3第三章 流体运动学
第三章流体运动学
机械工程学院
第三章 流体运动学
研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转速等随时间和 空间坐标的变化规律，不涉及力的具体作用问题。但从中得出 的结论，将作为流体动力学的研究奠定基础。
第1节 研究流体运动的两种方法
第2节 流体运动学的基本概念 第3节 流体运行的连续方程 第4节 相邻点运动描述――流体微团的运动分析
特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且 还与时间有关。
即：
（） 0 t
3.2 基本概念
二、均匀流动与非均匀流动
1. 均匀流动
流场中各流动参量与空间无关，也即流场中沿流程的每一个断面 上的相应点的流速不变。位不变
v v ( x, y, z, t ) p p( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
由于空间观察点（x,y,z）是固定的，当某个质点
从一个观察点运动到另外一个观察点时，质点位移是 时间t的函数。故质点中的（x,y,z,t）中的x,y,z不是 独立的变量，是时间的函数：
x x (t ) y y (t ) z z (t )
所以，速度场的描述式：
u x u x {x（t） , y（t） , z（t） , t} u y u y {x（t） , y（t） , z（t） , t} u z u z {x（t） , y（t） , z（t） , t}
v2
s1
s2
v1
折点
v2
s
强调的是空间连续质点而不是某单个质点
1. 定义 流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。 v v ( x) 一维流动 v v ( x, y ) 二维流动 v v ( x, y , z ) 三维流动
流体力学-第三章
二 均匀流和非均匀流 渐变流和急变 流
按各点运动要素（主要是速度）是否随位置变化，可将流体 运动分为均匀流和非均匀流。在给定的某一时刻，各点速度 都不随位置而变化的流体运动称均匀流。均匀流各点都没有 迁移加速度，表示为平行流动，流体作匀速直线运动。反之， 则称为非均匀流。
按限制总流的边界情况，可将流体运动分为有压流、无压流和射 流。
边界全为固体的流体运动称为有压流或有压管流。 边界部分为固体、部分为气体，具有自由表面的液体运动称为 无压流或明渠流。 流体经由孔口或管嘴喷射到某一空间，由于运动的流体脱离了 原来限制他的固体边界，在充满流体的空间继续流动的这种流 体运动称为射流。
四 三维流（三元流）、二维流（二元流）、一维流（一元流）
按决定流体的运动要素所需空间坐标的维数或空间坐标变量的 个数，可将流体运动分为三维流、二维流、一维流。
若流体的运动要素是空间三个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为三维流或三元流。
若流体的运动要素是空间两个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为二维流或二元流。
拉格朗日法来研究流体运动，就归结为求出函数x（a, b, c, t）, y (a, b, c, t), z (a, b, c, t)。（1）由于流体运动的复杂，要想求 出这些函数是非常繁复的，常导致数学上的困难。（2）在大多 数实际工程问题中，不需要知道流体质点运动的轨迹及其沿轨迹 速度等的变化。（3）测量流体运动要素，要跟着流体质点移动 测试，测出不同瞬时的数值，这种测量方法较难，不易做到。
3 脉线
脉线又称染色线，在某一段时间内先后流过同一空间点的所 有流体质点，在既定瞬时均位于这条线上。
在恒定流时，流线和流线上流体质点的迹线以及脉线都相互 重合。
第三章流体运动学和动力学基础 PPT
1786年,她接受法王路易十六得邀请,定居巴黎,直至去世。近 百余年来,数学领域得许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉 格朗日得工作。
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
ay
vy t
vx
vy x
vy
vy y
vz
vy z
az
vz t
vx
vz x
vy
vz y
vz
vz z
矢量形式
一、 Euler法(欧拉法)
质点加速度:
a dv v (v )v dt t
当地加速度
迁移加速度
第一部分:就是由于某一空间点上得流体质点得速度 随时间得变化而产生得,称为当地加速度
✓2、 欧拉变数:对于三元流动,各运动要素就是空 间点得坐标(x,y,z)与时间t得函数,不同得(x,y,z)即 表示空间中不同得点,通常称(x,y,z)为欧拉变数。
一、Euler法(欧拉法)
3、 物理量方程: 研究表征流场内流体流动得各种物理量得
矢量场与标量场。
压强、密度、温度为: p p(x, y, z, t)
(1) 在定常流动中,流线不 随时间改变其位置与形状, 流线与迹线重合。在非定 常流动中,由于各空间点上 速度随时间变化,流线得形 状与位置就是在不停地变 化得。
(2) 通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线, 一般情况流线不能相交与分支。
(3) 流线不能突然折转,就是一条光滑得连续曲线。
工程流体力学-第三章
四、有效断面、流量和平均流速
1. 有效断面 流束中处处与速度方向相垂直的横截面称为该流束的有效断面， 又称过流断面。 说明：
（1）所有流体质点的
速度矢量都与有效断面 相垂直，沿有效断面切
向的流速为0。
（2）有效断面可能是 平面，也可能是曲面。
2. 流量
(1) 定义：单位时间内通过某一过流断面的流体量称为流量。
压强的拉格朗日描述是：p=p(a,b,c,t)
密度的格朗日描述是：
(a, b, c, t)
二、欧拉法（Euler）
1. 欧拉法：以数学场论为基础，着眼于任何时刻物理量在场上 的分布规律的流体运动描述方法。 2. 欧拉坐标（欧拉变数）：欧拉法中用来表达流场中流体运动 规律的质点空间坐标(x,y,z)与时间t变量称为欧拉坐标或欧拉变 数。
（1）x,y,z固定t改变时， 各函数代表空间中某固
定点上各物理量随时间
的变化规律； （2）当t固定x,y,z改变 时，它代表的是某一时 刻各物理量在空间中的 分布规律。
密度场
压力场
( x, y , z , t )
p p ( x, y , z , t ) T T ( x, y , z , t )
u y du z du z ( x, y , z , t ) u z u z u z az ux uy uz dt dt t t t t du u a (u )u dt t
在同一空间上由于流动的不稳定性引起的加速度，称 为当地加速度或时变加速度。 在同一时刻由于流动的不均匀性引起的加 速度，称为迁移加速度或位变加速度。
一元流动
按照描述流动所需的空间坐标数目划分
二元流动
三元流动
工程流体力学-第三章
三、流管、流束和总流
1. 流管：在流场中任取一不是流 线的封闭曲线L，过曲线上的每 一点作流线，这些流线所组成的 管状表面称为流管。 2. 流束：流管内部的全部流体称 为流束。 3. 总流：如果封闭曲线取在管道 内部周线上，则流束就是充满管 道内部的全部流体，这种情况通 常称为总流。 4. 微小流束：封闭曲线极限近于 一条流线的流束 。
ax
dux dt
dux (x, y, z,t) dt
ux t
ux
ux t
uy
ux t
uz
ux t
ay
du y dt
duy (x, y, z,t) dt
u y t
ux
u y t
uy
u y t
uz
u y t
az
du z dt
duz (x, y, z,t) dt
x x(a,b,c,t)
y y(a,b,c,t)
z z(a,b,c,t)
欧拉法中的迹线微分方程
速度定义
u dr (dr为质点在时间间隔 dt内所移动的距离) dt
迹线的微分方程
dx dt
ux (x, y, z,t)
dy dt uy (x, y, z,t)
dz dt uz (x, y, z,t)
说明： （1）体积流量一般多用于表示不可压缩流体的流量。 （2）质量流量多用于表示可压缩流体的流量。
(3) 质量流量与体积流量的关系
Qm Q
(4) 流量计算 单位时间内通过dA的微小流量
dQ udA
通过整个过流断面流量
Q dQ udA A
水力学 第三章 流体运动学
4
2、速度(velocity)
x xa , b, c, t ux t t y y a , b, c, t uy t t z z a , b, c, t uz t t
（1）若(a，b，c)为常数，t 为变数，可得某个指定质点在任何 时刻的速度变化情况 。 （2）若 t 为常数，(a，b，c)为变数，可得某一瞬时流体内部各 质点的速度分布。
ux
u y
uy
u y
uz
u y
斯托克斯(Stokes) 表示式
Du u a (u )u Dt t
全加速度， 随体导数， 质点导数， （material derivative) 当地加速度， 时变导数 (Local derivative) 迁移加速度， 位变导数 (Convective derivative)
拉格朗日法的优点：物理意义较易理解 。 拉格朗日法的缺点：函数求解繁难；测量不易做到。
§3-1 描述流体运动的两种方法
6
3-1-2 欧拉法
一、欧拉法（Euler Method）
从分析通过流场中某固定空间点的流体质点的运动着手，设法 描述出每一个空间点上流体质点运动随时间变化的规律。 运动流体占据的空间，称流场(flow field)。通过流场中所有 空间点上流体质点的运动规律研究整个流体运动的状况，又称流场 法。
15
例3-1 已知流体质点的运动，由拉格朗日变数表示为: (t ) (t ) x a cos 2 b sin 2 2 a b a b2 (t ) (t ) y b cos 2 a sin 2 2 a b a b2 式中， (t ) 为时间，的某一函数。试求流体质点的迹线。
第三章流体运动学
于是，对（3-1）式，速度表示为
d x x x(a, b, c, t ) vx x(a, b, c, t ) d t t t d y y y (a, b, c, t ) vy y(a, b, c, t ) d t t t d z z z (a, b, c, t ) vx z (a, b, c, t ) d t t t
vz 0
解：由vz=0，为二元流动，代入流线方程
dx 2 dy 2 2 (x y ) (x y2 ) ky kx
y v vy vx o x
k 0, x d x y d y 0
积分：
x y C
2 2
为以原点为圆心的圆。 因k>0，则 当x 0, y 0时
vx 0, v y 0
4、过流断面、湿周、水力半径、当量直径
与流束或总流中所有流线均垂直的断面，称过 流断面，面积用A表示。 在总流的过流断面上，与流体相接触的固体壁 面边壁周长称湿周，用χ表示[kai]。 总流过流断面积与湿周之比称水力半径，用R表 示。
4倍总流过流断面积与湿周之比称当量直径，用 de表示。
对圆管半充满
（3-4）
在不同时刻，给点上的原质点由其它质点替换而 出现不同，欧拉法不随质点走，只固定位置。 欧拉法应先确定v的表达式，而拉格朗日法先确 定x，y，z的关系式，然后给出速度。虽然变量 不同，但描述的核心不变，只是方法不同，数 学表达不同罢了。
其向量表示为：a v (v )v t
( vx ) v x vx x x x
( v y ) y vy y y v y
（3-9）
即为直角坐标系下的连续性方程。
水力学-第3章流体运动学 - 发
dx dy ux (x, y, z,t) uy (x, y, z,t)
将两个分速度代入流线微分方程（上式），得到
dx dy ky kx
xdx ydy 0 积分 x2 y2 c
即流线簇是以坐标原点为圆心的同心圆。
流线的基本特性
• 流线的特性 – 流线一般不相交
§3.1 研究流体运动的两种方法
怎样描述整个流体的运动规律呢？
拉格朗日法
欧拉法
§3.1 研究流体运动的两种方法
1.拉格朗日法
拉格朗日法: 从分析流体质点的运动入手，设法描述出每一 流体质点自始至终的运动过程，即它们的位置随时间变化的 规律，综合流场中所有流体质点的运动情况，来获得整个流 体运动的规律。
§3.1 研究流体运动的两种方法 迹线、流线和脉线
• 迹线
– 一个流体质点在一段连续时间内在空间运动的轨迹
线，它给出同一质点在不同时刻的速度方向
• 迹线方程
拉格朗日法
欧拉法
x x(a,b,c,t) y y(a,b,c,t)
z z(a,b,c,t)
a,b,c确定后，消去t 后可得迹线方程
dx uxdt dy uydt dz uzdt
(x, y, z) :
(a, b, c , t ) :
质点起始坐标 任意时刻 质点运动的位置坐标 拉格朗日变数
欧拉法
(x, y, z) : t:
(x, y, z , t ) :
空间固定点（不动） 任意时刻 欧拉变数
§3.1 研究流体运动的两种方法
液体质点通过任意空间坐标时的加流速
a x
du ( x, y, z, t) x dt
第三章-流体运动学
实质：质量守恒
o点的速度为 u(x, y, z), 其分量为 u x，u y，u z 分析在dt时间内，沿ox方向流入和流出控制体的流体质量。
abcd面，M点沿ox方向的速度用泰勒级数前两项表示
uMx
ux
1 2
u x x
dx
dt时间内，由abcd面流入控制体的流体质量为：
（2）迹线方程及t=0时过（0，0）点的迹线。
解：（1）流线： y bt x c a
积分： dx dy
a bt
——流线方程
y c=2
c=1
c=0
o
x
t=0时流线
y c=2
c=1
c=0
o
x
t=1时流线
c=2
y
c=1
c=0
o
x
t=2时流线
（2）迹线：dx dy dt
a bt
即
dx dt a
第三章 流体运动学
主要内容 流体运动的描述 欧拉法的基本概念 连续性方程
流体运动的描述
§3-1 描述流体运动的两种方法 流体运动实际上就是大量流体质点运动的总和。
描述流体的运动参数在流场中各个不同空间位置上随时间 连续变
化的规律。
1.拉格朗日法 着眼于流场中具体流体质点的运动，即跟踪每一个流体质点，分
运动参数只是一个空间坐标和时间变量的函数，仅沿着流 动方向变化的流动，比如管道和渠道内的流动。
（2）二元(二维)流动
运动参数只是两个空间坐标和时间变量的函数，比如 水流绕过很长的圆柱体。
（3）三元(三维)流动
以空间为标准，各空间点上的运动参数是三个坐标和 时间变量的函数。
3.流线 ： 某时刻流动方向的曲线，该曲线上各质点的速度矢量都
《水力学》课件——第三章 流体运动学
是否是接
均匀流 否
？
渐变流
流线虽不平行，但夹角较小； 流线虽有弯曲，但曲率较小。
急变流
流线间夹角较大； 流线弯曲的曲率较大。
• 渐变流和急变流是工程意义上对流动是否符合均匀流条件的
划分，两者之间没有明显的、确定的界限，需要根据实际情况
来判定
急变流示意图
五. 流动按空间维数的分类
一维流动 二维流动 三维流动
• 根据流线的定
• 在非恒定流情况下，流
义，可以推断：除
线一般会随时间变化。在
非流速为零或无穷
恒定流情况下，流线不随
大处，流线不能相
时间变，流体质点将沿着
交，也不能转折。
流线走，迹线与流线重
合。
• 迹线和流线最基本的差别是：迹线是同一流
体质点在不同时刻的位移曲线，与拉格朗日观
点对应，而流线是同一时刻、不同流体质点速
• 由确定的流体质点组成
的集合称为系统。系统在 运动过程中，其空间位 置、体积、形状都会随时 间变化，但与外界无质量 交换。
• 有流体流过的固定不变
的空间区域称为控制 体，其边界叫控制面。 不同的时间控制体将被 不同的系统所占据。
• 通过流场中某曲面 A 的流速通量
u nd A
A
称为流量，记为 Q ，它的物理意 义是单位时间穿过该曲面的流体 体积，所以也称为体积流量，单 位为 m3/s .
n A
dA
u
• u n d A 称为质量流量，记为Qm，单位为 kg/s . 流量计算
A
公式中，曲面 A 的法线指向应予明确，指向相反，流量将反
s s — 空间曲线坐标
元流是严格的一维流动，空间曲线坐标 s 沿着流线。
第3章流体运动学上PPT课件
3.2 描述流体运动的两种方法
3.2.1 Lagrange法
1.基本思想：跟踪每个流体质点的运动全过程，记录 它们在运动过程中的各物理量及其变化
2.拉格朗日变数：（a,b,c,t）——区分流体 质点的标志
3.质点物理量：B(a,b,c,t)， 如：
pp(a,b,c,t) (a,b,c,t)
3.2 描述流体运动的两种方法
3.2 描述流体运动的两种方法
3.2.0 流体质点和空间点
•流体质点：是个物理点，它是在 两者相互关系：流场
连续介质中取出的，在几何尺寸 中空间某一点，先后由 上无限小，可以看作一点，但包 不 同 的 流 体 质 点 所 占 含许多分子，具有一定物理量。 据；流体质点物理量会
发生变化，而空间点是
•空间点：几何点，表示空间位置 不动的。
Reynolds数的物理意义：
惯性力 Re 粘性力
惯性使扰动放大，导致湍流，粘性抑制扰动使流动保持稳定。 当 Re 时，流动趋于理想流体运动。
2. 机翼绕流风洞试验
机翼绕流流场的特点：
流线(streamline)： 上翼面：流线密 下翼面：流线稀
(a) Re~1
3. 卡门涡街(Karman vortex street)
第3章 流体运动学
(Fluid Kinematics)
第3章 流体运动学
从几何的观点研究流体的运动，不 讨论运动产生的动力学原因。
ma F
rrx,y,z,t vvx,y,z,t aax,y,z,t
3.1 流动图形观察 (flow visualization)
观察几个典型流动，感受实际流动现象和特征。 圆管流动——流动状态 机翼绕流——升力、阻力 圆柱绕流——涡激振荡
3工程流体力学 第三章流体运动学基础
个流动区域上的所有质点的流动。
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续16）
三、湿周、水力半径
1.湿周x 在总流过流断面上，液体与固体相接触的线
称为湿周。用符号x 表示。
2.水力半径R
总流过流断面的面积A与湿周的比值称为水Βιβλιοθήκη 力半径。R A x
注意：水力半径与几何半径是完全不同的两个概念。
这是两个微分方程，其中 t 是参数。 可求解得到两族曲面，它们的交线就是 流线族。
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续10）
例3-1 已知直角坐标系中的速度场 u=x+t； v= -y+t；w=0,
试求t = 0 时过 M(-1,-1) 点的流线。
解：由流线的微分方程：
dx d y dz u vw
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续5）
因为u不随t变，所以同一点的流线 始终保持不变。即流线与迹线重合。
某点流速的方向是
流线在该点的切线方向 A
B
流速的大小由流 线的疏密程度反映
uA=uB ?
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续6）
迹线与流线方程 采用拉格朗日方法描述流动时，质
点的运动轨迹方程:
试求t = 0 时过 M(-1,-1) 点的迹线。
解：由迹线的微分方程：
dx d y dz dt u vw
u=x+t；v=-y+t；w=0
dx xt dt
d y y t
dt
求解
x C1 et t 1
t = 0 时过 M(-1,-1)：C1 = C2 = 0 y C2 et t 1 x= -t-1 y= t-1 消去t，得迹线方程： x+y = -2
流体力学第3章流体运动学
第3章流体运动学选择题:.2dr v【3.1】用欧拉法表示流体质点的加速度a等于：（a）dt2；（b）t；（c）（v ）v；v（V ）v（d）t odv va —— v解：用欧拉法表示的流体质点的加速度为dt t v（d）【3.2】恒定流是：（a）流动随时间按一定规律变化；（b）各空间点上的运动要素不随时间变化；（c）各过流断面的速度分布相同；（d ）迁移加速度为零。
解：恒定流是指用欧拉法来观察流体的运动，在任何固定的空间点若流体质点的所有物理量皆不随时间而变化的流动•（b）【3.3】一元流动限于：（a ）流线是直线；（b ）速度分布按直线变化；（c）运动参数是一个空间坐标和时间变量的函数；（d）运动参数不随时间变化的流动。
解：一维流动指流动参数可简化成一个空间坐标的函数。
（c）【3.4】均匀流是：（a）当地加速度为零；（b ）迁移加速度为零；（c）向心加速度为零；（d）合加速度为零。
解：按欧拉法流体质点的加速度由当地加速度和变位加速度（亦称迁移加速度）这两部分组成，若变位加速度等于零，称为均匀流动（b）【3.5】无旋运动限于：（a）流线是直线的流动；（b）迹线是直线的流动；（c）微团无旋转的流动；（d ）恒定流动。
解：无旋运动也称势流，是指流体微团作无旋转的流动，或旋度等于零的流动。
（d ）【3.6 ］变直径管，直径d i 320mm, d2 160mm，流速V i 1.5m/s。
V2 为：（a ）3m/s ； ( b) 4m/s ； ( c)6m/s ； ( d ) 9m/s。
V| — d；V2— d；解：按连续性方程，4 4 ，故V V虫1.5 320 6m/sd2160【3.7】平面流动具有流函数的条件是：（a）理想流体；（b）无旋流动；（c）具有流速势；（d）满足连续性。
解：平面流动只要满足连续方程，则流函数是存在的。
（d）【3.8】恒定流动中，流体质点的加速度：（a）等于零；（b）等于常数；（c）随时间变化而变化；（d）与时间无关。
第三章：流体运动学
欧拉型连续方程式的积分形式，物理意义是：单位时间内控制体内流体质量的增减，等于同一时间内进出控制面的流体质量净通量。
使用高斯定理，将其面积分变为体积分：
第一项的微分符号移入积分号内得
所以得：
积分域τ是任取的，必有：
上式即欧拉型连续方程的微分形式。
§３-４流体微团运动的分析
流体微团的运动比较复杂，具有平移，转动，变形运动。微团的运动速度也相应地由平移速度、变形速度和转动角速度所组成。
过水断面：流管的垂直截面，
流量：每秒钟通过过水断面的体积。
微小流管的流量积分：
平均流速：
用实验方法量出体积流量Ｑ，除以σ得平均流速Ｕ。
五、条纹线
举例烟囱的流动来说明。
轨迹线、流线、条纹线这三条线中，流线最为重要。
§３-３连续性方程式
连续性方程式：质量守恒定律在流体力学中的表达式。
一、一元运动的连续性方程式
§３-２几个基本概念
一、定常运动与非定常运动
定常运动：任意固定空间点处所有物理量均不随时间而变化的流动，反之称为非定常运动。
对于定常运动，所有的物理量不随时间而变化，仅是空间坐标（ｘ，y，ｚ）的函数：
ｖｘ＝ｖｘ（ｘ，ｙ，ｚ）
ｖｙ＝ｖｙ（ｘ，ｙ，ｚ）
ｖｚ＝ｖｚ（ｘ，ｙ，ｚ）
ｐ＝ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）
ρ＝ρ（ｘ，ｙ，ｚ）
３）质点的加速度
４）由质点一般运动规律
可求得拉格朗日变数ａ与ｂ的表达式为
代回拉格朗日法表示的速度表达式，得欧拉法表示的速度表达式：
欧拉法表示的加速度：
应用欧拉法研究流体运动，又有两种处理方法。一种是在流场空间取一微元体（如六面体），分析流体通过该微元体时流体微团的运动规律，建立流体运动时各种微分方程式。因此这种方法叫微分法。另一种方法是在流场中取一有限的任意形状的固定控制体（其边界封闭曲面称为控制面），分析流体通过该控制体时的运动规律，建立流体运动时各种整体关系式（即积分方程式），这种方法叫控制体方法，或称积分方法。
内科大水力学课件03流体运动学
（3—6） （3—7）
当t为常数，x，y，z为变数时，我们可以求得在同一时刻流场 中不同空间点上流体质点的速度分布情况（流速场）。当x，y，
z 为常数，t为变数时，我们可以求得在某一坐标点上，不同时 刻通过的流体的速度变化情况。
流场中，不同坐标点上的流速分布在同一时刻是不同的，另 一方面，同一坐标点上，不同时刻通过的流体质点流速也是不 同的。
图3—2
若出水管是等直径的直管，且水位H保持不变(图3—3)，
则管内流动的液体质点，既无当地加速度，也无迁移加速
度， ax 。0
（3—12）
图3—3等直径直管出流
[例3－1] 已知速度场 ux 2t 2，x 2y u，y t y ，z 试uz求 t x时，z 位 于 t 3s 处质点的(加0.速8,0度.8。,0.4)
[解] 将 t 3s, x 0.8m, y 代0.入8m速, z度场0方.4m程，得：
§3.1流动描述
流体运动学研究流体的运动规律，包括描述流体 运动的方法、质点速度、加速度的变化和所遵循的 规律。本章不涉及流体的动力学性质，所研究的内 容及其结论，对无粘性流体和粘性流体均适用。
流体和固体不同，流体运动是由无数质点 构成的连续介质的流动。怎样用数学物理 的方法来描述流体的运动？这是从理论上 研究流体运动规律首先要解决的问题。
的表达式，求质点的加速度，就要跟踪观察这个质点沿程速度的
变化，这样一来，速度表达式中的坐标x，y，z是质点运动轨迹 上的空间点坐标，不能视为常数，而是时间t的函数，即x＝x(t)、 y＝y(t)、z=z(t）。因此，加速度需按复合函数求导法则导出：
a du u u dx u dy u dz dt t x dt y dt z dt u u u u
3-流体运动学精品PPT课件
第一节 流体运动的拉格朗日描述和欧拉描述
=x
(Xdd,rYt
,Z
, t
)(ir(R,yt()X)
,Y,xtZi,
t)
y jt
jz( Xz,tYk,
Z
,
t
)k
a
aax( Xd,Y
, Z,t)iayx(
x
x t
x
X
,Y , Z,t
x
f1,
f2,
f3, t
g1
x,
y,
z, t
y
y t
y
X ,Y , Z,t
y
f1,
f2,
f3, t
g2
x,
y,
z, t
z
z t
z
X ,Y , Z,t
z
f1,
f2,
f3, t
g3
x,
y, z,t
（B）由欧拉法到拉格朗日法的转化
x
dx dt
第一节 流体运动的拉格朗日描述和欧拉描述
a
d
dt
t
atttzyxxtxxxxxtzyxaixxxxzyyyxxtxxiyytyyyzyyyyjzjyyxyzxjizzyztxzazzzzkzizzyykzkzjjxzix i
（3）拉格朗日法和欧拉法的转化 （A）由拉格朗日法到欧拉法的转化
Xx x fX1 ,Yx,,Zy,,tz,t Yy yf2X,xY,,yZ,,zt ,t Zz z f3X,Yx,,Zy,,tz,t
➢ 流体动力学研究引起运动的原因和决定作用力、力矩、动量和能量 的方法。
第三章流体运动学与动力学基础主要内容基本概念欧拉运动微分方程
第三章流体运动学与动力学基础主要内容z基本概念z欧拉运动微分方程z连续性方程——质量守恒*z伯努利方程——能量守恒** 重点z动量方程——动量守恒** 难点z方程的应用第一节研究流体运动的两种方法z流体质点：物理点。
是构成连续介质的流体的基本单位，宏观上无穷小（体积非常微小，其几何尺寸可忽略），微观上无穷大（包含许许多多的流体分子，体现了许多流体分子的统计学特性）。
z空间点：几何点，表示空间位置。
流体质点是流体的组成部分，在运动时，一个质点在某一瞬时占据一定的空间点（x，y，z）上，具有一定的速度、压力、密度、温度等标志其状态的运动参数。
拉格朗日法以流体质点为研究对象，而欧拉法以空间点为研究对象。
一、拉格朗日法（跟踪法、质点法）Lagrangian method1、定义：以运动着的流体质点为研究对象，跟踪观察个别流体质点在不同时间其位置、流速和压力的变化规律，然后把足够的流体质点综合起来获得整个流场的运动规律。
2、拉格朗日变数：取t=t0时，以每个质点的空间坐标位置为（a，b，c）作为区别该质点的标识，称为拉格朗日变数。
3、方程：设任意时刻t，质点坐标为(x，y，z) ，则：x = x(a,b,c,t)y = y(a,b,c,t)z = z(a,b,c,t)4、适用情况：流体的振动和波动问题。
5、优点：可以描述各个质点在不同时间参量变化，研究流体运动轨迹上各流动参量的变化。
缺点：不便于研究整个流场的特性。
二、欧拉法（站岗法、流场法）Eulerian method1、定义：以流场内的空间点为研究对象，研究质点经过空间点时运动参数随时间的变化规律，把足够多的空间点综合起来得出整个流场的运动规律。
2、欧拉变数：空间坐标（x ，y ，z ）称为欧拉变数。
3、方程：因为欧拉法是描写流场内不同位置的质点的流动参量随时间的变化，则流动参量应是空间坐标和时间的函数。
位置： x = x(x,y,z,t) y = y(x,y,z,t) z = z(x,y,z,t) 速度： u x =u x （x,y,z,t ） u y =u y （x,y,z,t ） u z =u z （x,y,z,t ）同理： p =p （x,y,z,t ） ，ρ=ρ(x,y,z,t) 说明： x 、y 、z 也是时间t 的函数。
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第三章 流体运动学3－1 已知流体质点的运动，由拉格朗日变数表示为 x =ae kt ，y =be -kt ，z =c ，式中k 是不为零的常数。
试求流体质点的迹线、速度和加速度。
解：（1）由题给条件知，流体质点在z=c 的平面上运动，消去时间t 后，得xy =ab上式表示流体质点的迹线是一双曲线族：对于某一给定的（a ，b ）,则为一确定的双曲线。
（2）0kt kt x y z x y z u kae u kbe u t t t-∂∂∂====-==∂∂∂，， （3）220y ktkt x z x y z u u u a k ae a k be a t t t-∂∂∂======∂∂∂，， 3－2 已知流体运动，由欧拉变数表示为u x =kx ，u y =－ky ，u z =0，式中k 是不为零的常数。
试求流场的加速度。
解：2d d x x x x x x x y z u u u u ua u u u k x t t x y z ∂∂∂∂==+++=∂∂∂∂ 2d d y y u a k y t ==，d 0d z z u a t==3－3 已知u x =yzt ，u y =zxt ，u z =0，试求t =1时流体质点在（1，2，1）处的加速度。
解：2()3m/s x x x x x x y z u u u ua u u u yz zxt zt t x y z ∂∂∂∂=+++=+=∂∂∂∂ 2()3m/s y y y yy x y z u u u u a u u u zx yzt zt t x y z ∂∂∂∂=+++=+=∂∂∂∂0z z z z z x y z u u u ua u u u t x y z∂∂∂∂=+++=∂∂∂∂3－4 已知平面不可压缩液体的流速分量为u x =1－y ，u y =t 。
试求（1）t =0时，过（0，0）点的迹线方程；（2）t =1时，过（0，0）点的流线方程。
解：（1）迹线的微分方程式为d d d d d d d d d d y x y x yx y x yt t t y u t t t u u u u ======，，，， 积分上式得：122C t y +=，当t=0时，y=0，C 1=0，所以22t y = (1)2d d (1)d (1)d 2x t x u t y t t ==-=-，积分上式得：236C t t x +-=当t =0时，x =0，C 2=0，所以63t t x -= (2)消去（1）、（2）两式中的t，得x =有理化后得 023492223=-+-x y y y （2）流线的微分方程式为d d d d d (1)d 1===--，即，x y x y x y t x y y u u y t，积分上式得C y y tx +-=)2(2当t =1时，x =y =0，C =0，所以可得：)2(12y y t x -=（为非恒定流） 3－5 已知u x ＝x ＋t ，u y ＝－y ＋t ，u z ＝0，试求t ＝2时，通过点A （－1，－1）的流线，并与例3－3相比较。
解：由例3－3可得：()()x t y t C +-+=当t =2，x =－1，y =－1，C =3。
因此，通过点A （－1，－1）的流线为 3)2)(2(=+-+y x上式不同于例3－3，即当t =0时通过A 点的流线为xy ＝1，说明不同时刻的流线不同。
3－6 试求例3－6流体运动的流线方程和流体质点通过点A （1，0）流线的形状。
解：例3－6流体运动如题3-6图所示 22yx ky u x +-=，22y x kxu y += 流线方程：2222d ()d ()x x y y x y ky kx -++=2222d ()d ()0kx x x y ky y x y +++= 2222d()()02k x y x y +?=积分，得122)(2C y x k =+，222)(C y x =+圆心（0，0），半径2C R =。
当x =1，y =0，代入上式得C 2=1。
（22y x +）=1， 为一圆，因是恒定流，不同时间为同一圆。
3－7 已知22y x kyt u x +-=，22y x kxtu y+=，z u =0，式中k 是不为零的常数。
试求：（1）流线方程，（2）t =1时，通过点A （1，0）流线的形状，（3）将求得的流线方程与习题3－6求得的流线方程相比较，它们有什么异同。
解：z u =0，为平面（二维）流动。
（1）流线方程 d d x y x y u u = 将x u 、y u 代入上式，得 2222()d d x y x y x y kyt kxt-++= 2222()d ()d x y x kxtx y y kyt -+?+?2222()d ()d 0x y kxt x x y kyt y +++=22()(d d )0kt x y x xy y +?=，22221()d()02kt x y x y ++=积分得221()2kt x y C +=，流线方程一般形式：222()x y t C +=。
（2）t=1，x=1，y=0，代入上式，得C 2=1；流线为22y x +=1，流线的形状为一圆。
（3）因是非恒定流，不同时间为不同的圆，如t=2，x=1，y=0，C 2=2，222x y +=3－8试证明下列不可压缩均质流体运动中，哪些满足连续性方程，哪些不满足连续性题3-6图方程。
（1）u x ＝－ky ，u y ＝kx ，u z ＝0；（2）u x ＝kx ，u y ＝－ky ，u z ＝0；（3）u x ＝22y x y+-，u y ＝22y x x+，u z ＝0；（4）u x ＝ay ，u y ＝u z ＝0；（5）u x ＝4，u y ＝ u z ＝0；（6）u x ＝1，u y ＝2；（7）u x ＝4x ，u y ＝0；（8）u x ＝4xy ，u y ＝0。
解：平面流动中，不可压缩均质流体的连续性方程为0=∂∂+∂∂yu x u yx （1）0＋0＝0；（2）k －k =0；（3）0)(2)(2222222=+-+y x xyy x xy ；（4）0＋0＝0；（5）0＋0＝0，（6）0＋0＝0；（7）4＋0≠0，（8）4y ＋0≠0。
（1）~(6)的流体运动满足连续性方程；（7）、（8）的流体运动不满足连续性方程，实际上流动是不能实现的。
3－9 已知水平圆管过流断面上的流速分布为2max 01()r u u r 轾犏=-犏臌， u max 为管轴处最大流速，r 0为圆管半径，r 为点流速u 距管轴的径距。
试求断面平均速度v 。
解：02max 20001112d π⎡⎤⎛⎫⎢⎥==- ⎪π⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰r A r v udA u r r A r r0222max max 00max 2220000022πd d 0.5ππ24⎡⎤⎡⎤π=-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰r r u u r r r r r r r u r r r 3－10 已知水平圆管过流断面上的流速分布为71max )(r yu u x =，u max 为管轴处最大流速，0r 为圆管半径，y 为点流速u x 距管壁的距离。
试求断面平均流速v 。
解：017max00d 2π()()d r xAyQ u A u r y y r ==-⎰⎰087157max 01702π77815ru r y y r =-2max 049π60u r = 2max 0max max 2049149π0.8176060Q v u r u u A r p ====。
3－11 设一有压管流经圆管进入圆锥形的收敛管嘴，如图所示。
已知圆管直径d A ＝0.2m ，流量Q ＝0.014m 3/s ；d B ＝0.1m 。
试求经过圆管内点A 和收敛管嘴内点B 的过流断面的平均流速v A 、v B 。
注：经过点B 的过流断面面积，可近似地视为球缺或球冠表面积，为2πRh （不包括底面面积）。
解：A v =A Q A =22440.014m/s 0.45m/s ππ0.2⨯==⨯A Q d 经过点B 的过流断面面积，可近似地视为球缺面积A B ＝2πRh ，式中h ＝（0.05－0.05cos450）m =0.015m ，Ｒ＝0.05m 。
因此0.014m/s 2.97m/s 20.050.015B B Q v A π===⨯⨯ 3－12 送风管的断面面积为50 cm×50cm ，通过a 、b 、c 、d 四个送风口向室内输送空气，如图所示。
已知送风口断面面积均为40 cm×40cm ，气体平均速度均为5m/s ，试求通过送风管过流断面1－1、2－2、3－3的流量和流速。
解：Q=vA =5330.40.4m /s 0.8m /s ⨯⨯=331330.8m /s 2.4m /s Q Q ==⨯=，111 2.4m/s 9.6m/s 0.50.5Q v A ===⨯ 332220.8m /s 1.6m /s Q Q ==⨯=，222 1.6m/s 6.4m/s 0.50.5Q v A ===⨯330.8m /s Q Q ==，3330.8m/s 3.2m/s 0.50.5Q v A ===⨯3－13 蒸汽管道如图所示。
已知蒸汽干管前段的直径d 0 ＝50mm ，流速v 0 ＝25m/s ，蒸汽密度ρ0 ＝2.62kg/m 3；后段的直径d 1＝45mm ，蒸汽密度ρ1 ＝2.24kg/m 3。
接出的支管直径d 2 ＝40mm ，蒸汽密度ρ2 ＝2.30kg/m 3；试求分叉后的两管末端的断面平均流速ν1、ν2为多大，才能保证该两管的质量流量相等。
解：000111222v A v A v A ρρρ=+ （1）111222v A v A ρρ= （2）联立解（1）、（2）两式，可得2001211 2.62250.05m/s 18.05m/s 22 2.240.045v A v A ρρ⨯⨯===⨯⨯ 20002222 2.62250.05m/s 22.25m/s 22 2.30.04v A v A ρρ⨯⨯===⨯⨯ 3－14 空气以标准状态（温度t 0 =15℃，密度ρ0 =1.225 kg/m 3，压强p 0 =1.013×105Pa ）进入压气机，流量Q v 为20m 3/min ；流出时温度t 为60℃，绝对压强p 为800×103Pa ；如果压气机出口处流速ν限制为20m/s 。
试求压气机的出口管径d 。
解：由状态方程000p P T Tr r =，计算压气机出口处的气体密度ρ，即 3330050(27315)800101.225kg/m8.37kg/m (27360) 1.01310T p Tp r r +创==?+创由连续性方程求出口管径d ，因 204v Q vd p r r =，0.056m d ==。