第五章(典型环节的频率特性)..
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自动控制原理简明教程 第五章 频率响应法
这时，求扰动输入下的误差传递函数 en(s) ，
先求 E(s) 0 C(s) 1GG（（s）s） N（s）
而
e（n s）
NE（（ss））
1
G（s） G（s）
则 ess（2 t） An e（n j）sin(t en( j))
幅频特性
相频特性
二.频率特性的物理意义及求解方法
R
ur
C uc
RC网络微分方程为:
优点:
(1).可以根据系统的开环频率特性判断闭环系 统的稳定性,而不必求解特征方程。
(2).很容易研究系统的结构,参数变化对系统性 能的影响,并可指出改善系统性能的途径,便于
对系统进行校正。
(3).提供了一种通过实验建立元件或系统数 学模型的方法。
(4).可以方便地设计出使系统噪声小到规定 程度的系统。
一.比例环节
传递函数为G(s)=k
频率特性为 G( jw) ke j 0
幅频特性为 A(w)=k
相频特性为 (w) 0
极坐标图和伯德图为：
L(w)(dB)
20lgk
(w)(度) 0.1 1 10 100
w
0
w
-30
Bode图
j
w=0
w
0k
w
极坐标图
二.积分环节和微分环节
积分环节: G(s) C(s) R(s) 1/ s
w? ?
450 W=1/T
1 W=0 w
对数幅频特性：L(w) 20lg 1 T 2w2 1
20lg T 2w2 1
当wT≥1时,L(w)≈-20lgwT
当wT≥1时,L(w)可用一条斜率为-20dB/dec的渐近 直线来表示。
当wT≤1时,L(w)≈0,是一条与0分贝线重合的直线。 两直线交于横坐标w=1/T的地方。
第五章 频率特性法 (2)
1 1
斜率 (dB/dec) 0 -20 -40 0，-20 ，
特殊点 ω L( )=lgK ω =1, L( )=0 ω ω =1, L( )=0 ω
φ(ω) 0o -90o -180o
s2 1 Ts+1
1+τs
ωn 2 s2+2ζ ωns+ωn
2
转折ω = 1 0o -90o ～ 频率 T 转折ω = 1 0o～90o 0，20 频率 ， τ 0，-40 转折 ω =ω n 0o～-180o ， 频率
一、典型环节的频率特性 二、控制系统开环频率特性
第二节 典型环节与系统的频率特性
一 典型环节的频率特性
1．比例环节 ．
传递函数和频率特性 G(s)=K G(jω)=K 幅频特性和相频特性 A(ω)=K φ(ω)=0o (1) 奈氏图 奈氏图是实轴上的 点 奈氏图是实轴上的K点。 是实轴上的 比例环节的奈氏图
第二节 典型环节与系统的频率特性
(1) 奈氏图
振荡环节的奈氏图
Im
ω=0 =∞
A(ω)=1 A(ω)=0 (ω)=0o φ(ω)=-180o 1 A(ω)= 2ζ 率特性曲线因ζ值 率特性曲线因 值 φ(ω)=-90o 不同而异. 的不同而异
ω ∞
0
1
ω=0
Re
ω=ωn 振荡环节的频
ω= ωn
ξ=0.8 ξ=0.6 ξ=0.4
积分环节的伯德图
40 20 0 -20 0.1 1
L(ω)/dB -20dB/dec
10
ω
Φ(ω)
0 0.1 1 10
φ(ω)=-90o
ω
-90
第二节 典型环节与系统的频率特性
3．微分环节 ．
斜率 (dB/dec) 0 -20 -40 0，-20 ，
特殊点 ω L( )=lgK ω =1, L( )=0 ω ω =1, L( )=0 ω
φ(ω) 0o -90o -180o
s2 1 Ts+1
1+τs
ωn 2 s2+2ζ ωns+ωn
2
转折ω = 1 0o -90o ～ 频率 T 转折ω = 1 0o～90o 0，20 频率 ， τ 0，-40 转折 ω =ω n 0o～-180o ， 频率
一、典型环节的频率特性 二、控制系统开环频率特性
第二节 典型环节与系统的频率特性
一 典型环节的频率特性
1．比例环节 ．
传递函数和频率特性 G(s)=K G(jω)=K 幅频特性和相频特性 A(ω)=K φ(ω)=0o (1) 奈氏图 奈氏图是实轴上的 点 奈氏图是实轴上的K点。 是实轴上的 比例环节的奈氏图
第二节 典型环节与系统的频率特性
(1) 奈氏图
振荡环节的奈氏图
Im
ω=0 =∞
A(ω)=1 A(ω)=0 (ω)=0o φ(ω)=-180o 1 A(ω)= 2ζ 率特性曲线因ζ值 率特性曲线因 值 φ(ω)=-90o 不同而异. 的不同而异
ω ∞
0
1
ω=0
Re
ω=ωn 振荡环节的频
ω= ωn
ξ=0.8 ξ=0.6 ξ=0.4
积分环节的伯德图
40 20 0 -20 0.1 1
L(ω)/dB -20dB/dec
10
ω
Φ(ω)
0 0.1 1 10
φ(ω)=-90o
ω
-90
第二节 典型环节与系统的频率特性
3．微分环节 ．
自动控制原理第五章-频率响应法
Im
（K，0°）
0
Re
图5.5 比例环节乃氏图
南京工业职业技术学机械学院——自动控制原理
L( )
0
( )
dB K>1
K=1 K<1
lg
0
lg
图5.6 比例环节的Bode图
作用：比例环节只改变原系统的幅值（K＜1，降低；K ＞ 1， 抬高），不改变原系统的相位。
南京工业职业技术学机械学院——自动控制原理
➢ 乃氏图的绘制—— “三点法”
G(jω)= A(ω)ejφ(ω) →
A(ω)：起止位置 φ(ω) ：起止方向
起点：ω→0，[A(0),φ(0)] 终点： ω→∞，[A(∞),φ(∞)] 与负实轴的交点：令φ(ω) =-180°→ ωx
相位截止频 率或相位剪
切频率
则交点为[A(ωg)，-180°]
注意：由φ(0) → φ(∞)的变化范围可判断乃氏图所在 的 象限。
2 ( )
1 ( )
图5.8 积分、微分环节Bode图
南京工业职业技术学机械学院——自动控制原理
3. 纯微分环节
G(s) s
G( j) j e j90
传递函数与积分 环节互为倒数
Im
A()
（1）乃氏图 ( ) 90
起点：[0, 90°]；终点： [∞, 90°]
0
Re
图5.9 微分环节乃氏图
I ( )
T 1 2T
2
联立消去ω可以得到实部和虚部 的关系式：
[R( ) 0.5]2 [I( )]2 0.52
故，惯性环节的乃氏图是圆心为点（0.5，j0）上，半径为 0.5的半园（ω=0~∞）。
（2）Bode图
第五章频率特性法
教学内容
1、频率特性的概念 2、典型环节频率特性
3、开环幅相曲线绘制方法，重点：开环对数频率特性曲线
4、频域稳定判据，奈奎斯特判据，对数频率稳定判据 5、稳定裕度的概念 6、闭环系统的频域指标
5-1 频率特性
频率特性法：用频率特性作为数学模型来分析和设 计系统的方法。 优点：①具有明确的物理意义； ②计算量很小，采用近似作图法，简单、直 观，易于在工程技术中使用； ③可以采用实验的方法求出系统或元件的频 率特性。
1 1 (T1 )
2
1 1 (T2 )
2
k
相频特性： ( ) tan1 T1 tan1 T2
1.确定开环幅相曲线的起点和终点
0时， G ( j 0) k (0) 0 时， G ( j 0) 0 (0) －180
式中, φ=-arctgωτ。
式(5.3)的等号右边 , 第一项是输出的暂态分量 , 第
二项是输出的稳态分量。 当时间t→∞ 时, 暂态分量趋 于零, 所以上述电路的稳态响应可以表示为
1 1 limuo (t ) sin( t ) U sin t (5.4) 2 2 t 1 j 1 j 1 U
0
ω 0 1/T ∞
∠G（jω ） 0º -90º -180º
│G(jω │ 1 1/2ζ 0
U(ω ) 1 0 0
V(ω )
-0.5
ζ =0.2— 0.8
0 -1/2ζ 0
-1.5 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1
振荡环节的幅相曲线
: 0 ， G ( j )曲 线 有 单 调 衰 减 和 谐 两 振种形式。
自动控制原理(第三版)第五章频率响应法
频段的两条直线组成的折线近似表示, 如图5-18的渐近线所
示。 这两条线相交处的交接频率ω=1/T, 称为振荡环节的无阻尼
自然振荡频率。在交接频率附近, 对数幅频特性与渐近线存在
一定的误差, 其值取决于阻尼比ζ的值, 阻尼比越小, 则误差越大, 如表5-4所示。当ζ＜0.707时, 在对数幅频特性上出现峰值。根
一个单位长度。设对数分度中的单位长度为L, ω0为参考点, 则 当ω以ω0为起点, 在10倍频程内变化时, 坐标点相对于ω0的距离
为表5-1中的第二行数值乘以L。
第五章 频 率 响 应 法
图 5-4 对数分度和线性分度
第五章 频 率 响 应 法
表 5-1 10倍频程内的对数分度
第五章 频 率 响 应 法
第五章 频 率 响 应 法
图 5-7 比例环节的伯德图
第五章 频 率 响 应 法
2. 积分环节 积分环节的频率特性为
其幅频特性和相频特性为
(5.18)
(5.19)
由式(5.19)可见,它的幅频特性与角频率ω成反比, 而相频特性恒
为-90°。对数幅频特性和相频特性为
(5.20)
第五章 频 率 响 应 法
T), 则有
因此有
这表明φ(ω)是关于ω=1/T, φ(ω)=-45°这一点中心对称的。 用
MATLAB画出的惯性环节的伯德图如图5-14所示(T=1)。
第五章 频 率 响 应 法
图 5-14 MATLAB绘制的惯性环节的伯德图
第五章 频 率 响 应 法
5. 一阶微分环节 一阶微分环节的频率特性为 幅频特性和相频特性为
即 所以, 惯性环节的奈氏图是圆心在(0.5, 0), 半径为0.5的半圆 (
见图5-12)。 对数幅频特性和相频特性为
示。 这两条线相交处的交接频率ω=1/T, 称为振荡环节的无阻尼
自然振荡频率。在交接频率附近, 对数幅频特性与渐近线存在
一定的误差, 其值取决于阻尼比ζ的值, 阻尼比越小, 则误差越大, 如表5-4所示。当ζ＜0.707时, 在对数幅频特性上出现峰值。根
一个单位长度。设对数分度中的单位长度为L, ω0为参考点, 则 当ω以ω0为起点, 在10倍频程内变化时, 坐标点相对于ω0的距离
为表5-1中的第二行数值乘以L。
第五章 频 率 响 应 法
图 5-4 对数分度和线性分度
第五章 频 率 响 应 法
表 5-1 10倍频程内的对数分度
第五章 频 率 响 应 法
第五章 频 率 响 应 法
图 5-7 比例环节的伯德图
第五章 频 率 响 应 法
2. 积分环节 积分环节的频率特性为
其幅频特性和相频特性为
(5.18)
(5.19)
由式(5.19)可见,它的幅频特性与角频率ω成反比, 而相频特性恒
为-90°。对数幅频特性和相频特性为
(5.20)
第五章 频 率 响 应 法
T), 则有
因此有
这表明φ(ω)是关于ω=1/T, φ(ω)=-45°这一点中心对称的。 用
MATLAB画出的惯性环节的伯德图如图5-14所示(T=1)。
第五章 频 率 响 应 法
图 5-14 MATLAB绘制的惯性环节的伯德图
第五章 频 率 响 应 法
5. 一阶微分环节 一阶微分环节的频率特性为 幅频特性和相频特性为
即 所以, 惯性环节的奈氏图是圆心在(0.5, 0), 半径为0.5的半圆 (
见图5-12)。 对数幅频特性和相频特性为
北航机电控制工程基础(自动控制原理)第五章2-典型环节频率特性
北京航空航天大学
二、积分环节 Integral links 1、伯德图
机电控制工程基础
K G (s) s
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
K G ( j ) j
K A( )
K ( ) 0 arctan j 0 2
幅值
机电控制工程基础
袁松梅教授 Tel：82339630
下半个圆对应于正频率部分，而上 半个圆对应于负频率部分。
Email：yuansm@
北京航空航天大学
四、振荡环节Oscillation link 2、伯德图 讨论 0
机电控制工程基础
1 时的情况。当K=1时，频率特性为：
K Kn G( s ) 2 2 2 T s 2Ts 1 s 2 n s n 2
G( s) K , G( j ) K
相频特性： ( )
1、伯德图
幅频特性：A( ) K ；
0
；
L( ) / dB
20log K 20log K 20log K
K 1
对数幅频特性：
K 1 lg
0 K 1
( )
180
0 L( ) 20 lg K 0 0
1.0 -45 100 -89.4
1 1 当 0时， (0) 0;当 时， ( ) ;当 时， () 。 T T 4 2
当时间常数T 变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状都不变，仅仅是根据转折 频率1/T 的大小整条曲线向左或向右平移即可。而当增益改变时，相频特性不变，幅 频特性上下平移。
K P ( ) 1 T 2 2 KT Q ( ) 1 T 2 2 Q ( ) T P( )
第五章 频率法
2
2 G ( j ) arctan 2 2 1
二阶微分的极坐标图
二阶微分的Bode标图
7.时滞环节（延迟环节）
G( s) e
r (t )
s
s
G( j ) e
j
r(t)
y (t )
t
0 y(t) t 0
e
时滞环节极坐标图
| G( j ) || e j | 1
0°
8.非最小相位环节
1 G( s) Ts 1 1 G( j ) jT 1
பைடு நூலகம்
1 一个正实数极点 T
| G ( j ) |
1
2T 2 1
G ( j ) 180 arctan T
U( )=
1 T 1
2 2
T V( )= 2 2 T 1
-0.5
非最小相位环节Bode图
1 G( s) s 1
相角裕度
G( j ) H ( j )与单位圆相交的角频率计为c 剪切频率
| G( jc ) H ( jc ) | 1
Im
-1
0
1 Re
0
c
G( jc ) H ( jc ) 180
G( j ) H ( j )
2T 1 180 arctan 2 2 , 1 2T 2 0 T 1 T
低频与高频渐进对数幅频特性
低频段 1 T , T 1
20 lg (1 2T 2 ) 2 (2T ) 2 20 lg1 0dB 0dB的水平线
高频段 1 T , T 1
G( j ) H ( j )
1 幅值裕度 K g | G ( j g ) H ( j g ) |
孙炳达版 《自动控制原理》第5章 控制系统的频率特性分析法-3
比例环节可以完全、真实地复现任何频率的输入 信号，幅值上有放大或衰减作用；υ (ω)=0º ，表示输 出与输入同相位，既不超前也不滞后。
5.3 典型环节的频率特性
二、积分环节 1.代数表达式 传递函数
G (s) 1 s 1
频率特性 相频特性
幅频特性
A( )
1 1 1 j 90 G( j ) j e j () 90
对数频率特性曲线是一条斜线, 斜率为-20dB/dec, 称为高频渐 近线，与低频渐近线的交点为ωn=1/T，ωn称为交接频率或转 折频率，是绘制惯性环节的对数频率特性时的一个重要参数。
5.3 典型环节的频率特性
3.伯德图 对数幅频图
L( ) 20lg A( ) 20lg 1 1 2T 2 20lg 1 2T 2
G ( j ) 1 j 2 2 2 (1 2 2 ) j 2 (1 2 2 ) 2 (2 ) 2 e
2 T j arctan 1 2 2
5.3 典型环节的频率特性
2.极坐标图 理想微分环节的极坐标图在0 ＜＜的范围内，与正虚轴重合。 可见，理想微分环节是高通滤 波器，输入频率越高，对信号的 放大作用越强；并且有相位超前 作用，输出超前输入的相位恒为 90º ，说明输出对输入有提前性、 预见性作用。 （纯微分）
在控制工程中，采用分段直线表示对数幅频特征 曲线，作法为： a.当Tω<<1（ω<<1/T）时，系统处于低频段 L( ) 20lg1 0 b.当Tω>>1（ω>>1/T）时，系统处于高频段
L( ) 20lg T
此直线方程过（1/T，0）点， 且斜率为-20dB/dec。
自动控制理论第五章频率分析法1.详解
5.从低频段第一个转折频率开始做斜直线，该直线
的斜率等于过A点直线的斜率加这个环节的斜率（惯
性环节加-20，振荡环节加-40，一阶微分环节加+20 的斜率），这样过每一个转折频率都要进行斜率的 加减。 6.高频段最后的斜线的斜率应等于-20(n-m) dB/ 十倍频程。 7.若系统中有振荡环节，当<0.4时，需对L()进 行修正。
④
G(j)曲线与负实轴交点坐标，是一个关键点，
高频段，即ωT>>1时
L( ) 20lg( 2T 2 ) 40lg(T )
当ω增加10倍
L( ) 40lg10Tω 40 40lgTω
即高频渐近线是一条斜率为-40dB/dec的直线。当 1 ω ωn T
L( ) 40lg T 40lg1 0(dB)
1 2
振荡环节再分析
L(ω)dB
20lg
1 2 1 2
2 k n G (s ) 2 S 2 S 2 n n (0＜ ＜0.707) 0＜ ＜0.5
20 lg 1 2
= 0.5
0.5＜ ＜1 ω
20lgk
0dB
ωr ωn
[-40]
2 1 2 ωr= n
1. 将开环传递函数化为各典型环节传递函数相乘的形 式，并将分子分母中各因式常数项系数化为1。转化为 开环对数幅频特性；
2.确定出系统开环增益K，并计算 20lg K 。
3.确定各有关环节的转折频率，并把有关的转折频率 标注在半对数坐标的横轴上。 4.在半对数坐标上确定=1(1/s)且纵坐标等于20lgK dB的 点A。过A点做一直线，使其斜率等于-20νdB/dec。当ν=0, ν=1, ν=2时，斜率分别是(0，-20，-40)dB/dec。
自动控制原理第五章线性系统的频域分析法
自动控制原理第五章线性系统的频域分析法1、基本内容和要点（l）频率特性系统的稳态频率响应，频率响应的物理概念及数学定义；求取频率特性的分析法和实验法。
（2）典型环节的频率特性比例、惯性、积分、微分、振荡、延迟环节的频率特性和对数频率特性。
非最小相位环节的频率特性。
（3）反馈控制系统的开环频率特性研究系统开环频率特性的意义。
单环系统开环对数频率持性的求取与绘制。
最小相位系统开环对数幅频特性与相频特性间的对应关系。
（4）奈奎斯特稳定判据幅角定理。
S平面与F平面的映射关系。
根据开环频率特性判别闭环系统稳定性的奈氏判据。
奈氏判据在多环系统中的应用和推广。
系统的相对稳定性。
相角与增益稳定裕量。
（5）二阶和高阶系统的频率域性能指标与时域性指标。
系统频率域性能指标。
二阶和高阶系统暂态响应性能指标与频率域性能指标间的解析关系及近似关系。
（6）系统的闭环频率特性开环频率特性与闭环频率特性间的解析关系。
用等M圆线从开环频率特性求取闭环频率特性。
用尼氏图线从开环对数频率特性求取闭环频率特性。
2、重点（l）系统稳态频率响应和暂态时域响应的关系。
（2）系统开环频率特性的绘制，最小相位系统开环频率特性的特点。
（3）奈奎斯特稳定判据和稳定裕量。
5-1引言第三章，时域分析，分析系统零、极点与系统时域指标的关系；典型二阶系统极点或和n与时域指标tp、和t、tr及稳态误差等的关系，及高阶系统的近似指标计算；第四章，根轨迹分析，研究系统某一个参数变化对系统闭环极点的影响；本章讨论系统零、极点对系统频率域指标的关系，频域指标又分开环频域指标和闭环频域指标，它们都是在频域上评价系统性能的参数。
频域分析是控制理论的一个重要分析方法。
5-2频率特性1．频率特性的基本概念理论依据定理：设线性定常系统G()的输入信号是正弦信号某(t)某int，在过度过程结束后，系统的稳态输出是与输入同频率的正弦信号，其幅值和相角都是频率的函数，即为c(t)Y()in[t()]。
自动控制原理 第五章 第一讲 典型环节和开环频率特性
对数幅相曲线（又称尼柯尔斯曲线）：对数幅相图的横坐标表示对数相频 对数幅相曲线（又称尼柯尔斯曲线）：对数幅相图的横坐标表示对数相频 尼柯尔斯曲线）： 特性的相角，纵坐标表示对数幅频特性的幅值的分贝数。 特性的相角，纵坐标表示对数幅频特性的幅值的分贝数。
5.2 典型环节和开环频率特性
• 典型环节 • 典型环节的频率特性 • 最小相角系统和非最小相角系统
L(ω ) = −20 lg 1 + ω 2T 2
ω<<1/T, L(ω)≈-20lg1=0 ω>>1/T, L(ω)≈-20lgωT =-20(lgω-lg1/T)
(dB) 20 0 0.1 1/T -20 (o) 90 0 0.1 -90 1 10 ω 1 20dB/dec 10 ω -20dB/dec
幅频特性相同， 幅频特性相同，但相频特性符号相反 。 •最小相角系统的幅频特性和相频特性一一对应，只要根据其对 最小相角系统的幅频特性和相频特性一一对应， 数幅频曲线就能写出系统的传递函数 。 L(dB)
L(dB) 20 10 -20 ω L(dB) -20 100 50 -40 ω -40 -20 ω 2 ω1 ωc ω -40
典型环节
•比例环节：G（s）= K 比例环节： （ ） •惯性环节： G（s）= 1/(Ts+1)，式中T>0 惯性环节： （ ） ，式中 •一阶微分环节： G（s）= (Ts+1)，式中 一阶微分环节： （ ） ，式中T>0 •积分环节： G（s）= 1/s 积分环节： （ ） 微分环节： （ ） •微分环节： G（s）= s •振荡环节： G（s）= 1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1]; 振荡环节： （ ） 式中ω ， 式中 n>0，0<ζ<1 二阶微分环节： （ ） •二阶微分环节： G（s）= (s/ωn)2+2ζs/ωn+1; 式中ω ， 式中 n>0，0<ζ<1
自动控制原理 第五章(第二次课)
K G ( jω ) = j ω (T1ω j + 1)( T 2ω j + 1)
Im
Re
0
ω
1型系统 0+
中国矿业大学信电学院 常俊林
autocumt@
10
5-4 系统开环频率特性的绘制
自动控制原理
K 例题2： 的幅相曲线。 例题 ：绘制 G(S) = 的幅相曲线 (T1S +1)(T2S +1)
G ( jω ) = K (τ 1 j ω + 1)( τ 2 j ω + 1) L (τ m j ω + 1) ( j ω ) (T1 j ω + 1)( T 2 j ω + 1) L (T n −ν j ω + 1)
ν
自动控制原理
n>m
ν＝1，I型系统 ＝ ， 型系统 起点: 起点 ω → 0＋
5-4 系统开环频率特性的绘制
自动控制原理
− K (T1 + T2 )ω − K (1 − T1 T2 ω 2 ) + G ( jω ) = j 2 2 2 2 2 2 2 2 ω (T1 ω + 1)(T2 ω + 1) ω (T1 ω + 1)(T2 ω + 1)
求与实轴交点： 求与实轴交点：
5-2 典型环节的频率特性 8 不稳定惯性环节
1 , 传递函数 G ( S ) = TS − 1 (T > 0 )
自动控制原理
1 1 = e j −(π − arctgTω ) 频率特性 G ( jω ) = Tωj − 1 T 2ω 2 + 1
ω =0
ω =∞
A(0) = 1; ϕ (0) = −180o A(∞) = 0; ϕ (∞) = −90o
Im
Re
0
ω
1型系统 0+
中国矿业大学信电学院 常俊林
autocumt@
10
5-4 系统开环频率特性的绘制
自动控制原理
K 例题2： 的幅相曲线。 例题 ：绘制 G(S) = 的幅相曲线 (T1S +1)(T2S +1)
G ( jω ) = K (τ 1 j ω + 1)( τ 2 j ω + 1) L (τ m j ω + 1) ( j ω ) (T1 j ω + 1)( T 2 j ω + 1) L (T n −ν j ω + 1)
ν
自动控制原理
n>m
ν＝1，I型系统 ＝ ， 型系统 起点: 起点 ω → 0＋
5-4 系统开环频率特性的绘制
自动控制原理
− K (T1 + T2 )ω − K (1 − T1 T2 ω 2 ) + G ( jω ) = j 2 2 2 2 2 2 2 2 ω (T1 ω + 1)(T2 ω + 1) ω (T1 ω + 1)(T2 ω + 1)
求与实轴交点： 求与实轴交点：
5-2 典型环节的频率特性 8 不稳定惯性环节
1 , 传递函数 G ( S ) = TS − 1 (T > 0 )
自动控制原理
1 1 = e j −(π − arctgTω ) 频率特性 G ( jω ) = Tωj − 1 T 2ω 2 + 1
ω =0
ω =∞
A(0) = 1; ϕ (0) = −180o A(∞) = 0; ϕ (∞) = −90o
自动控制原理第5章频率特性
频率特性等于传递函数令s=jω。这一结论可推广到所有 。 频率特性等于传递函数令 稳定的线性定常系统？设系统的传递函数为 稳定的线性定常系统？设系统的传递函数为
b0 s m + b1s m−1 + b2 s m−2 + L + bm−1s + bm G ( s) = a0 s n + a1s n −1 + a2 s n −2 + L + an−1s + an
第五章 频 率 响 应 法 在零初始条件下， 在零初始条件下，对应的微分方程为
d n c(t ) d n −1c(t ) d n −2 c(t ) dc(t ) a0 + a1 + a2 + L + a n −1 + a n c(t ) n n −1 n−2 dt dt dt dt d m r (t ) d m−1 r (t ) d m−2 r (t ) dr (t ) ＝b0 + b1 + b2 + L + bm−1 + bm r (t ) m m −1 m−2 dt dt dt dt
G ( jω ) = 1 1 Tω = 2 2 −j 2 2 j ωT + 1 T ω ư) 极坐标法
G ( jω ) = A(ω )e jφ (ω )
当频率ω从0→∞变化时，可得到许多矢量，把矢量的端点连 接起来，同样可得到G(jω)的轨迹，两种表示方法之间存在如下 关系：
L(ω ) = 20 log A(ω ) 分贝（dB）
第五章 频 率 响 应 法 请注意 对数刻度和线性刻度的区别
ω
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (a) 渐线积正
5-2(1) 典型环节的频率特性
∵ 幅频特性
A( )
1
2 2 2 2 (1 2 ) 4 2 n n
相频特性
n ( ) arctg 2 1 2 n
2
其中，对于相频特性
2 n 当： n 时， ( ) arctg 2 1 2 n
当： n 时， ( ) 180 arctg
L（ω ）
j
ω =∞ ω ωn 0
20 0 φ（ω ） 1 ω =0 180° 0 (b)
[40] ωn ω
ω
（ a）
二阶微分环节的频率特性曲线图
8. 延迟环节 （教材P204）
传递函数 G(s)
频率特性
G( j) e j A() e j ( )
e
s
(1) 幅相曲线: （教材P204图5-25） 幅频特性 A（ω）= 1 相频特性 φ（ω） = -ωτ（rad）= - 57.3ωτ (°) (2) 对数频率特性曲线(Bode图): 1） 对数幅频特性 L(ω)=20lgA(ω)= 0 2） 对数相频特性：φ（ω） = -ωτ（rad）=-57.3ωτ(°)
ω →0
0
(a) 微分环节的幅相曲线
(2) 对数频率特性曲线(Bode图):
∵ 对数幅频特性 L(ω)=20lg∣G（jω）∣ = 20lgω 对数相频特性 φ（ω） = 90° ∴ 微分环节的Bode图如图(b)所示。
L（ω）
20
0
20dB/dec 1 10
φ（ ω ） 90° 0
ω
ω
(b) 微分环节的Bode图
r n 1 2 2
1 M r A(r ) 2 1 2 2 0 2
显然
对于不同的系统阻尼,振荡环节的谐振峰值Mr，谐振频率ωr不同， 参见教材P195-196分析。
A( )
1
2 2 2 2 (1 2 ) 4 2 n n
相频特性
n ( ) arctg 2 1 2 n
2
其中，对于相频特性
2 n 当： n 时， ( ) arctg 2 1 2 n
当： n 时， ( ) 180 arctg
L（ω ）
j
ω =∞ ω ωn 0
20 0 φ（ω ） 1 ω =0 180° 0 (b)
[40] ωn ω
ω
（ a）
二阶微分环节的频率特性曲线图
8. 延迟环节 （教材P204）
传递函数 G(s)
频率特性
G( j) e j A() e j ( )
e
s
(1) 幅相曲线: （教材P204图5-25） 幅频特性 A（ω）= 1 相频特性 φ（ω） = -ωτ（rad）= - 57.3ωτ (°) (2) 对数频率特性曲线(Bode图): 1） 对数幅频特性 L(ω)=20lgA(ω)= 0 2） 对数相频特性：φ（ω） = -ωτ（rad）=-57.3ωτ(°)
ω →0
0
(a) 微分环节的幅相曲线
(2) 对数频率特性曲线(Bode图):
∵ 对数幅频特性 L(ω)=20lg∣G（jω）∣ = 20lgω 对数相频特性 φ（ω） = 90° ∴ 微分环节的Bode图如图(b)所示。
L（ω）
20
0
20dB/dec 1 10
φ（ ω ） 90° 0
ω
ω
(b) 微分环节的Bode图
r n 1 2 2
1 M r A(r ) 2 1 2 2 0 2
显然
对于不同的系统阻尼,振荡环节的谐振峰值Mr，谐振频率ωr不同， 参见教材P195-196分析。
机械控制理论基础(第五章 系统的频率特性)
Imaginary Axis
Phase (deg)
-45 -90 -135 -180 -2 10
-1 0 1 2
-2
-1
0 Real Axis
1
2
3
10
10 Frequency (rad/sec)
10
10
第五章 系统的频率特性 §5-2 典型环节的频率特性图
7.
二阶微分环节
传递函数： G( s) T 2 s 2 + 2Ts + 1 频率特性：
频率特性的求取：已知系统传递函数G(s)，令
s=jw代入，即得
第五章 系统的频率特性 §5-1频率特性
例：已知系统传递函数G(s) = K/(Ts+1)，求系统
的频率特性及对正弦输入Asinwt的稳态响应
解：系统的频率特性G(jw) = K/(jTw+1)
当r(t) = Asinwt时
Bode Diagram 0 -5
Magnitude (dB)
-10 -15 -20 -25 -30 0
渐近线 转角频率
渐近线
Phase (deg)
-45
-90 -1 10
10 10 Frequency (rad/sec)
0
1
10
2
第五章 系统的频率特性 §5-2 典型环节的频率特性图
3.
一阶微分环节
在初步设计和分析中，能满足要求； ③ 可以利用样板方便地画出准确的对数幅频特性和对 数相频特性曲线； ④ 从试验得出的对数频率特性曲线能够简便地确定系 统（元件）的传递函数； ⑤ 可以在很宽的频率范围内研究系统。
第五章 系统的频率特性 §5-2 典型环节的频率特性图
5-2 典型环节的频率特性
ω 1 ω n
2
ω 2 ω G ( jω ) = 1 ( ) + j 2ξ ( ) ωn ωn ω 2 P(ω ) = 1 ( ) ωn ω Q(ω ) = 2ξ ( ) ωn
A(ωn ) = 2ξ ω r = ω n 1 2 ξ 2
(ωn ) = 90o A r = 2 ξ 1 ξ 2
11
(2)对数频率特性曲线
A(ω) = 1
Magnitude (dB)
惯震震震震Bode图,T=1
10 5 0 -5 -10 -15 -20 -25 -30 -35
低频低低低 高频低低低 -20dB/dec 交 交 频 频 1/T
1+T ω
2
2 2 2
L(ω) = 20lg 1+T ω
(ω) = arctgTω
(
1
)
(
)
（1）幅相频率特性
A(ω) = 1
(1 T
2
ω
2 2
) + (2ζTω)
=
2
1 ω 1 ωn
2
ω + 2ζ ω n
2
2
2ζTω (ω) = tg = tg 1 1 T 2 ω2
1
2ζ
ω ωn
2
ω 1 ω n
14
ω = 0： A(ω) = 1
A(ω) = 1
(ω) = τω
(ω) = τω
2、对数频率特性
L(ω) = 0
传输延迟是一种非最小相位特性。如果不采取 对消措施，高频时将造成严重的相位滞后
23
5.2.3几种情况讨论（仅作了解） 几种情况讨论（仅作了解） 几种情况讨论 1. 最小相位、非最小相位和开环不稳定系统
2
ω 2 ω G ( jω ) = 1 ( ) + j 2ξ ( ) ωn ωn ω 2 P(ω ) = 1 ( ) ωn ω Q(ω ) = 2ξ ( ) ωn
A(ωn ) = 2ξ ω r = ω n 1 2 ξ 2
(ωn ) = 90o A r = 2 ξ 1 ξ 2
11
(2)对数频率特性曲线
A(ω) = 1
Magnitude (dB)
惯震震震震Bode图,T=1
10 5 0 -5 -10 -15 -20 -25 -30 -35
低频低低低 高频低低低 -20dB/dec 交 交 频 频 1/T
1+T ω
2
2 2 2
L(ω) = 20lg 1+T ω
(ω) = arctgTω
(
1
)
(
)
（1）幅相频率特性
A(ω) = 1
(1 T
2
ω
2 2
) + (2ζTω)
=
2
1 ω 1 ωn
2
ω + 2ζ ω n
2
2
2ζTω (ω) = tg = tg 1 1 T 2 ω2
1
2ζ
ω ωn
2
ω 1 ω n
14
ω = 0： A(ω) = 1
A(ω) = 1
(ω) = τω
(ω) = τω
2、对数频率特性
L(ω) = 0
传输延迟是一种非最小相位特性。如果不采取 对消措施，高频时将造成严重的相位滞后
23
5.2.3几种情况讨论（仅作了解） 几种情况讨论（仅作了解） 几种情况讨论 1. 最小相位、非最小相位和开环不稳定系统
典型环节的频率特性
第五章频率域方法典型环节的频率特性用频率法研究控制系统的稳定性和动态响应，是根据系统的开环频率特性进行的，而控制系统的开环频率特性通常是由若干个典型环节的频率特性组成的，如直流电机的传递函数为()(1)mm K G s s T s =+可以将该传递函数分解为三个典型环节的乘积，分别是mK 放大环节：1s积分环节：11m T s +惯性环节：掌握好典型环节的频率特性，就能方便地得出系统的开环频率特性。
一、比例环节（放大环节）幅频特性()A Kω=相频特性()0ϕω︒=对数幅频特性()20lg L Kω=Kj()G s K =幅相特性曲线（K>0）（Nyquist 曲线）对数频率特性曲线（K>1）（Bode 图）典型环节的频率特性20lg K/dBL ϕω2π−ω(j )G Kω=AAKϕ2π−ϕω幅频、相频特性曲线(K>0)二、积分环节1()G s s =幅频特性1()A ωω=相频特性()2πϕω=−j2π−ω=ω∞幅相特性曲线（Nyquist 曲线）1()20lg20lg L ωωω==−对数幅频特性对数幅频特性曲线是斜率为-20分贝/十倍频程的直线，该直线在弧度/秒处与零分贝线相交。
1ω=1(j )j G ωω=AAϕ2π−ϕω幅频、相频特性曲线/(rad/s)ω对数频率特性曲线（Bode 图）20dB/dec−/dBL o /()ϕ三、惯性环节（一阶系统）1()1G s Ts =+幅频特性21()()1A T ωω=+相频特性()arctan T ϕωω=−幅相频特性曲线（Nyquist 曲线）j=1/Tω=ω∞=0ωω1-45︒1(j )1+j G T ωω=Aϕ90︒−ϕω145︒−1TA幅频、相频特性曲线对数频率特性曲线（Bode 图）T ω/dBL o /()ϕ2()20lg ()1L T ωω=−+对数幅频相频特性()arctan T ϕωω=−3(dB)L =−45ϕ︒=−当频率时1T ω=2()20lg ()1L T ωω=−+对数幅频()20lg 20lg 20lg L T Tωωω≈−=−−转折频率：1=Tω当频率时1T ω<()20lg10 (dB)L ω≈=当频率时1T ω>惯性环节（一阶系统）1()1G s Ts =+1(j )1+j G T ωω=对数频率特性曲线（Bode 图）T ω 20dB/dec−对数幅频渐近特性曲线3(dB)−dBL /o /()ϕ四、振荡环节（二阶系统）222()2nn nG s s s ωζωω=++2221()[1()][2()]n n A ωωωζωω=−+22()()arctan 1()n n ζωωϕωωω⎛⎫=− ⎪−⎝⎭/nωωA=0ζ=0.2ζ=0.5ζ=0.7ζ=1ζ/nωωo /()ϕ(0) 1 ()1(2) ()0n A A A ωζ==∞=()0d A d ωω=212m nωωζ=−令，得20<<2ζ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭(0)0 ()2 ()=n ϕϕωπϕπ==−∞−21()21m m A A ωζζ==−幅频、相频特性曲线(0, 0)n ζω≥>当时，，当时无峰值。
自动控制原理简明教程 第五章 频率响应法
N(s)
例： R(s)
C(s)
- G(s)
(1).输入信号为正弦 r(t) A0 sin(wt 0) ,求扰动 n(t)=0时的稳态输出Css(t)。 先求闭环传递函数
(s) C(s) G(s)
R(s) 1 G(s) 然后列特征方程：1＋G(s)=0，劳斯判据判稳。 如果系统稳定，则稳态输出Css(t)为：
Css (t) A0 ( jw) sin(wt 0 ( jw))
(2).输入信号为正弦 r(t) A0 sin(wt 0) ,求扰动 n(t)=0时的稳态误差ess1(t)。
必须判稳，只有稳定的系统才有稳态误差。
这时，求R(s)输入下的误差传递函数 er (s) ，
E(s)=希望输出－实际输出
一.比例环节
传递函数为G(s)=k
频率特性为 G( jw) ke j 0
幅频特性为 A(w)=k
相频特性为 (w) 0
极坐标图和伯德图为：
L(w)(dB)
20lgk
(w)(度) 0.1 1 10 100
w
0
w
-30
Bode图
j
w=0
w
0k
w
极坐标图
二.积分环节和微分环节
积分环节: G(s) C(s) R(s) 1/ s
1
e jarctgTw
T 2w2 1
幅频特性: A(w) 1
T 2w2 1
将惯性环节的频率特性 G( jw)分解成实部ReG( jw)
和虚部 ImG( jw) ，并整理得：
Re G(
jw)
12 2
ImG(
jw)2
(1)2 2
Nyquist曲线:以(0.5,j0)为圆心,以0.5为半径的
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输入信号的复数表示为： U1me j 0
1 例题中输出信号的复数表示为：U1m e 1 j 它们之比为：G( j ) 1 A( )e j ( ) A( ) ( ) 1 j
1 j 1 j
1 1 1 ( ) arg tan A( ) 2 2 1 j 1 j 1
（1）任何信号都可以分解为叠加的谐波信号；
（2）频率特性是一种图解方法，根据开环频率特性判断闭环频 率特性； （3）对于某些无法求解的微分方程或传函，可通过实验测出其 频率特性，进而求传函； （4）频率特性主要是用于线性定常系统，频率特性与输入正弦 信号的幅值与相位无关。 本章涉及数学基础：傅里叶变换
系统频率响应与正弦输入信号的关系称为频率 特性。
是一种图解分析法，不仅可以反映系统的稳态性 能，而且可以用来研究系统的稳定性的暂态性能。 具有明确的物理意义。数学基础是傅利叶变换。
§5.1 频率特性的概念
不
设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。
40
给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦， 曲线如下:
对于正弦输入，其输入的稳态响应仍然是一个同 上式表明：
频率正弦信号。但幅值降低，相角滞后。
输入输出为正弦函数时，可以表示成复数形式，设 输入为Xej0，输出为Yejφ，则输出输入之复数比为：
A( ) —幅值频率特性 Ye j Y j j ( ) e A( )e j0 Xe X ( ) —相角频率特性
结论
Ar=1 ω=0.5
给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入 同频率的正弦，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。
ω=1
ω=2
ω=2.5
ω=4
相角问题
AA ① 稳态输出 迟后于输入的 角度为： B φ= 360o A ②该角度与ω有 关系 , ∴为φ(ω) ③该角度与初始 角度无关 , ∴ …
B B
频率特性的定义： 线性定常系统（或元件）的频率特性是指：在零 初始条件下稳态输出的正弦信号与输入正弦信号的复 数比。
1 G ( j ) 1 j 幅频特性和相频特性数据
(rad s 1 )
0
1 0
1 2 1 2 3 4 5
0.89 0 0.70 7 0.44 7 0.31 6 0.24 3 0.19 6 -26.5 -45.0 -63.4 -71.6 -76.0 -78.7
其拉氏反变换为：
U1m U1m u2 e sin(t arctan ) 2 2 2 2 1 1
t
其稳态响应为：
lim u2
t
U1m 1 2 2
sin(t arctan ) U1m
1 1 sin(t ) 1 j 1 j
一、频率特性的定义 例：如图所示电气网络的传递函数为
U 2 ( s) 1 Cs 1 1 U1 ( s) R 1 Cs RCs 1 s 1
u1
R
i
C
u2
若输入为正弦信号： u1 U1m sin t 其拉氏变换为：
U 1m U1 ( s) 2 s 2
U1m 1 2 输出拉氏变换为： U 2 ( s) s 1 s 2
0°
0 -90
A( )
()( )
1.0 0.6 0.4 0.2 0 0.8
( )
3 4 5
A( )
-20° -40° -60° -80°
1 2
1 2 3 4 5
频率特性G(jω)也可以表示成实部和虚部的复数形式。
G( j) P() jQ()
时域分析： 频域分析：
输入
c(t ) L1[G(s) R(s)]
r(t)=X Sint
系统
输出（稳定后）
c(t)=Cm Sin（t+）
在正弦输入信号的作用下，系统输出的稳态分量与输入量 复数之比称为频率响应。
人们发现频率特性虽然是一种稳态特性，但它既反映系 统的稳态性能，还可以研究系统的暂态性能。 问题：为什么人们如此重视频率特性的分析呢？
若无重极点，上式可写为
n ai b1 b2 C ( s) s j s j i 1 s pi
c(t ) b1e
j
b2e
j
j
ai e
i 1
j
n
pi t
若系统稳定，pi都具有负实部，则稳态分量为：
第五章 线性系统的频域分析
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 §5.5 §5.6
频率特性的概念
典型环节的频率特性 系统的开环频率特性 乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性 利用开环频率特性分析系统性能 利用闭环频率特性分析系统性能
本章重点
1.开环频率特性的绘制(包括极坐标图和对数坐 标图)； 2. 乃奎斯特稳定性判据及其在Bode图中的应用； 3. 对数频率特性和闭环系统性能的关系； 4. 开环频率特性指标； 5. 闭环频率特性指标。
本章难点
• 开环频率特性的绘制； • 乃奎斯特判据的原理及其应用；
• 剪切频率及相角、幅值裕度的求取；
• 二阶系统频率特性指标和时域指标的换算；
• 典型二型系统频、时域指标的定性关系。
时域方法准确、直观。但用解析法求解系统的 时域响应不易。 正弦输入信号的作用下，系统输出的稳态分量 称为频率响应。
P() A() cos () Q() A() sin ()
A( ) P ( ) 2 Q ( ) 2
Q( ) ( ) arctan P( )
二、频率特性与传递函数的关系
线性定常系统的传递函数表达式为
C ( s) N ( s) N ( s) G( s) R( s) D( s) ( s p1 )(s p2 ) ( s pn ) M 输入为r(t)=Msin(ωt)， R( s) 2 s 2 N ( s) M C ( s) 2 ( s p1 )(s p2 ) ( s pn ) s 2
1 例题中输出信号的复数表示为：U1m e 1 j 它们之比为：G( j ) 1 A( )e j ( ) A( ) ( ) 1 j
1 j 1 j
1 1 1 ( ) arg tan A( ) 2 2 1 j 1 j 1
（1）任何信号都可以分解为叠加的谐波信号；
（2）频率特性是一种图解方法，根据开环频率特性判断闭环频 率特性； （3）对于某些无法求解的微分方程或传函，可通过实验测出其 频率特性，进而求传函； （4）频率特性主要是用于线性定常系统，频率特性与输入正弦 信号的幅值与相位无关。 本章涉及数学基础：傅里叶变换
系统频率响应与正弦输入信号的关系称为频率 特性。
是一种图解分析法，不仅可以反映系统的稳态性 能，而且可以用来研究系统的稳定性的暂态性能。 具有明确的物理意义。数学基础是傅利叶变换。
§5.1 频率特性的概念
不
设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。
40
给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦， 曲线如下:
对于正弦输入，其输入的稳态响应仍然是一个同 上式表明：
频率正弦信号。但幅值降低，相角滞后。
输入输出为正弦函数时，可以表示成复数形式，设 输入为Xej0，输出为Yejφ，则输出输入之复数比为：
A( ) —幅值频率特性 Ye j Y j j ( ) e A( )e j0 Xe X ( ) —相角频率特性
结论
Ar=1 ω=0.5
给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入 同频率的正弦，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。
ω=1
ω=2
ω=2.5
ω=4
相角问题
AA ① 稳态输出 迟后于输入的 角度为： B φ= 360o A ②该角度与ω有 关系 , ∴为φ(ω) ③该角度与初始 角度无关 , ∴ …
B B
频率特性的定义： 线性定常系统（或元件）的频率特性是指：在零 初始条件下稳态输出的正弦信号与输入正弦信号的复 数比。
1 G ( j ) 1 j 幅频特性和相频特性数据
(rad s 1 )
0
1 0
1 2 1 2 3 4 5
0.89 0 0.70 7 0.44 7 0.31 6 0.24 3 0.19 6 -26.5 -45.0 -63.4 -71.6 -76.0 -78.7
其拉氏反变换为：
U1m U1m u2 e sin(t arctan ) 2 2 2 2 1 1
t
其稳态响应为：
lim u2
t
U1m 1 2 2
sin(t arctan ) U1m
1 1 sin(t ) 1 j 1 j
一、频率特性的定义 例：如图所示电气网络的传递函数为
U 2 ( s) 1 Cs 1 1 U1 ( s) R 1 Cs RCs 1 s 1
u1
R
i
C
u2
若输入为正弦信号： u1 U1m sin t 其拉氏变换为：
U 1m U1 ( s) 2 s 2
U1m 1 2 输出拉氏变换为： U 2 ( s) s 1 s 2
0°
0 -90
A( )
()( )
1.0 0.6 0.4 0.2 0 0.8
( )
3 4 5
A( )
-20° -40° -60° -80°
1 2
1 2 3 4 5
频率特性G(jω)也可以表示成实部和虚部的复数形式。
G( j) P() jQ()
时域分析： 频域分析：
输入
c(t ) L1[G(s) R(s)]
r(t)=X Sint
系统
输出（稳定后）
c(t)=Cm Sin（t+）
在正弦输入信号的作用下，系统输出的稳态分量与输入量 复数之比称为频率响应。
人们发现频率特性虽然是一种稳态特性，但它既反映系 统的稳态性能，还可以研究系统的暂态性能。 问题：为什么人们如此重视频率特性的分析呢？
若无重极点，上式可写为
n ai b1 b2 C ( s) s j s j i 1 s pi
c(t ) b1e
j
b2e
j
j
ai e
i 1
j
n
pi t
若系统稳定，pi都具有负实部，则稳态分量为：
第五章 线性系统的频域分析
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 §5.5 §5.6
频率特性的概念
典型环节的频率特性 系统的开环频率特性 乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性 利用开环频率特性分析系统性能 利用闭环频率特性分析系统性能
本章重点
1.开环频率特性的绘制(包括极坐标图和对数坐 标图)； 2. 乃奎斯特稳定性判据及其在Bode图中的应用； 3. 对数频率特性和闭环系统性能的关系； 4. 开环频率特性指标； 5. 闭环频率特性指标。
本章难点
• 开环频率特性的绘制； • 乃奎斯特判据的原理及其应用；
• 剪切频率及相角、幅值裕度的求取；
• 二阶系统频率特性指标和时域指标的换算；
• 典型二型系统频、时域指标的定性关系。
时域方法准确、直观。但用解析法求解系统的 时域响应不易。 正弦输入信号的作用下，系统输出的稳态分量 称为频率响应。
P() A() cos () Q() A() sin ()
A( ) P ( ) 2 Q ( ) 2
Q( ) ( ) arctan P( )
二、频率特性与传递函数的关系
线性定常系统的传递函数表达式为
C ( s) N ( s) N ( s) G( s) R( s) D( s) ( s p1 )(s p2 ) ( s pn ) M 输入为r(t)=Msin(ωt)， R( s) 2 s 2 N ( s) M C ( s) 2 ( s p1 )(s p2 ) ( s pn ) s 2