大一高数知识点与例题讲解

大一高数

函数与极限

第一节函数

○函数基础(高中函数部分相关知识)(★★★)

○邻域(去心邻域)(★)

第二节数列得极限

○数列极限得证明(★)

【题型示例】已知数列,证明

【证明示例】语言

1.由化简得,

∴

2.即对,,当时,始终有不等式成立,

∴

第三节函数得极限

○时函数极限得证明(★)

【题型示例】已知函数,证明

【证明示例】语言

1.由化简得,

∴

2.即对,,当时,始终有不等式成立,

∴

○时函数极限得证明(★)

【题型示例】已知函数,证明

【证明示例】语言

1.由化简得,

∴

2.即对,,当时,始终有不等式成立,

∴

第四节无穷小与无穷大

○无穷小与无穷大得本质(★)

函数无穷小

函数无穷大

○无穷小与无穷大得相关定理与推论(★★)

(定理三)假设为有界函数,为无穷小,则

(定理四)在自变量得某个变化过程中,若为无穷大,则为无穷小;反之,若为无穷小,且,则为无穷大【题型示例】计算:(或)

1.∵≤∴函数在得任一去心邻域内就是有界得;

(∵≤,∴函数在上有界;)

2.即函数就是时得无穷小;

(即函数就是时得无穷小;)

3.由定理可知

()

第五节极限运算法则

○极限得四则运算法则(★★)

(定理一)加减法则

(定理二)乘除法则

关于多项式、商式得极限运算

设:

则有

(特别地,当(不定型)时,通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值,也可以用罗比达法则求解)

【题型示例】求值

【求解示例】解:因为,从而可得,所以原式

其中为函数得可去间断点

倘若运用罗比达法则求解(详见第三章第二节):

解:

○连续函数穿越定理(复合函数得极限求解)(★★)

(定理五)若函数就是定义域上得连续函数,那么,

【题型示例】求值:

【求解示例】

第六节 极限存在准则及两个重要极限

○夹迫准则(P53)(★★★)

第一个重要极限:

∵,∴

(特别地,)

○单调有界收敛准则(P57)(★★★)

第二个重要极限:

(一般地,,其中)

【题型示例】求值:

【求解示例】

()()211121212122121122122121lim 21221232122lim lim lim 121212122lim 1lim 121212lim 121x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++→∞→∞+→∞⋅++++⋅⋅+++→∞+→∞++→∞+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣

⎦⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣

⎦解：()()12lim 1212121212122lim 121x x x x x x x x x e e e e

+→∞⎡⎤⋅+⎢⎥+⎣⎦+→∞+→∞⎡⎤⋅+⎢⎥+⎣⎦+⎛⎫ ⎪+⎝⎭

==== 第七节 无穷小量得阶(无穷小得比较)

○等价无穷小(★★)

1.

2.

(乘除可替,加减不行)

【题型示例】求值:

【求解示例】

()()()()()()()3131lim 31lim 31ln 1lim 31ln 1ln lim ,0,000020=++=+⋅+=++⋅+=++++=≠→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 所以原式即解：因为 第八节 函数得连续性

○函数连续得定义(★)

○间断点得分类(P67)(★)

(特别地,可去间断点能在分式中约去相应公因式)

【题型示例】设函数 ,应该怎样选择数,使得成为在上得连续函数？

【求解示例】

1.∵

2.由连续函数定义

∴

第九节闭区间上连续函数得性质

○零点定理(★)

【题型示例】证明:方程至少有一个根介于与之间

【证明示例】

1.(建立辅助函数)函数在闭区间上连续;

2.∵(端点异号)

3.∴由零点定理,在开区间内至少有一点,使得,即()

4.这等式说明方程在开区间内至少有一个根

第一章导数与微分

第一节导数概念

○高等数学中导数得定义及几何意义(P83)(★★)

【题型示例】已知函数,在处可导,求,

【求解示例】

1.∵,

2.由函数可导定义

∴

【题型示例】求在处得切线与法线方程

(或:过图像上点处得切线与法线方程)

【求解示例】

1.,

2.切线方程:

法线方程:

第二节函数得与(差)、积与商得求导法则

○函数与(差)、积与商得求导法则(★★★)

1.线性组合(定理一):

特别地,当时,有

2.函数积得求导法则(定理二):

3.函数商得求导法则(定理三):

第三节反函数与复合函数得求导法则

○反函数得求导法则(★)

【题型示例】求函数得导数

【求解示例】由题可得为直接函数,其在定于域上单调、可导,且;∴○复合函数得求导法则(★★★)

【题型示例】设,求

【求解示例】