(完整版)12：直线与方程全章导学案(不看后悔,绝对经典)

高考总复习第12讲：直线与方程

§3.1直线的倾斜角与斜率

学习目标

1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；

2．掌握过两点的直线斜率的计算公式；

3．能用公式和概念解决问题.

学习过程

一、课前准备

复习1：在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢?

复习2：在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭,有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢?

二、新课导学

※学习探究

新知1：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角 叫做直线l的倾斜角（angle of inclination）.

关键：①直线向上方向；②x轴的正方向；③小于平角的正角.

注意:当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度..

试试：请描出下列各直线的倾斜角.

反思：直线倾斜角的范围？

探究任务二：在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”，则坡度的公式是怎样的？

新知2：一条直线的倾斜角()2

π

αα≠的正切值叫做这条直线的斜率(slope).记为tan k α=. 试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为 ⑴当0o α=时，则k ； ⑵当090o o α<<时，则k ； ⑶当90o α=时，则k ； ⑷当090180o α<<时，则k .

新知3：已知直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 12

()x x ≠的直线的斜率公式：21

21

y y k x x -=-. 探究任务三：

1.已知直线上两点1212(,),(,),A a a B b b 运用上述公式计算直线的斜率时，与,A B 两点坐标的顺序有关吗？

2．当直线平行于y 轴时，或与y 轴重合时，上述公式还需要适用吗？为什么？

※ 典型例题

例1 已知直线的倾斜角，求直线的斜率： ⑴30οα=； ⑵135οα=； ⑶60οα=； ⑷90οα=

变式：已知直线的斜率，求其倾斜角. ⑴0k =； ⑵1k =；

⑶k =； ⑷k 不存在

例2 求经过两点(2,3),(4,7)A B 的直线的斜率和倾斜角,并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角.

※ 动手试试

练1. 求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角. ⑴(2,3),(1,4)A B -； ⑵(5,0),(4,2)A B -.

练2．画出斜率为0,1,1-且经过点(1,0)的直线.

练3．判断(2,12),(1,3),(4,6)A B C --三点的位置关系，并说明理由.

三、总结提升 ※ 学习小结

1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角的范围是[0,180)︒.

2.直线斜率的求法：⑴利用倾斜角的正切来求；⑵利用直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 的坐标来求；⑶当直线的倾斜角90οα=时，直线的斜率是不存在的

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列叙述中不正确的是（ ）.

A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应

B ．每一条直线都惟一对应一个倾斜角

C ．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0o 或90ο

D ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α 2. 经过(2,0),(5,3)A B --两点的直线的倾斜角（ ）.

A ．45ο

B ．135ο

C ．90ο

D ．60ο

3. 过点P (－2,m )和Q (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ). A.1 B.4 C.1或3 D.1或4

4. 直线经过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则α为 角；k 的取值范围 .

5． 已知直线l 1的倾斜角为α1，则l 1关于x 轴对称的直线l 2的倾斜角2α为________.

1. 已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 且与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围.

2. 已知直线l 过2211

(2,()),(2,())A t B t t t

-+-两点，求此直线的斜率和倾斜角.

§ 3.2两直线平行与垂直的判定

1. 熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；

2．通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力；

3．通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣．

1．已知直线的倾斜角(90)οαα≠，则直线的斜率为 ；已知直线上两点1122(,),(,)A x y B x y 且12x x ≠，则直线的斜率为 .

2.若直线l 过(－2,3)和(6，－5)两点，则直线l 的斜率为 ,倾斜角为 .

3．斜率为2的直线经过(3，5)、(a ,7)、(－1,b )三点，则a 、b 的值分别为 .

4．已知12,l l 的斜率都不存在且12,l l 不重合，则两直线的位置关系 .

5．已知一直线经过两点(,2),(,21)A m B m m --，且直线的倾斜角为60ο，则m = .

复习2：两直线平行(垂直)时它们的倾斜角之间有何关系?

二、新课导学： ※ 学习探究

问题1：特殊情况下的两直线平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时：

(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为 ，两直线位置关系是 .

(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为 ，另一条直线的倾斜角为 ，两直线的位置关系是 .

问题2：斜率存在时两直线的平行与垂直．设直线1l 和2l 的斜率为1k 和2k .

⑴两条直线平行的情形．如果21//l l ，那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系，反过来成立吗？

新知1：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即12//l l ⇔1k =2k

注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立．

⑵两条直线垂直的情形.如果12l l ⊥

，那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系，反过来成立