复变函数-导数与微分
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在分母为零处 ( z i , z 1 ) 都有导数。
x y x y ( 3) 2 i 2 2 x y x y2
f (z) ( x iy ) i ( x iy ) x2 y2
（1 i ) z zz 1 i z
所以 , 除 z 0 外 , 处处可导 , 且
__
________
__
y 0, z x 0 , 从而
z x lim lim 1 z 0 z x 0 x
__ __
当 z 沿平行于 y 轴方向 0 , 即 x 0, z iy ,
z i y lim lim 1 z 0 z y 0 i y
2z
例2. 证明：f ( z) z 在复平面上处处不可导。
因为 f ( z z ) f ( z ) ( z z ) z z
f ( z z ) f ( z ) z 所以 z z 当 z 沿平行于 x 轴方向 0 ( 即 z z z ) 时,
z 由以上讨论可知, lim 不存在, f ( z ) z 在复平面上处处不可导 。
容易证明, 可导可以推出连续，反之不然。
二、几个求导公式与法则 复变函数的求导法则与一元实函数求导法则相同。
（1） c 0 ( c 为复常数 )
（2） ( z n ) nz n1 ( n 为正整数 )
f [ g( z )] f ( w ) g( z ) ( w g( z )) （6）
1 （7）f ( z ) , 其中, w f ( z ) 与 z ( w ) 是两个 ( w ) 互为反函数的单值函数 且 ( w ) 0。
例. 下列函数在何处可导 ? 求出其导数。
例1. 设 f ( z) z , 求 f ( z)。
2
f ( z z ) f ( z ) 解 : f ( z ) lim z 0 z ( z z ) 2 z 2 lim （利用二项展开式） z 0 z
lim 2 z z
z 0
复变函数连续与可导的关系与实函数相同。
f '( z0 )z 或 f '( z0 ) d z 称为函数 w f ( z ) 在点 z0 的微分。 记作 d w f '( z0 )z 或 f '( z0 ) d z.
若 f ( z ) 在点 z0 的微分存在，称 f ( z ) 在 z0 点可微。 函数 w f ( z ) 在点 z0 可导与在点 z0 可微是等价的。
在复平面上处处可导。
z2 ( 2) ( z 1)(z 2 1)
z2 ( z 1)(z 2 1)
（z 1)( z 2 1) ( z 2)[( z 2 1) 2 z ( z 1)] ( z 1)2 ( z 2 1)2 2z 3 5z 2 4z 3 ( z 1)2 ( z 2 1)2
f ( z0 ) 或 dw dz z z0
即
f ( z0 ) lim
z 0
f ( z0 z ) f ( z0 ) z
注 : 定义中, z 0 ( z0 z z0 ) 的方式是任意的, 定义中极限值的存在与 z 0 的方式无关。
如果 w f ( z ) 在 D 内处处可导, 则称 f ( z ) 在 D 内 可导, f ( z ) 称为 f ( z ) 的导数, 简称导数。
1 i f ( z ) 2 z
(z0)
1.4 复变函数的导数与微分
一. 导数的定义
设函数 w f ( z ) 定义于区域 D, z0 是区域 D 内的一点, 点 z0 z D, 若极限 f ( z0 z ) f ( z0 ) lim z 0 z
存在, 则称函数 f ( z) 在 z0 点可导。 此极限值
称为 f ( z ) 在 z0 点的导数, 记作 :
（3） [ f ( z ) g ( z )] f ( z ) g( z ) （4） [ f ( z ) g ( z )] f ( z ) g ( z ) f ( z ) g( z ) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g( z ) f ( z) （5） ( g( z ) 0 ) g( z ) 2 g (z)
z2 (1) ( z 1) ( z 1) ; ( 2) ( z 1)( z 2 1) x y x y ( 3) 2 i 2 2 x y x y2
2 2 2 2
解 : (1) [( z 2 1)2 ( z 2 1)2 ] 4z( z 2 1)( z 2 1)2 4z( z 2 1)2 ( z 2 1) 8z 3 ( z 2 1)( z 2 1) 8 z 3 ( z 4 1)
x y x y ( 3) 2 i 2 2 x y x y2
f (z) ( x iy ) i ( x iy ) x2 y2
（1 i ) z zz 1 i z
所以 , 除 z 0 外 , 处处可导 , 且
__
________
__
y 0, z x 0 , 从而
z x lim lim 1 z 0 z x 0 x
__ __
当 z 沿平行于 y 轴方向 0 , 即 x 0, z iy ,
z i y lim lim 1 z 0 z y 0 i y
2z
例2. 证明：f ( z) z 在复平面上处处不可导。
因为 f ( z z ) f ( z ) ( z z ) z z
f ( z z ) f ( z ) z 所以 z z 当 z 沿平行于 x 轴方向 0 ( 即 z z z ) 时,
z 由以上讨论可知, lim 不存在, f ( z ) z 在复平面上处处不可导 。
容易证明, 可导可以推出连续，反之不然。
二、几个求导公式与法则 复变函数的求导法则与一元实函数求导法则相同。
（1） c 0 ( c 为复常数 )
（2） ( z n ) nz n1 ( n 为正整数 )
f [ g( z )] f ( w ) g( z ) ( w g( z )) （6）
1 （7）f ( z ) , 其中, w f ( z ) 与 z ( w ) 是两个 ( w ) 互为反函数的单值函数 且 ( w ) 0。
例. 下列函数在何处可导 ? 求出其导数。
例1. 设 f ( z) z , 求 f ( z)。
2
f ( z z ) f ( z ) 解 : f ( z ) lim z 0 z ( z z ) 2 z 2 lim （利用二项展开式） z 0 z
lim 2 z z
z 0
复变函数连续与可导的关系与实函数相同。
f '( z0 )z 或 f '( z0 ) d z 称为函数 w f ( z ) 在点 z0 的微分。 记作 d w f '( z0 )z 或 f '( z0 ) d z.
若 f ( z ) 在点 z0 的微分存在，称 f ( z ) 在 z0 点可微。 函数 w f ( z ) 在点 z0 可导与在点 z0 可微是等价的。
在复平面上处处可导。
z2 ( 2) ( z 1)(z 2 1)
z2 ( z 1)(z 2 1)
（z 1)( z 2 1) ( z 2)[( z 2 1) 2 z ( z 1)] ( z 1)2 ( z 2 1)2 2z 3 5z 2 4z 3 ( z 1)2 ( z 2 1)2
f ( z0 ) 或 dw dz z z0
即
f ( z0 ) lim
z 0
f ( z0 z ) f ( z0 ) z
注 : 定义中, z 0 ( z0 z z0 ) 的方式是任意的, 定义中极限值的存在与 z 0 的方式无关。
如果 w f ( z ) 在 D 内处处可导, 则称 f ( z ) 在 D 内 可导, f ( z ) 称为 f ( z ) 的导数, 简称导数。
1 i f ( z ) 2 z
(z0)
1.4 复变函数的导数与微分
一. 导数的定义
设函数 w f ( z ) 定义于区域 D, z0 是区域 D 内的一点, 点 z0 z D, 若极限 f ( z0 z ) f ( z0 ) lim z 0 z
存在, 则称函数 f ( z) 在 z0 点可导。 此极限值
称为 f ( z ) 在 z0 点的导数, 记作 :
（3） [ f ( z ) g ( z )] f ( z ) g( z ) （4） [ f ( z ) g ( z )] f ( z ) g ( z ) f ( z ) g( z ) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g( z ) f ( z) （5） ( g( z ) 0 ) g( z ) 2 g (z)
z2 (1) ( z 1) ( z 1) ; ( 2) ( z 1)( z 2 1) x y x y ( 3) 2 i 2 2 x y x y2
2 2 2 2
解 : (1) [( z 2 1)2 ( z 2 1)2 ] 4z( z 2 1)( z 2 1)2 4z( z 2 1)2 ( z 2 1) 8z 3 ( z 2 1)( z 2 1) 8 z 3 ( z 4 1)