自然坐标系中的速度加速度

4）角加速度
A）定平义均：角加 速度（
[t ]
）
t
1
2
T+t
2 1
O t
2020/5/含22 义：反映一段时间内角速度变化快慢。
5）瞬定时义角：加速度（lim） d
单位：
t0 t
1/ s2
dt
方向：的极限方向
d1
2
T+dt
d2
1
t+dt t
O
O
t
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引入了角位置，角位移，角速度，角加速度，
Y
a
A
O’ ay
ax a
O
Y
an
作业：‘康书’1--8、1--10、1--11；1--16
大学物理习题集：p5--15、p6---17*
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质点圆周运动的角量描述
Angle Description for a Particle Motion in a Circle
引入：很多物体作圆周运动
c）当质点随时间在圆周上转动时， 为时间的
函数
(t) ………(1)
(1)式为用角量描述圆周运动的运动方程
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2）角位移（ ）
质点在 t时间内质点转过的角度
2
1
2 1
注意：1） 的单位为弧度
2）可以证明当
d一个矢量dd
d与转0时动方d向可符以合当作
右手螺旋关系
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即定义了一个矢量
3）角速度
a）平均角速度
定义：
t
2
1
注意：平均角速度不是矢量
b）瞬时角速度
定义：
d
O
注意 ： dt
O
1） 与转动方向成右手缧 旋关系
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通常是画在坐标原点处。
注意 ：
1） 与转动方向成右手缧 旋关系
通常是画在坐标原点处。
2）单位 [] [ ] S 1
+
m
rn
H原子的玻尔模型
各点的速度 加速度不同，用以往的速度加速度 描述不便，为此引入角量描述。
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一）圆周运动的角量描述 1）角位置 （角坐标）（先要规定参考方向）
O 注意：
圆心到质点 所在位置 X 的连线与参考方向之
间的夹角
a)一般规定逆时钟转动为正角位置；
b）角位置的单位 常用弧度（ r a d）无量纲；
dt
a 0 则：
（匀速直线运动）
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讨论：
b):圆周运动中 ( R)
s
a
an
v2
R
0
a
dv dt
a an a
O’
R
o an
a
a v2 nˆ dv ˆ
R dt
又若 v const
（匀速圆周运动）
dv 0
dt
a
v2
nˆ
R
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例：一半径R的滑轮绕O轴运动，其上绕以绳索，
2)曲线越弯曲的地方，曲率半径越小。直线的
=
ˆ,
定义曲率
k
1
o d
ˆ 含义：反映曲线弯曲
d
的程度
ds ds ds d d d d
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ห้องสมุดไป่ตู้
二）平面自然坐标系
平面内一质点运动，若轨迹 y f ( x) 已知
Y
a
r
O
s
O’
a ˆ
s
X
nˆ
Or
自然坐标的建立：
用选择o'坐a 标的原弧点长O度’，S可选表择示坐质标点正的方位向置s ，
它们与位矢，速度，加速度一一对应。
v r a r
线量
角量
二）角量和线量的关系
甲）角量、线量之间的数量关系
设质点作圆周运动
S+
以参考方向与轨迹交点 O’作自然坐标的原点
OR
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O’ S
二）角量和线量的关系
甲）角量、线量之间的数量关系 1）自然坐标与角位置的关系
0
1
运动方程 s v ds dt
s0 a1t
1 2
a1t
2
an
v2 R
nˆ
a12t 2 R
nˆ
s
a
M
R
an
S
Os’0 a1
a
dv ˆ
dt
a1ˆ
aM an a
a12t 2 R
nˆ a1ˆ
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注意：同一质点的加速度无论在直角坐标还是
a 自然坐标中总加速度
只能是一个值。
为： a an a
S a 称为切向加速
aˆ
dv ˆ
dt
v2 nˆ dv ˆ dt
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an
a
S+
a
s
a an a
v2 nˆ dv ˆ dt
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a an2 a2
( dv )2 ( v2 )2
dt
arctg an
a
an
a S+
a
a an a
v2 nˆ dv ˆ
a
讨论：
dt
S a a 0,
0 ,
2
v
a 0, 90, v const
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a 0,
,
2
v
讨论： A):直线运动中 ( )
a
X
an
a
又若
v2
a
dv
0；
dv dt
0；
a
dv dt
ˆ ；
v cinst
绳索的一端挂一重物，已知重物按
h
1 2
a1t 2
规律下降，求轮沿上一点M的加速度（绳不伸
s 长，与轮之间无相对滑动）
已知：R， h
1 2
a1t 2
求： aM ?
a
设解M：点建在立t自=0然时坐的标初系位置为 s0
s
M
R
an
S
Os’0
a1
则：运动方程：
12
s s 2 a t 2020/5/22
v
dˆ
dt
ˆ
dv dt
an
a
S+
O中 d
ˆ
'
dˆ
nˆ
O’
a dsˆ
d
v dˆ ds
ds dt
v2 dˆ
ds
S an称为法向d加ˆ速
a v n dt 2020/5/22
v2 ˆ dnˆ
v2 nˆ ds
S+
切向加速度方向沿
O中
nˆ
O’
d ˆ'dˆ
d
a dsˆ
切线方向，故平面 自然坐标中加速度
(二维 平面）
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dt dt
四）平面自然坐标中的加速度
S+
在a点附近取 dt 时间
切向单位矢的增量为
O中
nˆ
O’
d
a ds
ˆˆd'daˆddvvˆ
ˆ是变量
vˆ
v dˆ ˆ dv
S
dt dt dt
an a
a a 称为法向加速；
n 2020/5/22
称为切向加速度
a
dv dt
其质点运动方程为：s s(t)
为表示矢量建立切向单位矢和法向单位矢 ˆ, nˆ 2020/5/22
三）平面自然坐标系中的速度
s
ˆ s
c r
s O’
运动方程为
r lim s dss(为t)瞬时速率
lim O
dt dr
v
dt
r
v
lim 2020/5/22
t0 t
lim r s s t
lim s lim r t s
r ˆ
t0 s s ds
t0 t dt
ds ˆ vˆ
dt
三）平面自然坐标系中的速度
ˆ
c
s
r
s
v ds ˆ vˆ
dt
s O’
结论：自然坐标中的速度大小等
于上式中ds / dt 的绝对值，方向
r 沿切线方向。
v O 注意: 有正负，自然坐标中的分量 与直角坐标相比：
v v
( dx )2 ( dy )2