高考数学(理)二轮练习【专题5】(第1讲)空间几何体(含答案)

第1讲空间几何体

考情解读 1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算.2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题．

1．四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系

2．空间几何体的三视图

(1)三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影形成的平面图形．

(2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样．

(3)画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．看不到的线画虚线．3．直观图的斜二测画法

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则：

(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．

4．空间几何体的两组常用公式 (1)柱体、锥体、台体的侧面积公式： ①S 柱侧＝ch (c 为底面周长，h 为高)； ②S 锥侧＝1

2

ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)；

③S 台侧＝1

2(c ＋c ′)h ′(c ′，c 分别为上，下底面的周长，h ′为斜高)；

④S 球表＝4πR 2(R 为球的半径)． (2)柱体、锥体和球的体积公式： ①V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； ②V 锥体＝1

3Sh (S 为底面面积，h 为高)；

③V 台＝1

3(S ＋SS ′＋S ′)h (不要求记忆)；

④V 球＝4

3

πR 3.

热点一 三视图与直观图

例1 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A.83 B ．8 C.323

D ．16

(2)(2013·四川)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )

思维启迪 (1)根据三视图确定几何体的直观图；(2)分析几何体的特征，从俯视图突破． 答案 (1)B (2)D

解析 (1)由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图：

则该几何体的体积V ＝1

2×2×2×4＝8.

(2)由俯视图易知答案为D.

思维升华 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．

(1)(2013·课标全国Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别

是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )

(2)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )

答案 (1)A (2)D

解析 (1)根据已知条件作出图形：四面体C 1－A 1DB ，标出各个点的坐标如图(1)所示，可以看出正视图为正方形，如图(2)所示．故选A.

(2)如图所示，点D 1的投影为C 1，点D 的投影为C ，点A 的投影为B ，故选D.

热点二 几何体的表面积与体积

例2 (1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A.2π B ．22π C.π3

D.2π3

(2)如图，在棱长为6的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在C 1D 1与C 1B 1上，且C 1E ＝4，C 1F ＝3，连接EF ，FB ，DE ，则几何体EFC 1－DBC 的体积为( )

A ．66

B ．68

C ．70

D ．72

思维启迪 (1)由三视图确定几何体形状；(2)对几何体进行分割． 答案 (1)D (2)A

解析 (1)由三视图知，原几何体是两个相同的圆锥的组合，∴V ＝(13×π×12)×2＝23π.

(2)如图，连接DF ，DC 1，那么几何体EFC 1－DBC 被分割成三棱锥D －

EFC 1及四棱锥D －CBFC 1，那么几何体EFC 1－DBC 的体积为V ＝13×12×3×4×6＋13×1

2×(3

＋6)×6×6＝12＋54＝66.

故所求几何体EFC 1－DBC 的体积为66.

思维升华 (1)利用三视图求解几何体的表面积、体积，关键是确定几何体的相关数据，掌握应用三视图的“长对正、高平齐、宽相等”；(2)求不规则几何体的体积，常用“割补”的思想．

多面体MN －ABCD 的底面ABCD 为矩形，其正视图和侧视图如图，其中正视图

为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该多面体的体积是( )

A.16＋3

3

B.8＋63

3

C.163

D.203

答案 D

解析 过M ，N 分别作两个垂直于底面的截面，将多面体分割成一个三棱柱和两个四棱锥，由正视图知三棱柱底面是等腰直角三角形，面积为S 1＝1

2×2×2＝2，高为2，所以体积为V 1

＝4，两个四棱锥为全等四棱锥，棱锥的体积为V 1＝2×13×2×1×2＝8

3，所以多面体的体积为

V ＝83＋4＝20

3，选D.

热点三 多面体与球

例3 如图所示，平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体ABCD ，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )

A.

32π B ．3π C.2

3

π D ．2π 思维启迪 要求出球的体积就要求出球的半径，需要根据已知数据和空间位置关系确定球心的位置，由于△BCD 是直角三角形，根据直角三角形的性质：斜边的中点到三角形各个顶点的距离相等，只要再证明这个点到点A 的距离等于这个点到B ，C ，D 的距离即可确定球心，进而求出球的半径，根据体积公式求解即可．