高数第一章函数与极限

函数例子：
圆的面积 A r2 r 0,
自由落体 S 1 gt2 2
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定义: 设 x 和 y 是两个变量， x 在一个给定的数集D中取值，
若 对每一x D,
y按照一定的法则总有一个确定的数值和x 的这个值对应, 则称 y 是x 的函数， 记作
y f (x)
D叫作函数定义域， x 叫作自变量， y 叫作因变量 。
天
高等数学
生 我 材
必
有
直用
挂
云
帆
济
沧
海
1
叨叨两句
1、适应初等数学到高等数学的转变。 2、适应直接面授到多媒体教学的转变。 3、适应教学管理模式的转变。 4、适应左脑学习到全脑学习的转变。 5、学习“学习的方法”。
2
作业要求
1、每次作业必须交，自己独立完成！ 2、字迹一定工整清楚，计入平时作业成绩！ 3、出勤与作业构成平时成绩。 4、最后成绩是期末考试成绩跟平时成绩综综合, 所占比例分别为0.8与0.2.
W { y y f ( x), x D}叫作函数的值域。
y x x0 f ( x0 )叫作函数在 x x0处的函数值。
说明: 1. 不同的函数可以用 F ( x), g( x), ( x)等表示.
例如 圆的面积 A r 2 ; 周长 C 2r,这里 r 0 是圆半径.
数(关2系) . x y
按”>”关系这种对应,任意x,都有无穷多y 值
与之对应.这与函数的定义不符,所以不是函数关系.
(3) y f ( x) C 常数 x是整数. 是
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两个函数相同的定义：定义域，对应法则相同
(1) 函数 y x 与 y x2 是否是相同的 函数关系 ? x
恒有
y
f (x1) f (x2 ) ，
y f (x)
则称 f (x) 在 I 内单调减少。 y
y f (x)
f (x1) f (x2 )
f (x1) f (x2 )
o x1
x2
Biblioteka Baidu
x
o
x1 x2
x
例. 确定函数的单调区间 (1) y x3 (2) y x4
x2 y2 r2 [r, r] y r2 x2
以后如果没有特殊说明的话，函数都是单值函数。
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2、 函数的几种特性
函数的奇偶性
设f (x)的定义域 D 关于原点对称(即x D， x D), x D
若恒有f (-x) = f (x) ，则称 f (x) 在 D 内为奇函数 ;
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1、 函数概念
常量与变量
常量: 在一定过程中保持不变的量(常用a、b、c等表示） 变量: 随过程而变化的量（常用x、y、z等表示） 常量在数轴上的图像：一个定点 变量在数轴上的图像：一个点集
例如，如果变量 x 的所有取值的全体组成区间 (a, b],
则 x 就表示数集 (a,b] x a x b 中的任何点的符号.
函数的连续性与间断点 连续函数的运算法则，初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质
课程的主 要内容是 微积分及 其应用,
微积分的 基础就是:
极限
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第1节 函 本节要点 数常量与变量
函数概念
函数的表示法
函数
函数的几种特性 反函数与复合函数
初等函数
重点:
基本的概念与定义,要求必须理
勿解以简单而不屑,任何高深知识都是积累起来的
y

x

x, x,
x0 x0
x
y x
D (,), W [0,)
例 1与例3所给函数称为分段函数.
o
x
分段函数 有的函数在其整个定义域上不能用一个统一的解
析式来表示，而是在定义域的几个不重叠的部分，分别用几个
不同的解析式来表示，这样的函数称为分段函数.
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单值函数：自变量在定义域内取一个数值时，函数值只有一个 多值函数： 一个自变量对应多个函数值 多值函数的例子：
5、数学学习作业非常重要！
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0.9 0.999 <? 1
究竟谁大? > ? < ? = ?
^_^
如果后者大,那比前者大多少?
那么是相等吗?
想知道里边的奥秘吗?那就跟我进入数学的世界吧!
0.9 1
1 0.9 0.00

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数学——研究数和空间图形及其相互关系的科学。
自然科学 ——数学
若恒有f (- x) = f (x) ， 则称f (x) 在 D 内为偶函数 .
偶函数的图形关于
y
y
轴对称，奇函数的y 图形关于原点对称.
y x3
0
x
0
x
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函数的单调性
设 f (x) 在区间I上有定义，若x1, x2 I , 当 x1 x2 ,
恒有 f (x1) f (x2 ) ， 则称 f (x) 在 I 内单调增加。
(2) y x与 y x2 是否是相同的函数关系 ? (1) (2) 都不是相等的函数关系.
函数的表示 y f (x)
函数的对应法则
可用不同的形式表
达:
1. 解析法 2. 表格法 3. 图形法
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函数的图形: 平面点集
C {(x, y) | y f (x), x D} 称为函数 y f (x) 的图形,
我们可用不同的对应法则 A f (r) r 2 ,C g(r) 2r.
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a. 例 y ax b, y 1 , y 1 . b. 如上
x
1 x2
例
S

r
2
例 确定下列关系是否是函数关系
(1) y arcsin(2 x2 )
对任何实数x ,都没有按给定的法则与之对 应的y值.函数的定义域不能为空集,所以此例不是函
一般是一条或几条曲线.
W表示函数y=f(x)的值域 下面看几个函数具体的例子
y
wy
o
Y=f(x) （x,y）
x
x D
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例 1 符号函数
1, y sgn x 0,
1,
x0 x0 x0
1y
o
-1
定义域 D (,) 值域 W {1, 0,1}
y
例 2自学. 例 3 绝对值函数
科学
社会科学
初等数学 ——代数、几何、三角、解析几何 数学科学
高等数学 ——微积分、空间解析几何、
（数学分微析积）分—用极限研究函数
微分方程、无穷级数 一元函数微积分
多元函数微积分
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第1章 函数与极限
第1节 函数（初等函数）
高等数学
第2节 第3节
极限： 数列的极限，函数的极限，
无穷小与无穷大， 极限运算法则， 极限存在准则，两个重要极限 无穷小的比较. 连续: