定积分的背景教学设计省优质课

定积分的背景

数学王乃雪江西高安二中

【教学目标】

1.知识目标

通过曲边梯形的面积问题、变速直线运动物体的路程问题、变力做功问题理解定积分概念的形成的基本思想，初步了解、感受定积分的实际背景。

2.能力目标

通过探索求曲边梯形的面积的过程，了解用“分割、近似代替、求和、取极限”的步骤分析问题的方法，从而培养学生的逻辑思维能力；体会“以直代曲”，“逼近”的思想，理解用极限的思想方法思考与处理问题，从而培养学生的创新意识。

3. .情感目标

对不同背景下的问题中蕴含的统一数学内涵的过程的揭示，认识到数学与生活的联系和数学在实用性方面的巨大力量，进而对数学中蕴含的理性美产生发自内心的欣赏情感。

【教学重难点】

1.教学重点

了解以直代曲、逼近的数学思想，初步掌握求曲边梯形面积的步骤。

2.教学难点

曲边梯形的不足近似和过剩近似两种近似面积的求法。

【教学过程】

一、创设情境，引入新课

介绍我国魏晋时期的数学家刘徽以及他的“割圆术”：

刘徽(约公元225年—295年)，山东临淄人，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一。他的杰作《九章算术》，是中国最宝贵的数学遗

产，影响、支配中国古代数学的发展1000余年，是

东方数学的典范之一，与希腊欧几里得的《几何原本》所代表的古代西方数学交相辉映。

他对数学的主要贡献是创造十进小数、证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理；定义许多重要数学概念解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题；创造了割圆术，运用极限观念计算圆面积和圆周率。

在右图中的圆内作内接正多边形，通过变量来改变正多边形的边数，用正多边形面积来近似估计圆的面积。

提问：

1.可以用正六边形的面积来表示圆的面积吗？可以用正12边形来表示吗？

2.要使用多边形的面积近似表示圆的面积更精确，应该怎么办？

3.用内接正多边形的面积来表示圆的面积，怎么计算圆周率π？

O

O

圆内接正6边形

圆内接正12边形

刘徽（约公元225年—295年）

割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体无所

失矣。 ——刘徽

二、新课讲授

曲边梯形的概念：

由三条直线x 轴、x=a 、x=b 和一条曲线2

x y =围成的封闭图形，就叫做曲边梯形。

提问：我们知道多边形、圆形、扇形等规则图形的面积求法，那怎么求曲边梯形的面积？

探究一、求曲边梯形的面积

问题1：求由x 轴、直线x=1和曲线2x y =围成图形的面积

（一） 分割

为了计算曲边梯形的面积S ，将它分割成许多小曲边梯形，如下图所示。

（二） 近似代替

图1

图2图3

提问：

1.我们将曲边梯形分割后，可以用图1或者图2中的小矩形的面积和来代替由x 轴、x=a 、x=b 和曲线2x y =围成的图形的面积吗？

2.如果还有比较大的误差，我们可以怎么做使误差变小？

3.将区间[0,1]分的越细，误差越小吗？

在图1和图2中不断增加小矩形的数量，得到的阴影部分的面积会越来越接近由x 轴、直线x=1和曲线2

x y =围成的面积，而图3中的面积会越来越小，直至无限接近于0.因此，只要区间分的够细小，我们就可以用图1或者图2中的矩形的面积来近似代替由x 轴、x=a 、x=b 和曲线

2x y =围成的图形的面积。下面以图1为例求

不足近似的面积。

把区间[0，1]等分成n 个小区间：]1,1

[,],,1[

],2,1[],1

,0[n

n n i n i n n n

--ΛΛ；

每个区间长度为n 1，第i 个小矩形的高度为2)1

(n

i -，所以第i 个小矩形

的面积为2)1

(1n

i n -⨯。

（三） 求和

)12n (n )1n (6

1

n 1])1n (210[n 1]

)1()1()1()0[(1S S S S 3222232

222n 21--⨯=-+⋅⋅⋅+++=-++-+++=+⋅⋅⋅++=n

n n i n n n ΛΛ

（四） 逼近(求极限)

当分割无限变细，即+∞→n 时，3

1

)12n (n )1n (61n 13→--⨯=

S ，所以

所求曲边梯形的面积为3

1。

练习1：仿照上面求不足近似面积的方法求图2中由x 轴、直线x=1和曲线2x y =围成的图形的过剩近似面积

探究二、变速运动的路程问题 提问:

1.匀速直线运动路程公式是什么？

2.若以时间为横坐标，速度为纵坐标建立坐标系，那么路程可以用什么表示？

3.如果是变速直线运动，路程怎么求？

问题2：一辆汽车的司机猛踩刹车，汽车滑行5s 后停下，在这一过程中汽车的速度v 是时间t 的函数：)50(2510)(2≤≤+-=t t t t v ,请估计汽车在刹车过程中滑行的距离s 。

用横坐标表示时间，纵坐标表示速度，可以得到速度关于时间的函数图象如右图所示。

提问:

1. 仿照问题1中的近似方法将时间区间[0,5]5等分，得到的不足近似面积和过剩近似面积分别怎么计算？将区间[0,5]10等分呢？

2. 哪种分法得到的面积误差较小？，如果还要使误差更小，怎么办？

首先将滑行时间5等分，若用)4(),3(),2(),1(),0(v v v v v 近似表示各时