3.4 常高斯曲率曲面

为高斯曲率为零的代表; 球面作为高斯曲率为正常数的代表. 换句话说, 高斯曲率为零的曲 面都可以与平面建立等距对应, 高斯曲率为正常数的曲面都可以与球面建立等距对应. 那
1 么自然会问什么曲面可以作为高斯曲率为负常数的代表? 设 K = − a 2 , 我们可以在旋转曲
面中找出这个代表. 设旋转曲面的待定母线为 yOz 平面中的曲线 z = f (y ). 把它绕 z -轴旋转后形成了旋转 面 r (u, v ) = {v cos u, v sin u, f (v )}, 其高斯曲率 K= ff LN − M 2 LN = = , 2 EG − F EG v (1 + (f )2 )2
I ∗ = (du∗ )2 + (1 + u∗2 )(dv ∗ )2 . 再利用正交网时高斯曲率的计算公式(即高斯方程) 1 K = −√ EG √ ( E )v √ G √ ( G)u √ + E v ,
u
经过计算得出曲面 S 和 S ∗ 的高斯曲率分别为 K=− 1 , (1 + u2 )2 K∗ = − 1 . (1 + u∗2 )2
1 为了使这个曲面的高斯曲率 K = − a 2 , 所以待定函数 f 就必须满足下列方程:
1 ff = − 2, v (1 + (f )2 )2 a 将其改写成 f d(f ) 1 = − 2 v dv (1 + (f )2 )2 a 1 1 = 2 v 2 + C1 , 1 + (f )2 a √ f =± 再积分, 就得出 f =± 如令 v = a cos φ 后 f = ±a sin2 φ dφ = ±a[ln(sec φ + tan φ) − sin φ] + C2 cos φ √ a2 − v 2 , v
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2 可以验证第一象限内曳物线与正半轴, 正半轴之间所夹部分的面积为 1 4 πa , 2 这是半径为 a 的圆面积的 1 4 . 该曳物线绕 z -轴旋转所得的曲面的表面积是 2πa , 这恰等于 1 1 3 半径为 a 的球面的表面积的 1 2 , 这曲面所围的体积是 3 πa , 恰为半径为的球体积的 4 .
§3.4 常高斯曲率曲面
由著名的高斯定理, 曲面的高斯曲率 K 被其第一基本形式完全确定. 因此, 若两个曲面 可建立等距对应, 则对应点的高斯曲率必相等. 但反之则不然. 【例１】 证明: 曲面 S : r = {u cos v, u sin v, ln u}, (旋转曲面) S ∗ : r ∗ = {u∗ cos v ∗ , u∗ sin v ∗ , v ∗ }, (正螺面) 在点 (u, v ) 与 (u∗ , v ∗ ) 处的高斯曲率相等, 但曲面 S 与 S ∗ 不存在等距对应. 【证明】 容易算出旋转曲面 S 和正螺面 S ∗ 的第一基本形式分别为 I= 1+ 1 u2 du2 + u2 dv 2 ,
曳物线. 而把曳物线绕 z -轴旋转后所得的曲面称为伪球面.
【注 1】
我们之所以称曲线(4)为曳物线的原因如下: 过这条曲线上每点 P , 作切线与
轴交于 Q, 可以验证: 线段 P Q 的长度为 a. 这就相当于人 Q 用一根长为 a 的直绳拖曳着物 体沿 z -轴走动时, 物体 P 所走出的轨迹, 它正好就是曲线(4), 因而我们就称曲线(4)为曳物 线. 【注 2】
1 , u2
由其中第二式得出 φu = 0 或 φv = 0, 再由第一式或第三式得出 u = ∞ 或 u = 0, 这与条件 不符, 因此这种情况不可能. (2) 若 (1 + u∗2 ) = −(1 + u2 ) , 则 u∗2 + u2 = −2. 这显然不可能成立. 因此曲面 S 和 S ∗ 之间不能存在等距对应. 尽管在对应点具有相同高斯曲率的曲面不能建立等距对应, 但是对高斯曲率为常数的 曲面, 若在对应点具有相同高斯曲率是必可建立等距对应的. 定理 4.1 证明 (Minding)具有相同常数高斯曲率的曲面总可建立局部等距对应. 设曲面 S 的高斯曲率 K 是常数, 在 S 上取任意点 P 和过 P 点的任意测地线 C , 把
2 2 2 = [1 + (1 + u2 )ψu ]du2 + 2(1 + u2 )ψu ψv dudv + (1 + u2 )ψv dv
因为是等距对应, 故 I = I ∗ , 比较得出 2 =1+ 1 + (1 + u2 )ψu (1 + u2 )ψu ψv = 0, 2 = u2 , (1 + u2 )ψv
G = f1 (v ) + f2 (v )u,
这里 f1 , f2 是 v 的任意函数, 利用初始条件(4.1), (4.2)便得 f1 (v ) = 1, f2 (v ) = 0 , 故 √ (1) K > 0, I = du2 + cos2 Ku dv 2 ; √ (2) K < 0, I = du2 + ch2 −Ku dv 2 ; (3) K = 0, I = du2 + dv 2 ; 由此可知, 具有相同常数高斯曲率的曲面都可适当选取参数, 使曲面具有相同的第一基 本形式, 因此可建立等距对应. 由上述定理知道, 具有常数高斯曲率的曲面(这种曲面称为 常曲率曲面)可按 K > 0, K = 0, K < 0 分成三种类型. 而属于同一类型的曲面它们的内在几何是相同的. 平面作 155
根据假设 v 是 C 的弧长, 所以 dv 2 = G(0, v )dv 2 , 于是 G(0, v ) = 1, 又因 C 是测地线, 根据 Liouville 公式知 ∂ ln G 2 E ∂u 即成立 Gu (0, v ) = 0, 另一方面, 将 E = 1 代入高斯方程, 得 √ ( G)uu K=− √ , 或 G √ √ ∂2 G + K G = 0, ∂u2 (4.2) 1 √ = 0,
因此取对应点 (u, v ) → (u∗ , v ∗ ), 便成立 K = K ∗ . 但是 S 与 S ∗ 之间不存在等距对应. 我们用反证法. 若曲面 S 与 S ∗ 之间存在等距对应, 它的对应关系为 u∗ = φ(u, v ), v ∗ = ψ (u, v ),
则对应点的高斯曲率必积分后得到
取积分常数 C1 = 0, 于是可解出
a2 − v 2 dv, v
不妨再把积分常数 C2 取为 0, 于是以母线 y = a cos φ z = ±a[ln(sec φ + tan φ) − sin φ] 156
(4.4)
1 绕 z -轴旋转后所得的旋转曲面的高斯曲率正好等于负常数 − a 2 . 我们把母线(4.4)称为
C 作为 u = 0 的曲线(即 v -线中的一条), 且从 P 点起的弧长为 v . 取与 C 正交的测地线为 u -线, 再取这族测地线的正交轨线(包含 C )为 v -线. 这样就在曲面 S 上建立起一个半测地坐 标系, (注意, 这时 C : u = 0 的曲线也是测地线). 因此曲面 S 的第一基本形式为 I = Edu2 + Gdv 2 , 154
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即 (1 + u∗2 )2 = (1 + u2 )2 , 或 (1 + u∗2 ) = ±(1 + u2 ),
(1) 若 (1 + u∗2 ) = (1 + u2 ) , 则 u∗2 = u2 或 u∗ = ±u. 因此对应关系为 u∗ = ±u, v ∗ = ψ (u, v ), 这时 S ∗ 的第一基本形式 I ∗ = (du∗ )2 + (1 + u∗2 )(dv ∗ )2 = du2 + (1 + u2 )(ψu du + ψv dv )2
u=0
(4.1)
(4.3)
这个微分方程的通解可按高斯曲率 K 的符号分为三种情形: (1) 若 K > 0 , 则 √ (2) 若 K < 0 , 则 √ (3) 若 K = 0 , 则 √ √ G = f1 (v )ch −Ku + f2 (v )sh −Ku, √ G = f1 (v ) cos √ Ku + f2 (v ) sin √ Ku,