江苏省高等数学竞赛试题汇总

2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级） 一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )

lim

sin x x x x

→-=

2.2

ln(1x y x

=+，/

y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21x

x e dx x

-=⎰

5.4

2

1

1dx x

+∞

=-⎰ 6.圆222222042219

x y z x y z x y z +-+=⎧⎪

⎨++--+≤⎪⎩的面积为

7.(2,)x

z f x y y

=

-，f

可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz ==

8.级数1

1(1)!

2!n n

n n n ∞

=+-∑的和为 . 二.（10分）

设()f x 在[],a b 上连续，且()()b

b

a a

b f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点

(),a b ξ∈，使得()0a

f x dx ξ

=⎰.

三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.

四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求

,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

五（12分）求二重积分()22cos sin D

x y dxdy +⎰⎰，其中

22:1,0,0D x y x y +≤≥≥

六、（12分）求()()21x x y e dx x y dy Γ++++⎰，其中Γ为曲线

222

01

212x x x y x x ⎧≤≤⎨+=≤≤⎩

从()0,0O 到()1,1A -. 七.（12分）已知数列{}n a 单调增加，

123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-

()2,3,

,n =记1

n n

x a

=，判别级数1

n n x ∞

=∑的敛散性.

2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科三级） 一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )

lim

sin x x x x

→-=

2.2arctan tan x y x e x =+，/y =

3.设由y x x y =确定()y y x =，则

dy

dx

= 4.2cos y x =，()()n y x = 5.2

1x

x e dx x -=⎰

6.(2,)x

z f x y y

=

-，f

可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz ==

7设(),f u v 可微，由()22,0F x z y z ++=确定(),z z x y =，则z z x y

∂∂+=∂∂

8.设22:2,0D x y x y +≤≥，则D

=

二.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且

1

10

()()f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点()0,1ξ∈，使得0

()0f x dx ξ

=⎰.

四.（12分）求广义积分4

2

1

1dx x

+∞

-⎰ 五．（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线

ln y x =-与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体

积.

六、（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，

使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。 七（12分）求二重积分()22cos sin D

x y dxdy +⎰⎰，其中

22:1,0,0D x y x y +≤≥≥

2008年江苏省高等数学竞赛题（本科一级） 一．填空题（每题5分，共40分）

1.

a ，

b 时，

2lim arctan 2

x ax x

x

bx

x

2. a ，b 时()

ln(1)

1x

f x ax bx

在0

x

时关于x 的无穷小的阶数最高。

3.

2420

sin cos x xdx

4.通过点1,1,1与直线,2,2

x t y

z

t 的平面方程为

5.设2

2

2,x z

x y 则(2,1)

n

n

z

y =

6.设D 为,0,1y x x y 围成区域，则

arctan D

ydxdy

7.设为2

2

2(0)x y x y

上从(0,0)O 到(2,0)A 的一段弧，则

()()x

x

ye x dx

e xy dy =