山东省青岛市2020年4月高三统一质量检测(一模)数学试卷(含答案)

青岛市2020年高三统一质量检测

数学试题2020.04

全卷满分150 分.考试用时120分钟｡

一､单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知i 是虚数单位,复数12,i z

i -=则z 的共轭复数z 的虚部为 A. –i B.1

C. i

D. -1 2.已知集合2{|log 2}A x R x =∈<,集合B={x ∈R||x-1|<2}, 则A∩B=

A. (0,3)

B. (-1,3)

C. (0,4)

D. (-∞,3)

3.已知某市居民在2019年用于手机支付的个人消费额ξ(单位:元)服从正态分布2(2000,100),N 则该市某居

民手机支付的消费额在(1900, 2200)内的概率为

A.0.9759

B.0.84

C.0.8185

D.0.4772 附:随机变量ξ服从正态分布2(,),N μσ则P(μ-σ<ξ<μ+σ)= 0.6826,

(22)0.9544P μσξμσ-<<+=, P(μ- 3σ<ξ<μ+3σ)= 0.9974 .

4.设0.2

2,a b ==sin22,log 0.2,c =则a, b,c 的大小关系正确的是

A. a>b> c

B. b>a> c

C. b>c>a

D. c>a>b 5.已知函数39,0()( 2.718...,0

x x x f x e xe x ⎧-≥==⎨<⎩为自然对数的底数),若f(x)的零点为α,极值点为β,则α+β=

A.-1

B.0

C.1

D.2

6.已知四棱锥P-ABCD 的所有棱长均相等,点E,F 分别在线段PA, PC 上,且EF//底面ABCD,则异面直线EF 与PB 所成角的大小为

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

7.在同一直角坐标系下,已知双曲线C:22

221(0,0)y x a b a b

-=>>双曲线C 的一个焦点到一条渐近线的距离为2,函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移3

π单位后得到曲线D,点A,B 分别在双曲线C 的下支和曲线D 上,则线段AB 长度的最小值为

A.2 .B .C D.1

8.某单位举行诗词大会比赛,给每位参赛者设计了“保留题型” ､“升级题型” ､“创新题型”三类题型,每类题型均指定一道题让参赛者回答｡已知某位参赛者答对每道题的概率均为

4,5

且各次答对与否相互独立,则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率

112.125A 80.125B 113.125C 124.125

D 二､多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求｡全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分｡

9.已知向量(1,1),(3,1),(1,1),a b a b c +=-=-=设,a b 的夹角为θ,则

.||||A a b =

.B a c ⊥ .//C b c D. θ=135° 10.已知函数22()sin 23sin cos cos ,f x x x x x =+-x ∈R,则

A. -2≤f(x)≤2

B. f(x) 在区间(0,π)上只有1个零点

C. f(x) 的最小正周期为π .3D x π

=为f(x)图象的一条对称轴

11.已知数列{}n a 的前n 项和为S 11,1,21,n n n a S S a +==++数列1

2{}n

n n a a +⋅的前n 项和为*,,n T n N ∈则下列选项正确的为

A.数列{1}n a +是等差数列

B.数列{1}n a +是等比数列

C.数列{}n a 的通项公式为21n n a =-

.1n D T < 12.已知四棱台1111

ABCD A B C D -的上下底面均为正方形,其中22,AB =111112,2,A B AA BB CC ====则下述正确的是

A.3

11.B AA CC ⊥ C.该四棱台的表面积为26 D.该四棱合外接球的表面积为16π

三､填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分｡

13.若∀x 1(0,),4x x a -∈+∞+≥恒成立,则实数a 的取值范围为____

14.已知函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数, f(0)=1, 则f(2)=____

15. 已知a ∈N,二项式61()a x x

++展开式中含有2x 项的系数不大于240,记a 的取值集合为A,则由集合A 中元素构成的无重复数字的三位数共有______个 .

16.2020年是中国传统的农历“鼠年”,有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象,如图:Q(0,-3)是圆Q 的圆心,圆Q 过坐标原点O;点L ､S 均在x 轴上,圆L 与圆S 的半径都等于2,圆S ､圆L 均与圆Q 外切｡已知直线l 过点O .

(1) 若直线l 与圆L ､圆S 均相切,则l 截圆Q 所得弦长为____ ;

(2)若直线l 截圆L ､圆S ､圆Q 所得弦长均等于d,则d=____.

(本题第一个空2分,第二个空3分)

四､解答题:本题共6小题,共70分｡解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤｡

17.(10分)

设等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 等比数列{}n b 的前n 项和为.n T 已知112,a b =236,12,S S ==24,3T =

n ∈N *. (1)求{},{}n n a b 的通项公式;

(2)是否存在正整数k,使得6k S k <且139

k

T >？若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由｡

18.(12分) 在△ABC 中, a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边,22222()(1tan )b b c a A =+--.

(1)求角C ;

(2)若210,c =D 为BC 中点,在下列两个条件中任选一个,求AD 的长度｡

条件①:△ABC 的面积S=4且B> A;

条件②:25cos 5

B = 注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分｡

19. (12 分)

在如图所示的四棱锥E-ABCD 中,四边形ABCD 为平行四边形,△BCE 为边长为2的等边三角形,AB=AE,点F,O 分别为AB, BE 的中点, OF 是异面直线AB 和OC 的公垂线｡