数学物理方法解析函数

第二章 解析函数第一节 解析函数的概念及哥西-黎曼条件一 导数的定义定义 2.1. 设函数()w f z =在区域D 上有定义，且z 及z z +∆均属于D ，如果0()()limz f z z f z z∆→+∆-∆ 2.1 存在，则称此极限为函数()f z 在z 点的导数，记为()df z dz 或'()f z . 这时称函数()f z 在z 点可微.例1. ()n f z z =在复平面上每点均可微，且1n n d z nz dz-=. 事实上，对固定的点z ，有 121100()(1)lim lim[()]2n n n n n n z z z z z n n nz z z z nz z ----∆→∆→+∆--=+∆++∆=∆. 例2. ()f z z =在复平面上均不可微.事实上，z z z z z z z z z z+∆-+∆-∆==∆∆∆. 当0z ∆→时，上式的极限不存在. 因为当z ∆取实数而趋于0时，它趋于1，当z ∆取纯虚数而趋于0时，它趋于1-.函数在一点可微，则它在该点必连续，反之不一定正确. 例如函数()f z z =，由000lim ()lim ()lim ()()z z z f z z z z z z z f z ∆→∆→∆→+∆=+∆=∆+==，知它在复平面上处处连续，但由例2知它处处不可微.若函数(),()f z g z 在区域D 上z 点可微，则其和，差，积，商（要求分母不为0）在区域D 上z 点可微，且有如下的求导法则：[()()]''()'()f z g z f z g z ±=±，[()()]''()()()'()f z g z f z g z f z g z =+，2()'()()()'()[]'(()0)()[()]f z f z g z f z g z g z g z g z -=≠. 二 哥西---黎曼条件现在，我们来研究复变函数()f z 在点z 可微的必要条件和充分条件. 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在一点可微，也就是说，0()()lim '()z f z z f z f z z∆→+∆-=∆. 2.2 令,()()z x i y f z z f z u i v ∆=∆+∆+∆-=∆+∆，其中(,)(,)u u x x y y u x y ∆=+∆+∆-，(,)(,)v v x x y y v x y ∆=+∆+∆-，则前式变为00lim'()x y u i v f z x i y ∆→∆→∆+∆=∆+∆. 因为z x i y ∆=∆+∆无论按什么方式趋于0，(2.2)式总是成立的.可先让0,0,x y ∆→∆=即变点z z +∆沿平行于实轴的方向趋于z 点，此时(2.2)成为00limlim '()x x u v i f z x x ∆→∆→∆∆+=∆∆. 于是知道,u v x x∂∂∂∂必存在，且 '().u v f z i x x∂∂=+∂∂ 2.3 同样，让0,0,y x ∆→∆=即变点z z +∆沿平行于虚轴的方向趋于z 点，此时(2.2)成为00limlim '()y y v u i f z y y ∆→∆→∆∆-=∆∆. 于是知道,u v y y∂∂∂∂必存在，且 '().v u f z i y y∂∂=-∂∂ 2.4 比较(2.3)和(2.4)得到,.u v u v x y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 2.5 这是关于u 及v 的一组偏微分方程，称为哥西---黎曼条件（Cauchy-Riemann ），记为C-R 条件. 公式（2.5）也称为D ’Alembert-Euler 公式，是复变函数中的最重要的公式之一.总结上述讨论，得到下述定理：定理2.1 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 上(,)x y 点可微的必要条件是: (,),(,)u x y v x y 的偏导数,,,x y x y u u v v 在点(,)x y 存在，且满足C-R 条件（2.5）.注：定理2.1给出的是函数在一点可微的必要条件，所以凡是在一点不满足上述条件的函数在该点不可微.例如()f z z =，这里,u x v y ==-. 由于1,0,x y u u ==0,1,x y v v ==-偏导数虽然存在，但是处处不满足C-R 条件，所以函数处处不可微，这同例2一致.但是，定理2.1给出的条件并不是充分的.例3. 函数()f z =0z =点满足定理2.1的所有条件，但在0z =点不可微事实上0u v ==. 于是0(,0)(0,0)(0,0)lim 0(0,0),(0,)(0,0)(0,0)lim 0(0,0),x x y y y x u x u u v x u y u u v y ∆→∆→∆-===∆∆-===-∆所以函数()f z =0z =点满足定理2.1的所有条件. 但是()(0)f z f z ∆-=∆当z x i y ∆=∆+∆沿射线y k x ∆=∆趋于0时，上述比值为与k 有关的值，从而函数在0z =点不可微现在，我们把定理2.1的条件适当加强，就得到函数可微的充要条件. 定理 2.2 函数()(,)(,)f z u x y i v x y =+在区域D 上定义，则()f z 在z x iy =+可微的充要条件是(,),(,)u x y v x y 在点(,)x y 处可微且满足C-R 条件. 同时'()x x x y y x y y f z u iv u iu v iv v iu =+=-=+=-. 2.7证明 必要性：设则()f z 在z x iy =+可微，则()'()f z f z z z η∆=∆+∆其中η是随0z ∆→而趋于零的复数. 若令'()f z a bi =+，则上式变为12()u i v a x b y i b x a y i ηη∆+∆=∆-∆+∆+∆++，其中12Re(),Im()z z ηηηη=⋅∆=⋅∆，它们是对z ∆=. 比较后得到1u a x b y η∆=∆-∆+，2v b x a y η∆=∆+∆+.由二元实函数的微分定义，知道函数(,),(,)u x y v x y 在点(,)x y 处可微且满足,x y y x u a v u b v ===-=-（C-R 条件）.充分性：当定理的条件满足时，(,),(,)u x y v x y 在点(,)x y 处有全微分，所以1x y u u x u y η∆=∆+∆+，2x y v v x v y η∆=∆+∆+,式中1η及2η. 再由C-R 条件，可令,x y y x u v u v αβ==-==- 2.6于是就有1212()()()f u i v x y i x y i x i y i αβηβαηαβηη∆=∆+∆=∆-∆++∆+∆+=+∆+∆++即 12()i f i z zηηαβ+∆=++∆∆. 令0z ∆→，并注意到12120i z z ηηηη++≤=→∆∆， 所以0lim (),z f i zαβ∆→∆=+∆ 也就是 '()x x f z i u iv αβ=+=+.结合（2.6）式也就得到（2.7）式.注意：复变函数导数的定义，虽然形式上与实变函数导数的定义一样，但实质上有很大的不同.实变函数可微这一条件比较容易满足，其变量x ∆只沿实轴趋于零.而复变函数可微的条件要苛刻得多，它要求当z ∆以任意的方式趋于零时，()()f z z f z z+∆-∆ 都趋于同一个极限，即不但要求复变函数的实部及虚部可微，而且要求它们用C-R 条件联系起来.三 解析函数的定义定义2.2 如果函数()f z 在区域D 上处处可微，则称()f z 是区域D 上的解析函数，或称()f z 在D 上解析; 函数函数()f z 在闭区域D 上解析是指它在包含D 的某个区域上解析；函数函数()f z 在某点解析是指它在该点的某一个邻域内处处可微.如果()f z 在0z 点不解析，则称0z 为()f z 的奇点.注意：解析的概念是“片”的概念，可微是“点”的概念，只有当可导的点连成片时，我们才称函数是解析的.由定理2.2不难得到函数解析的充要条件定理2.3 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 上定义，则()f z 在区域D 上解析的充要条件是(,),(,)u x y v x y 在区域D 上可微且处处满足C-R 条件.例4 设()cos sin x x f z e y ie y =+，试说明()f z 是处处解析的函数，且'()()f z f z =.解：在这里cos ,sin x x u e y v e y ==，当然它们处处可微.简单计算一下有cos ,sin x x x y y x u e y v u e y v ===-=-，也即处处满足C-R 条件，从而函数是处处可微的.并且'()cos sin ()x x x x f z u iv e y ie y f z =+=+=.形式上推演一下有()cos sin (cos sin )x x x x iy x iy z f z e y ie y e y i y e e e e +=+=+===，这就是我们后面将要定义的复指数函数.例5 设2222()f z x y ix y =-+，说明函数在何处可微，何处解析？ 解：222,2,2,2x y x y u x u y v xy v x y ==-==。