格林公式

∵ ∫ − ydx + xdy = ∫∫ [1 − ( −1)]dxdy = 2 ∫∫ dxdy ,
L
1 ∴ ∫ − y d x + x d y 是 L 所围区域 D 的面积 . 2 L 例1 求椭圆 x = a cos θ , y = b sin θ 所围成图形的面积 A . 1 解 A = ∫ − ydx + xdy 2L 1 2π = ∫ − b sin θ ⋅ d ( a cos θ ) + a cos θ ⋅ d ( b sin θ ) 2 0 2π 1 = ab ∫ dθ = πab. 7 2 0
∂Q ∂P ∵ = ∂x ∂y
y yd x − x d y , 其中 L 为圆 课堂练习 求 ∫ 2 2 L 2( x + y ) P214.3 周 ( x − 1 ) 2 + y 2 = 2 , L 的方向逆时针 . O l D 所围区域为 解 设 L所围区域为 D . y −x P( x, y) = , Q( x, y) = . 2 2 2 2 2( x + y ) 2( x + y ) x2 − y2 ∂P ∂Q ∵ = = 在 D 内不连续 , ( 0,0 )是奇点 . 2 2 2 ∂ y 2( x + y ) ∂x ∴ D 上不能用格林公式 (见 P 202 定理 1条件 ).
在 D 内作小圆周 l : x 2 + y 2 = r 2方向逆时针 (如图 ).
ydx − xdy 用P 205 第 8 −10 ∫ 2( x 2 + y 2 ) ======== 行的方法得 L
L
x
∫
( 小圆 )
l
y d x − x d y 曲线L上的积分可以化成同 上的积分可以化成同 上的积分. 2 ( x 2 + y 2 ) 方向的小圆周 l 上的积分.
∂Q dxdy. 类似可证 ∫ Qdy = ∫∫ L ∂x D
5
a
b x
书中未证,P205例4用到 用到) 书中未证 例 用到 ( 2) D是复连通区域时 (如图) (书中未证
将 D沿辅助线 AB 割开 , 得到以 L1 + BA + L2 + AB 为 正向边界的单连通区域 .由(1)知 x ∫LP+(AB , y )dx + Q( x, y )dy L1 L2 A B L1 + BA + 2 D ∂Q ∂P ) d x d y成立 . = ∫∫ ( − ∂x ∂y D
13
上的积分可以化成同方向的小圆周 上的积分. 曲线L上的积分可以化成同方向的小圆周 l 上的积分.
xdy − ydx xdy − ydx =∫ 2 ⇒∫ 2 2 x + y2 x +y l L
x = r cos t, l : 2 y = r sint, t从0变到 π .
y
L
D
O
2
=∫
2π
( 3,0)
x
10
课堂练习 求 ∫ ( xy 2 − sin x )dx + x 2 ydy其中 L 为抛
物线 x = y 2 上由点 A(1,1)到 O ( 0,0 )的一段弧 .
, . 直的直线 解 为计算上简便加辅助线常选水平和垂 y 加水平直线 OB 和垂直直线 BA L A(1,1)
L
使之封闭 , 所围区域为 D ( 如图 ). 原式 = ∫ ⋯
L
从 A(1,0)到 B ( −1,0)的一段 .
如图 解 加水平直线 BA 使之封闭 (如图 ).
y
I=
∫ =∫
L
xdx + xy dy
xdx + xydy − ∫
BA
B(−1,0) −
L + BA
xdx + xydy
D O
x
A (1 ,0 )
= ∫∫ ( y − 0)dxdy −
D
π
1 0 0
∫
=∫
2π
0
− r 2 sin2 t − r 2 cos2 t = r cos t 2 d t = − π. l : x = r sint,,t从0变到 π . y 2 2r 15
= ∫ P[ x , ϕ 1 ( x )]dx + ∫ P[ x , ϕ 2 ( x )]dx
a b
b
y
∂P ∂P d xdy = 又 , ∫∫ ∂y D
a
= ∫ {P[ x,ϕ1( x)] − P[ x,ϕ2 ( x)]}dx;
∂P ∂P ∫a dx ∫ϕ1 ( x ) ∂y dy
b
L 2: y = ϕ 2( x )
D
L
L2
D
L1
3
注意, 可以是单连通域也可以是复连通域 可以是单连通域也可以是复连通域. 注意,D可以是单连通域也可以是复连通域.
2.格林公式 2.格林公式
定理 1 设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 所围成 , 函数 P ( x , y ), Q ( x , y )在 D 上具有一阶连续偏导数 , ∂Q ∂P 则有 ∫ P d x + Q d y = ∫∫ ∂ x − ∂ y dxdy , L D 其中 L 是 D 的正向边界曲线 . P 若D上有 、Q的偏导数不连 上述等式称为格林公式. 上述等式称为格林公式. 续的点则不能用格林公式 ,则不能用格林公式 .
0
= ∫ d t = 2 π.
0
2π
r 2 cos 2 t + r 2 sin 2 t dt 2 r
D1
l : x + y = r2
2
x
( P 当奇点0,0) ∈ D时, 若不注意是否满足 202定理1 公式 的条件而直接使用格林 , 则
xdy − y dx ∂Q ∂P . ∫ x2 + y2 = ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy ===0 为错误结果 L D 14
4
∂Q ∂P 格林公式 ∫ P d x + Q d y = ∫∫ ∂ x − ∂ y dxdy L D (1 证 ) D 是单连通区域时 ( 如图 ) x = x, ∵ ∫ Pdx = ∫ Pdx + ∫ Pdx L2 : x从b变到 . x从a变到a. b 1 L L1 L2 2 x), y = ϕ1( x), b a
格林公式及其应用
一、格林公式 二、平面曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分求积
1
一、格林公式
1.单(复)连通区域及其边界曲线的正向 1.单 连通区域及其边界曲线的正向
设 设 D 为平面区域 , 如果 D 内任意一条闭曲线 所围的部分都属于 D , 则称 D 是平面 单连通区域 , 否则称为 复连通区域 .
l ( ). 在D内作小圆周 : x + y = r 方向逆时针如图 l 设L与 共同围成的复连通区域 D . 为 1 ∂Q ∂P ∵ , 在复连通域 D1上连续 , ∴ D1上能用格林公式 . ∂x ∂y y
2 2 2
∂Q ∂P − )dxdy = 0, ⇒ ∫ Pdx + Qdy = ∫∫ ( ∂x ∂y D1 L +l −
D D
ϕ2 ( x)
∴ ∫ Pdx = − ∫∫
L D
∫ [ P ( x , y )] d x = ∫ {P[ x,ϕ ( x)] − P[ x,ϕ ( x)]}dx; O ∂P
=
a b
a 2 1
b
ϕ2( x) ϕ1 ( x )
L 1: y = ϕ 1( x )
∂y . 故格林公式成立
d xdy .
L l−
L D
O
⇒ ∫ Pdx + Qdy + ∫ Pdx + Qdy = 0,
D1
⇒ ∫ Pdx + Qdy = − ∫ Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy
L l− l
l
x
⇒ ∫ Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy.
L l
上的积分可以化成同 曲线L上的积分可以化成同 上的积分. 方向的小圆周 l 上的积分.
又
∂Q ∂P ⇒ ∫ P( x y)dx + Q( x y)dy = ( 要证 ∫ P( x,,y)dx + Q( x,,y)dy = ∫∫∫⋯+ ∫⋯ xdy. )d − ∂x BA+y ∂AB D + L2 L11 +L2 L+L2 L1 ∂Q ∂P D为复连通区域 ⋯ = ∫∫ ( = )dxdy. 证毕 − 证毕. ∫L +AB ∂x ∂y L1 +BA+ 2 D
D为复连通区域
6
BA+ AB
∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = ∫
BA
⋯+ ∫ ⋯ = ∫ ⋯− ∫ ⋯ = 0.
AB
BA BA
∂Q ∂P ∫L P ( x , y )d x + Q ( x , y )d y = ∫∫ ∂ x − ∂ y dxdy D 3.格林公式的简单应用 顺便说一下格林公式的记忆方法 格林公式的简单应用 (1)计算平面区域的面积 (1)计算平面区域的面积
∫
1
0
ydy
= 0 − [cos x ]
1 0
1 1 2 − y = − cos 1 . 2 2 0
1
11
(3)计算曲线 (3)计算曲线 L 所围区域 D 内有奇点的曲线积分 x d y − yd x , 其中 L为一条无重点 , 分段光 例4 计算 ∫ 2 2 x +y L 滑且不经过原点的连续 闭曲线 , 方向逆时针 . −y x , Q( x , y ) = 2 . 解 P( x, y) = 2 2 2 x +y x +y y2 − x2 ∂P ∂Q = 2 = 在( 0,0)处不连续 , 称( 0,0)是奇点 . 2 2 ∂y ( x + y ) ∂x 设 L所围成的平面区域为 D . y 所围成的平面区域为 ∂Q ∂P L (1)当( 0,0 ) ∉ D时 , , 在 D上连续 , D ∂x ∂y
y
(0,1)
x 4dx + xdy = ∫∫ (1 − 0)dxdy ∫
L
D
= ∫∫ dxdy
D
1 = . 2
D
(0,0)
(1,0) x
8
∫
L
Pdx + Qdy = ∫∫
D
∂Q ∂P ∂x − ∂y d xd y
例3 计算 I = ∫ xdx + xydy , L是上半圆周 y = 1 − x 2
L + OB + BA
D
O ( 0 ,0 )
− ∫ ⋯ − ∫⋯
OB BA
1
x
B(1,0)
x = x, x = 1, OB: x从0变到 . BA: 1 y从0 1 变到 . y = 0, y = y,
=
∫∫ ( 2 xy − 2 xy )dxdy − ∫
D
0
( − sin x ) dx −
L
( 0,0 ), ( 3,0 ), ( 3,2 )为顶点的三角形区域的 正向边界 .
解 设 L 所围区域为 D , 根据格林公式
∫
=
L
( x − y )dx + ( 2 x + y )dy
∫∫ (2 − ( − 1) ) d xd y
D
y
( 3, 2 )
= 3∫∫ dxdy = 9.
D
D
(0,0)
P202定理 ( 满足P202定理1的条件) 可以用格林公式 . ∵满足P202定理1的条件)
xdy − ydx ∂Q ∂ P ∫ x 2 + y 2 = ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy = 0. L D
O
x
12
( 2 )当( 0,0 ) ∈ D 时 , ∂Q ∂P , 在 D 上不连续 ( 有奇点 ),∴ D上不能用格林公式 . ( 不满足P 202定理 1 的条件 ) ∂ x ∂y
D D
单连通区域
复连通区域
2
单连通区域就是没有“ 单连通区域就是没有“洞”的区域. 没有 的区域.
对平面区域 对平面区域 D 的边界曲线 L , 我们规定 L 的正向 如下 : 沿 L的这一方向行走时 , D始终位于他的左侧 .
单连通区域 D 的边界曲 的正向是逆时针方向. 线L的正向是逆时针方向 的正向是逆时针方向 复连通区域D 复连通区域 的边界 L 曲线L由 L2 组成, 曲线 由 和 组成 1 逆时 L1 针 L2 顺时针方向为边界曲 的正向. 线L的正向 的正向
D
D
∫
L
Pdx + Qdy = ∫∫
D
∂Q ∂P ∂x − ∂y d xd y
(2) 简化曲线积分 例2 计算 ∫ x 4 d x + xd y , 其中 L 是以 ( 0,0 ), (1,0 ), ( 0,1)
L
为顶点的三角形区域的 正向边界 .
解 记 L所围区域为 D ,由格林公式得
1−1Βιβλιοθήκη xdxx = x, BA: x从− 1变1. y = 0,
= ∫ dθ ∫ ρ sin θ ⋅ ρ dρ − 0
2 = . 3
9
格林公式
P202 公式 (1)
∫
L
Pdx + Qdy = ∫∫
D
∂Q ∂P ∂x − ∂y d xd y
课堂练习 计算
∫ ( x − y )dx + ( 2 x + y )dy , 其中 L是以