平面接地导体边界

➢ 第二类边值问题－纽曼（ Neumann ）问题：
已知函数在整个边界面上的法向导数 n S f 。
5 第三章 静电场边值的解法
第三类边值问题（混合边值问题）：
➢已知一部分边界面上的函数值，和另一部 分边界面上函数的法向导数。
S1 f1
n S2 f2
S S1 S2
6 第三章 静电场边值的解法
S
S
所以
φ s φ s φ s 0
φ
2
dV
0
V
C
（2）在边界S上，对于第二类边值问题 f
nwk.baidu.comn
所以
0 n
φ
2
dV
0
V
C
（3）对于第三类边值问题，在一部分边界上有 φ 0
另一部分边界上有
n n
所以
φ
2
dV
0
C
V
13 第三章 静电场边值的解法
【例2.1.1 】两个同心导体球壳之间充满两种介质。
3、唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程（泊 松方程）的理论依据。
当直接求解场方程有困难而采用其它方法求解时，如果能 够找到一个函数，使它满足边值条件，并可证明它也满足 场方程的话，则根据唯一性定理可以确信它即是所要求的 解。
8 第三章 静电场边值的解法
补充：标量格林定理
格林第一定理
[2 ( )]d V ( )d S
代回前一式得
(2 ) dV () d S
V
S
10
第三章 静电场边值的解法
证明：第二定理
令式第一定理中的 和交换位置，得
V [ ( )]d V s() d S
将上式与第一定理相减，求得
[2 2)]d V ( ) d S
V
s
得证
11 第三章 静电场边值的解法
证明（反证法）：
设满足泊松方程的解有两个： ， 即有： 2 / 2 / 令： *
则有： 2* 2 2 2 0
利用格林第一定理：
[2 2 ]dV 2 dV nˆ d S
V
V
S n
12 第三章 静电场边值的解法
（1）在边界S上，对于第一类边值问题 f , f
镜像法理论依据：唯一性定理。 等效电荷一般位于原电荷关于边界面的镜像点处， 故称为镜像电荷。 镜像电荷位置选择原则：
1、镜像电荷必须位于求解区域以外的空间。
2、镜像电荷的引入不能改变原问题的边界条件。
15 第三章 静电场边值的解法
一、平面接地导体边界
1、点电荷对无限大接地平面导体边界的镜像
原问题： 无限大接地导体平面（z=0）, 点电荷q：z = h 求：空间中电位分布。
二、唯一性定理
唯一性定理内容：在场域V的边界面S上给定电位
或者 的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域
n
V内的解唯一。
说明：若对同一面积，同时给定 和 的值，则不
n
存在唯一解。
7 第三章 静电场边值的解法
唯一性定理的意义：
1、指出了静态场边值问题具有唯一解的条件；
2、为静态场边值问题求解方法提供了理论依据， 为结果正确性提供了判据。
3 第三章 静电场边值的解法
第三章 作 业
4.2, 4.6 , 4.9, 4.13, 4.22
4 第三章 静电场边值的解法
3.1 唯一性定理
一、边值问题
❖存在边界面的电磁问题。
❖根据给定边界条件对边值问题分类：
➢ 第一类边值问题－狄里赫利(Dirichlet)问题：
已知电位函数整个边界面上的 f 分布值。 S
第三章 静电场边值问题的解法
什么是静电场的边值问题
一个已知有界区域中的（静）电场的源
E
E 0
及有界区域边界上电场的边界条件，求解电场的问题
可以分为两步求解： 先求解电位，再求电场强度E 求解电位就是求解 满足给定边界（边值）条件下
2 的解。
电位的定解问题又称为电位的边值问题。
1 第三章 静电场边值的解法
◇ 静电场和恒定电场的边值问题，可归结为在给定边 界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程。
◇ 常用的方法
解析法 数值法
直接法 间接法
有限差分法（FD） 有限元方法（FEM） 矩量法（MoM）
2 第三章 静电场边值的解法
本章内容
3.1 唯一性定理 3.2 镜象法 3.3 分离变量法 3.4 点电荷密度的 函 数表示 3.5* 格林函数法 3.6* 有限差分法
(x, y, z) q q q q 4 0r1 4 0r2 4 0r3 4 0r4
z
q
h
x
导体
16 第三章 静电场边值的解法
等效问题
要求：与原问题边界条件相同 原电荷：q: z = h
镜像电荷(等效电荷):-q：z=-h
取消导体边界面，z >0空间媒 质充满整个空间。
q
z
v R
h
v R'
h q
P(x, y, z) x
17 第三章 静电场边值的解法
由等效问题，可以求出在z>0空间内的电位分布为：
qh
2 (x2 y2 h2 )3/ 2 dxdy
0
2 0
2
qh (r2 h2 )3/2
rdrd
qh
q
(r2 h2 )/2 0
即：镜像电荷电量与感应电荷电量相等。
19 第三章 静电场边值的解法
2、点电荷对相交接地平面导体边界的镜像
如图，两半无限大接地导体平面垂直相交。
要满足在导体平面上电位为零，则 必须引入3个镜像电荷。如图所示。
内导体带电，电荷量为Q，外导体球壳接地。求介
质中的场强。
设尝试解：
E1r
A1
r r3
E2 r
A2
r r3
E1t E2t
D1n D2n
S
D dS
S1
1E1 dS
S2
2 E2
dS
Q
A
Q
2π1 2
14
第三章 静电场边值的解法
3.2 镜像法
镜像法基本思路：在所研究的场域外的某些适当 位置，用一些虚拟电荷等效替代导体分界面上 的感应电荷或媒质分界面上的极化电荷的影响。
(x, y, z) q ( 1 1 ) 4 R R '
q(
1
1
)(z 0)
4 x2 y2 (z h)2 x2 y2 (z h)2
讨论：无限大导体分解面上感应电荷总量
s
Dn
En
n
z
z0
qh
2 (x2 y2 h2 )3/ 2
18 第三章 静电场边值的解法
qin
s sds
V
s
令：
[2 ()2 ]d V () d S
V
s
格林第二定理
[2 2)]d V ( ) d S
V
s
9 第三章 静电场边值的解法
证明：第一定理
令，A ,
代入式高斯公式后求得
V () dV s() nˆ d S () dS
又有
() ( ) 2