理论力学1-3 自然坐标描述法

v2 an
16/19
x
例 1-3-4
l r
解
q r n
小结 第1章 新的概念：自然坐标、密切面、主法 线、副法线 灵活掌握基本公式

自然坐标中的速度 自然坐标中的加速度（分量的意义）
v v r n l v r q v v d r l lv vA v l n dt
6/13
v e ( e e )
2e 2sin t a 2
a e 2e 2e 2e
t π / 2
2 (ecos t ) 2 a
1
例 1-4-2 第1章 点P以常速度v0沿曲线 = bcos3运动。求
2

2 2v0 e 3b
10/13
例 1-4-3
a 2 2 d 1 ) 0 ( dt
解
C 2
p
小结 第1章 径向单位矢量和横向单位矢量 极坐标描述法的速度和加速度公式 当质点的运动或受力易写为到某点的 距离和极角的形式时，极坐标描述法 非常有用
τ 垂直，其单位矢量用 n 表示。
τ
P
n
P´
τ
n – 主法线
第1章 驾驶员驾驶赛车以速度vA从A点进入半圆形
第1章
点的运动学
7/19
点的运动学
τ
τ
密切面
b
密切面：由轨迹 上无限接近的两 点的两条切线所 确定的极限平面。
A点弧坐标形式的运动方程为 s l l 0 sin t
O

l
求：
点 的运动学
15/19
点 的运动学
v v v v
2 x 2 y
2 z
av a a v
2 2 a ax a2 y az
v v ax v x a y v y az v z τ
j
y
A
v
M
v v v
2 x 2 y
2 z
q
r
O
an a 2 a2
径向加速度a 请注意径向和法向、横向 和切向之间的差别！ 横向加速度a
e
O
e
r

P
v 的方向？
4/13
e
e
O
r

P
讨论

例 1-4-1 第1章
2
圆周运动
)e (2 )e a (t ) (
2 e e
如何理解极坐标下加速度 表达式中的各项？
已知点的运动方程是 = e(1– cost), = t, 其中e、均为常数，求当t = /2 瞬时点的 速度和加速度。 解： v e e e sin te e
点 的 运 动学
5/13
点 的 运 动学
e e
e e
e e e e e
第1章
点 的 运动学
3/13
点 的 运动学
e e
横向速度 径向速度
2 )e ( )e ( (2
a — 质点速度大小的变化. an — 质点速度方向的变化. an 总是指向运动轨迹 的曲率中心。
第1章
点 的运动学
3/19
点 的运动学
s
τ
P
s s(t )
s0
P
r
( s) v (t ) s
切向单位矢量
r
O
r
切向加速度
法向加速度
r r ( s ( t ))
4/19
讨论
A
b n — 副法线方向
如果运动轨迹为平面曲线，n 就是曲线在P 点的单位法线矢量。
l 0 cos t vs O1 2 n a s s l l0 2 sin t 0 cos 2 tn
s
返回
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例 1-3-2 第1章
自然坐标描述法 第1章 点沿已知轨迹运动，则点的运动方程可用点
在已知轨迹上所走过的弧长随时间变化的规 律描述。
点的运动学
1.3 自然坐标描述法
正方向
原点
2013年9月8日
运动方程
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s s (t )
自然坐标描述法：速度 第1章
v (t ) dr dr ds dt ds dt dr r lim d s s 0 s
内纯滚动，轮心速度u为常数。求当轮子边缘 点M到达最高处时其运动轨迹的曲率半径。
已知条件：s = 0, v = vA； s = R, v = vC
点的 运动学
11/19
点的 运动学
C
2 B
s
A
R
O M


v v s R 2 2 2 2 2 v v A 2 vB C 2
C 2
点 的 运动学
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点 的 运动学
= 30：
3b
3b
v ) 0 2 3b 0 (3b 3b 0
求行星的加速度。
)e (2 )e a (
2
an
an
14/19
M点在任意位置 处的曲率半径？
例 1-3-3
已知：v vx i v y j vz k
讨论
a ax i a y j az k

i n
例 1-3-4 第1章 设有一点M的轨迹是平面曲线，M点的矢径为
r，速度为v。直线OA垂直于过M点的切线， 并且与切线交于A点。试求A点的速率。
O
s
R
M
B
v u (1 cos )i u sin j
2 2 a u sin i u cos j R R
C
返回
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2
例 1-3-3 第1章
如何求点运动轨迹的曲 率半径？
解 第1章
例 1-3-3
v u (1 cos )i u sin j
2 2 a u sin i u cos j R R 当M点位于最高点时 (2 k 1)
(t ), (t )
1.4 极坐标描述法
P点的矢径： r (t ) (t )e (t )
e
j e O i
r

P x
点的 运动学
e e
— 径向单位矢量 — 横向单位矢量
e e
? e ? e
e e
解
例 1-4-3
第1章 根据开普勒定律，行星沿着椭圆形轨道绕太
阳运动，运动方程为
v0 3b
2 2 2 2 0 2
p /(1 e cos ), 0 e 1, p 0
在行星运动过程中，从太阳到行星的矢径所 扫过的面积与时间成正比，或者说面积速度 始终保持是常数 即 始终保持是常数，即
赛道，并均匀增加赛车速度，最后以速度vC 从C点离开半圆形赛道，试确定赛车在B点的 加速度。
例 1-3-2
解
A
赛车 R
O
B
模型简化 — 质点沿圆弧轨道运动 宜采用自然坐标描述法，如图示 已知条件 — A点: s = 0, v = vA C点: s = R, v = vC s const 待求量 — aB A ?2 s a( t ) s n ? s B aR n O 2 2 2 2 vC v A vC vA at an at a 2 R 2R
当 = 30时点P的加速度。
例 1-4-2 第1章
2 )e (2 )e a (
b cos 3 0
解 ？ ？
？ ？
3b sin 3 3b
? ?
第1章
wk.baidu.com第1章
点的 运动学
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点的 运动学
y = bcos3
vA ( qτ ln)v
y
A
点的 运动学
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点的 运动学


rv
lτ v
q
r
O
M x
曲率半径的确定 自然坐标描述法非常适合求解运动轨 迹已知的曲线运动
n
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vA

3
第1章
点的运动学
19/19
4
极坐标描述法 第1章
点 P 沿着平面曲线运动，其在任意时刻的 位置可以用极坐标表示为： y
d ds
点的 运动学
5/19
点的 运动学
6/19
1

— 曲线上P点的曲率

s
直线： = 圆： = R
s s(t )
τ
τ
P´
τ
τ 2 sin 2
P
r
τ
o
r
s0
返回
1
dτ / ds 的方向
第1章
dτ 与 ds
例 1-3-1 第1章
单摆的运动规律为 0 sin t ，ω为常数， OA = l。求摆锤A的速度v和加速度a。 解：以O1点为原点建立弧坐标s。


2 3
1 e cos
点 的 运 动学
11/13
点 的 运 动学
C / a
2

C2 p ( e cos ) p2

p
2
e sin
a
C2 p 2
Ce sin p Ce C 2e 1 cos cos p p 2
解
第1章
第1章
q r l
点的运动学
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点的运动学
2 n a(t ) s s a τ a n n 2 a s an s
s
2
v 2ui
v 2u
2 v 4R
a u j R 2 an u R
M a O R u v
2 aB at2 an
点 的运动学
9/19
点 的运动学
C
10/19
C
例 1-3-2
ds s ds ds s ds ds dt ds dt
2 vA 2 2 2 vC vA 2 R 2 A
解
2 s ss C 2
例 1-3-3 第1章 半径为R的轮子沿直线轨道在同一竖直平面
2 n a(t ) s s
加速度没有副法线分量 直线运动 只有切向分量 匀速曲线运动 只有法向分量 圆周运动 向心加速度
dτ / ds 的大小
第1章
dτ lim τ ds s 0 s
lim s 0 s lim 1 2sin s 0 s 2
dr 1 ds dr τ ds
自然坐标描述法：加速度 第1章
( s ) v (t ) s ？ s s a(t )
n a(t ) s s
2
？
dτ ds s n τ ds dt
大小？ dτ ? ds 方向？ 1 n
2013年9月8日
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极坐标描述法 第1章

极坐标描述法 第1章
r (t ) (t )e (t )
P点的加速度为
P点的速度为 (t ) v (t ) r
e e e e
(t ) a (t ) v
e e v (t )
行星的加速度始终指向太阳！
12/13
2
第1章
点的 运动学
13/13
3
v0
P A
3b sin 3 9b 2 cos 3 3b
O

x
=
v0
R
3b v
0 v
v0 3b
当 = 30时
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例 1-4-2
2 2 2 2 2 2 v0 v v