2020届上海市崇明区高三数学二模试卷(简答)

2020届上海市崇明区高三数学二模试卷

一、填空题

1. 行列式12

34的值等于____________

2. 设集合{}{}|12,B |04A x x x x =−≤≤=≤≤，则A B ⋂=____________

3. 已知复数z

i =，i 为虚数单位，则z =____________ 4. 已知函数()21x f x =+，其反函数为()1y f x −=，则()13f −=____________

5. 已知某圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积等于____________

6. 4

212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含5x 项的系数是____________（用数字作答） 7. 若1sin 23

πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 2α=____________ 8. 已知数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和为n S ，若233433,2a a a a +=+=

，则lim n n S →∞=____________ 9. 将函数()sin f x x =的图像向右平移()0ϕϕ>个单位后得到函数()y g x =的图像，若对满足

()()122f x g x −=的任意12,x x ，12x x −的最小值是3

π，则ϕ的最小值是____________ 10. 已知样本数据1234,,,x x x x 的每个数据都是自然数，该样本的平均数为4，方差为5，且样本数据两两互不相同，则样本数据中的最大值是____________

11. 在ABC 中，()

()3cos ,cos ,cos ,sin AB x x AC x x ==，则ABC 面积的最大值是____________ 12. 对于函数()f x ，其定义域为D ，若对任意的12,x x D ∈，当12x x <时都有()()12f x f x ≤，则称函数

()f x 为“不严格单调增函数”，若函数()f x 定义域为{}1,2,3,4,5,6D =，值域为{}7,8,9A =，则函

数()f x 是“不严格单调增函数”的概率是_____________

二、选择题

13. 若矩阵12a b −⎛⎫ ⎪⎝⎭

是线性方程组321x y x y −=⎧⎨−=⎩的系数矩阵，则（ ） A . 1,1a b ==−

B . 1,1a b ==

C . 1,1a b =−=

D . 1,1a b =−=− 14. 若抛物线2

8y x =的焦点F 与双曲线22

13x y n −=的一个焦点重合，则n 的值为（ ） A . 1− B . 1 C . 2 D . 13

15. 设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为1,i i a a +的矩形的周长()1,2,

i =，则“数列{}n A 为等差数列”的充要条件是（ ）

A . {}n a 是等差数列

B . 1321,,,,

n a a a −或242,,,,n a a a 是等差数列 C . 1321,,,,

n a a a −和242,,,,n a a a 都是等差数列 D . 1321,,,,n a a a −和242,,,,n a a a 都是等差数列，且公差相同

16. 已知函数()22x f x m x nx =⋅++，记集合(){}|0,A x f x x R ==∈，集合

()(){}

|0,B x f f x x R ==∈，若A =B ，且,A B 都不是空集，则m +n 的取值范围是（ ）

A . [)0,4

B . [)1,4−

C . []3,5−

D . [)0,7 三、解答题

17. 如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E 是棱1DD 的中点.

（1）求直线BE 与平面ABCD 所成的角的大小；

（2）求点C 到平面1A BE 的距离.

18. 已知函数()()202

x x a f x a =−>. （1）判断()f x 在其定义域上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；

（2）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由.

19. 某开发商欲将一块如图所示的四边形空地ABCD沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的施工区

域，经测量，边界AB与AD的长都是2千米，∠BAD=60°，∠BCD=120°.

（1）如果∠ADC=105°，求BC的长（结果精确到0.001千米）；

（2）围成该施工区域至多需要多少千米长度的板材?（不计损耗，结果精确到0.001千米）

20. 已知椭圆2

2:12x y Γ+=的右焦点为F ，直线(()

x t t =∈与该椭圆交于点A 、B （点A 位于x 轴上方）

，x 轴上一点C （2,0），直线AF 与直线BC 交于点P . （1）当1t =−时，求线段AF 的长；

（2）求证：点P 在椭圆Γ上；

（3）求证：2

PAC S ≤.

21. 在无穷数列{}n a 中，*n a N ∈，且1

,23,n n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数，记{}n a 的前n 项和为n S .

（1）若110a =，求9S 的值；

（2）若317S =，求1a 的值；

（3）证明：{}n a 中必有一项为1或3.

参考答案

一、填空题

1. 2−

2. [0,2]

3. 1-2i

4. 1

5.

3 6. 32 7. 79− 8. 8 9. 23π 10. 7 11. 3

4 12. 154 二、选择题

13. A 14. B 15. D 16. A

三、解答题

17.（1）arctan 4

（2）23

18.（1）()f x 在其定义域上是增函数，证明略

（2）当1a =时，函数()f x 是奇函数，当1a ≠时，函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数

19.（1）约1.633千米

（2）约6.309千米

20.（1）2

（2）证明略

（3）证明略

21.（1）37

（2）5

（3）证明略