Δt) g 3 (6 Δt)Δt 2 2 2 __
Δs g v (6 Δt) Δt 2
(2)Δt 0时， 3g v
Δs g v lim lim (6 Δt) 3g 29.4(m/s) Δt 0 Δt Δt 0 2
v
( t 0 t ) t 0

t
如果物体的运动规律是 s=s(t)，那么物体在时 刻t的瞬时速度v，就是物体在t到 t+Δt这段时间内， 当 Δt0 时平均速度:
s s(t t ) s(t ) v(t ) lim lim t 0 t t 0 t
并称之为t时的瞬时速度v(t). 注 此式既是它的定义式,又指明了它的计算 方法, 瞬时速度是路程对时间的变化率.
一、曲线的切线：
如图,曲线C是函数y= f(x) 的图象,P(x0,y0)是曲线C上 y 的任意一 点,Q(x0+Δx,y0+Δy) 为P邻近一点,PQ为C的割 线,PM//x轴,QM//y轴,β为 PQ的倾斜角.
则 : MP x , MQ y ,
O y=f(x) Q
Δy P
β
Δx
M x
f ( x0 x ) f ( x0 ) y k切线 tan lim lim x 0 x x 0 x
注： ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限.
例1:求曲线y=f (x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
f ( x0 x) f ( x0 ) 解 : k lim x 0 x 2 (1 x) 1 (1 1) lim x 0 x 2 2x (x) lim 2. x 0 x
y Δy tan . 表明： 就是割线的斜率. x Δx
请看 当点Q沿 着曲线逐 渐向点P 接近时, 割线PQ绕 着点P逐 渐转动的 情况.
y
y=f(x)
割 线
Q
T 切线
P
o

x
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即 Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把 直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割 线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.
因此,切线方程为y-2=2(x-1), 即y=2x.
y
Q
y = x +1
y
2
P
x
M
1
j
x-1 OFra bibliotek1求曲线在某点处的切线方程的基本步骤 : 先利用切线斜 率的定义求出切线的斜率,然后利用点斜式求切线方程.
二、瞬时速度：
已知物体作变速直线运动,其运动方程为 s ＝ s(t) (ｓ表示位移,t表示时间),求物体在t0时刻的速度．